WikiDer > Орталықтан тыс хи-квадраттық үлестіру

Орталықтан тыс хи-квадрат

Ықтималдық тығыздығы функциясы
Кумулятивтік үлестіру функциясы
Параметрлер	${ displaystyle k> 0 ,}$ еркіндік дәрежесі ${ displaystyle lambda> 0 ,}$ орталықсыздық параметрі
Қолдау	${ displaystyle x in [0; + infty) ,}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2}} e ^ {- (x + lambda) / 2} left ({ frac {x} { lambda}} right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({ sqrt { lambda x}})}$
CDF	${ displaystyle 1-Q _ { frac {k} {2}} сол жақ ({ sqrt { lambda}}, { sqrt {x}} оң)}$ бірге Marcum Q-функциясы ${ displaystyle Q_ {M} (a, b)}$
Орташа	${ displaystyle k + lambda ,}$
Ауытқу	${ displaystyle 2 (k + 2 lambda) ,}$
Қиындық	${ displaystyle { frac {2 ^ {3/2} (k + 3 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {3/2}}}}$
Мыс. куртоз	${ displaystyle { frac {12 (k + 4 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {2}}}}$
MGF	${ displaystyle { frac { exp left ({ frac { lambda t} {1-2t}} right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}} { text {for} } 2т <1}$
CF	${ displaystyle { frac { exp left ({ frac {i lambda t} {1-2it}} right)} {(1-2it) ^ {k / 2}}}}$

Жылы ықтималдықтар теориясы және статистика, орталықтан тыс хи-квадрат үлестіру (немесе орталық емес хи-квадраттық үлестіру, орталықтан тыс ${ displaystyle chi ^ {2}}$ тарату) Бұл орталықтан тыс қорыту туралы квадраттық үлестіру. Бұл көбінесе қуат талдауы нөлдік үлестіру (мүмкін асимптотикалық түрде) хи-квадрат үлестірім болатын статистикалық тестілердің; осындай сынақтардың маңызды мысалдары болып табылады ықтималдық-қатынас сынағы.

Фон

Келіңіздер ${ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {i}, ldots, X_ {k})}$ болуы к тәуелсіз, қалыпты түрде бөлінеді құралдары бар кездейсоқ шамалар ${ displaystyle mu _ {i}}$ және бірлік дисперсиялары. Сонда кездейсоқ шама

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {i} ^ {2}}$

орталықтан тыс хи-квадрат үлестіріміне сәйкес бөлінеді. Оның екі параметрі бар: ${ displaystyle k}$ санын анықтайды еркіндