WikiDer > Бета проективті тарату

Бета прайм

Ықтималдық тығыздығы функциясы
Кумулятивтік үлестіру функциясы
Параметрлер	${ displaystyle alpha> 0}$ пішін (нақты) ${ displaystyle beta> 0}$ пішін (нақты)
Қолдау	${ displaystyle x in [0, infty) !}$
PDF	${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ { alpha -1} (1 + x) ^ {- alpha - beta}} {B ( alpha, beta)}} !}$
CDF	${ displaystyle I _ {{ frac {x} {1 + x}} ( alpha, beta)}}$ қайда ${ displaystyle I_ {x} ( альфа, бета)}$ толық емес бета-функция
Орташа	${ displaystyle { frac { alpha} { beta -1}} { text {if}} beta> 1}$
Режим	${ displaystyle { frac { alpha -1} { beta +1}} { text {if}} alpha geq 1 { text {, әйтпесе 0}}} !}$
Ауытқу	${ displaystyle { frac { alpha ( alpha + beta -1)} {( beta -2) ( beta -1) ^ {2}}} { text {if}} beta> 2}$
Қиындық	${ displaystyle { frac {2 (2 альфа + бета -1)} { бета -3}} { sqrt { frac { бета -2} { альфа ( альфа + бета -1) }}} { text {if}} beta> 3}$
MGF	${ displaystyle { frac {e ^ {- t} Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( beta)}} G_ {1,2} ^ {, 2,0} ! left ( сол жақта. { begin {matrix} alpha + beta beta, 0 end {matrix}} ; right | , - t right)}$

Жылы ықтималдықтар теориясы және статистика, бета-тарату (сонымен бірге кері бета-тарату немесе екінші түрдегі бета-тарату^[1]) болып табылады ықтималдықтың абсолютті үздіксіз таралуы үшін анықталған ${ displaystyle x> 0}$ екі параметрмен α және β, бар ықтималдық тығыздығы функциясы:

${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ { alpha -1} (1 + x) ^ {- alpha - beta}} {B ( alpha, beta)}}}$

қайда B болып табылады Бета-функция.

The жинақталған үлестіру функциясы болып табылады

${ displaystyle F (x; alpha, beta) = I _ { frac {x} {1 + x}} left ( alpha, beta right),}$

қайда Мен болып табылады реттелмеген толық емес бета-функция.

Күтілетін мән, дисперсия және таратудың басқа мәліметтері бүйірлік қорапта келтірілген; үшін ${ displaystyle beta> 4}$, артық куртоз болып табылады

${ displaystyle gamma _ {2} = 6 { frac { альфа ( альфа + бета -1) (5 бета -11) + ( бета -1) ^ {2} ( бета -2) } { альфа ( альфа + бета -1) ( бета -3) ( бета -4)}}.}$

Байланысты бета-тарату болып табылады алдын-ала үлестіруді біріктіру Бернулли үлестірімінің ықтималдықпен көрсетілген параметрінің, бета-жай үлестірім - Бернулли үлестірімінің алдын-ала бөлінген параметрі коэффициенттер. Тарату а Пирсон түрі VI тарату.^[1]

Вариант режимі X ретінде таратылды ${ displaystyle beta '( альфа, бета)}$ болып табылады ${ displaystyle { hat {X}} = { frac { alpha -1} { beta +1}}}$.Бұл дегеніміз ${ displaystyle { frac { alpha} { beta -1}}}$ егер ${ displaystyle beta> 1}$ (егер ${ displaystyle beta leq 1}$ орташа шексіз, басқаша айтқанда оның дәл анықталған орташа мәні жоқ) және оның дисперсиясы ${ displaystyle { frac { альфа ( альфа + бета -1)} {( бета -2) ( бета -1) ^ {2}}}}$ егер ${ displaystyle beta> 2}$.

Үшін ${ displaystyle - alpha$, к- сәт ${ displaystyle E [X ^ {k}]}$ арқылы беріледі

${ displaystyle E [X ^ {k}] = { frac {B ( alpha + k, beta -k)} {B ( alpha, beta)}}.}$

Үшін ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ бірге ${ displaystyle k < beta,}$ бұл жеңілдетеді

${ displaystyle E [X ^ {k}] = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac { alpha + i-1} { beta -i}}.}$

CD-ді келесі түрде жазуға болады

${ displaystyle { frac {x ^ { alpha} cdot {} _ {2} F_ {1} ( альфа, альфа + бета, альфа + 1, -х)} {{альфа cdot В ( альфа, бета)}}}$

қайда ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ бұл Гаусстың гиперггеометриялық функциясы ₂F₁ .

Жалпылау

Пішінді қалыптастыру үшін тағы екі параметр қосуға болады жалпыланған бета-премьер таралуы.

• ${ displaystyle p> 0}$ пішін (нақты)
• ${ displaystyle q> 0}$ масштаб (нақты)

бар ықтималдық тығыздығы функциясы:

${ displaystyle f (x; alpha, beta, p, q) = { frac {p left ({ frac {x} {q}} right) ^ { alpha p-1} left ( 1+ солға ({ frac {x} {q}} оңға) ^ {p} оңға) ^ {- альфа - бета}} {qB ( альфа, бета)}}}$

бірге білдіреді

${ displaystyle { frac {q Gamma left ( alpha + { tfrac {1} {p}} right) Gamma ( beta - { tfrac {1} {p}})} { Gamma ( альфа) Гамма ( бета)}} квадрат { мәтін {if}} бета р> 1}$

және режимі

${ displaystyle q сол жақ ({ frac { alpha p-1} { beta p + 1}} right) ^ { tfrac {1} {p}} quad { text {if}} alpha p geq 1}$

Егер болса б = q = 1, содан кейін жалпыланған бета-прайм-р үлесі төмендейді стандартты бета-тарату

Құрама гамма таралуы

The құрама гамма таралуы^[2] масштаб параметрі болған кезде бета-праймды жалпылау, q қосылады, бірақ қайда б = 1. Ол осылай аталған, өйткені ол арқылы қалыптасады қосылыс екі гамма таралуы:

${ displaystyle beta '(x; alpha, beta, 1, q) = int _ {0} ^ { infty} G (x; alpha, r) ​​G (r; beta, q) ; dr}$

қайда G(х;а,б) формасы бар гамма-үлестіру болып табылады а және кері масштаб б. Бұл қатынасты күрделі гамма немесе бета-таралуы бар кездейсоқ шамаларды құру үшін пайдалануға болады.

Құрамалы гамманың режимін, орташа мәнін және дисперсиясын режимді және ортаны жоғарыдағы инфобоксқа көбейту арқылы алуға болады. q және дисперсия q².

Қасиеттері

• Егер ${ displaystyle X sim beta '( альфа, бета)}$ содан кейін ${ displaystyle { tfrac {1} {X}} sim beta '( beta, alpha)}$.
• Егер ${ displaystyle X sim beta '( альфа, бета, p, q)}$ содан кейін ${ displaystyle kX sim beta '( альфа, бета, p, kq)}$.
• ${ displaystyle beta '( альфа, бета, 1,1) = бета' ( альфа, бета)}$
• Егер ${ displaystyle X_ {1} sim beta '( альфа, бета)}$ және ${ displaystyle X_ {2} sim beta '( альфа, бета)}$ екі iid айнымалысы, содан кейін ${ displaystyle Y = X_ {1} + X_ {2} sim beta '( gamma, delta)}$ бірге ${ displaystyle gamma = { frac {2 альфа ( альфа + бета ^ {2} -2 бета +2 альфа бета -4 альфа +1)} {( бета -1) ( альфа + бета -1)}}}$ және ${ displaystyle delta = { frac {2 альфа + бета ^ {2} - бета +2 альфа бета -4 альфа} {{альфа + бета -1}}}$, өйткені бета-жай таралу шексіз бөлінеді.
• Жалпы, рұқсат етіңіз ${ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n} n}$ iD айнымалылары бірдей бета-жай таратылымнан кейін, яғни ${ displaystyle forall i, 1 leq i leq n, X_ {i} sim beta '( alpha, beta)}$, содан кейін қосынды ${ displaystyle S = X_ {1} + ... + X_ {n} sim beta '( gamma, delta)}$ бірге ${ displaystyle gamma = { frac {n альфа ( альфа + бета ^ {2} -2 бета + n альфа бета -2n альфа +1)} {( бета -1) ( альфа + бета -1)}}}$ және ${ displaystyle delta = { frac {2 альфа + бета ^ {2} - бета + н альфа бета -2н альфа} {{альфа + бета -1}}}$.

Байланысты үлестірулер мен қасиеттер

• Егер ${ displaystyle X sim F (2 альфа, 2 бета)}$ бар F- тарату, содан кейін ${ displaystyle { tfrac { alpha} { beta}} X sim beta '( alpha, beta)}$немесе баламалы түрде, ${ displaystyle X sim beta '( альфа, бета, 1, { tfrac { beta} { альфа}})}$.
• Егер ${ displaystyle X sim { textrm {Beta}} ( альфа, бета)}$ содан кейін ${ displaystyle { frac {X} {1-X}} sim beta '( альфа, бета)}$.
• Егер ${ displaystyle X sim Gamma ( альфа, 1)}$ және ${ displaystyle Y sim Gamma ( бета, 1)}$ тәуелсіз ${ displaystyle { frac {X} {Y}} sim beta '( alpha, beta)}$.
• Параметрлеу 1: Егер ${ displaystyle X_ {k} sim Gamma ( альфа _ {к}, тета _ {к})}$ тәуелсіз ${ displaystyle { tfrac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta '( alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, { tfrac { theta _ {1 }} { theta _ {2}}})}$.
• Параметрлеу 2: Егер ${ displaystyle X_ {k} sim Gamma ( альфа _ {к}, бета _ {к})}$ тәуелсіз ${ displaystyle { tfrac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta '( alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, { tfrac { beta _ {2 }} { бета _ {1}}})}$.
• ${ displaystyle beta '(p, 1, a, b) = { textrm {Dagum}} (p, a, b)}$ The Дагумның таралуы
• ${ displaystyle beta '(1, p, a, b) = { textrm {SinghMaddala}} (p, a, b)}$ The Сингх-Маддаланың таралуы.
• ${ displaystyle beta '(1,1, gamma, sigma) = { textrm {LL}} ( gamma, sigma)}$ The логистикалық тарату.
• Бета-жай таратылым - бұл 6 типті ерекше жағдай Pearson таралуы.
• Егер X бар Паретоның таралуы минимуммен ${ displaystyle x_ {m}}$ және пішін параметрі ${ displaystyle alpha}$, содан кейін ${ displaystyle X-x_ {m} sim beta ^ { prime} (1, альфа)}$.
• Егер X бар Ломакс таралуы, сондай-ақ Pareto Type II таралымы ретінде белгілі, пішін параметрі бар ${ displaystyle alpha}$ және масштаб параметрі ${ displaystyle lambda}$, содан кейін ${ displaystyle { frac {X} { lambda}} sim beta ^ { prime} (1, alpha)}$.
• Егер X стандарты бар Pareto IV типтік таралуы пішін параметрімен ${ displaystyle alpha}$ және теңсіздік параметрі ${ displaystyle gamma}$, содан кейін ${ displaystyle X ^ { frac {1} { gamma}} sim beta ^ { prime} (1, alpha)}$немесе баламалы түрде, ${ displaystyle X sim beta ^ { prime} (1, альфа, { tfrac {1} { гамма}}, 1)}$.
• The төңкерілген Дирихлеттің таралуы бета-жай таралуын қорыту болып табылады.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Джонсон, Н.Л., Котц, С., Балакришнан, Н. (1995). Үздіксіз үлестірім, 2-том (2-ші басылым), Вили. ISBN 0-471-58494-0
• MathWorld мақаласы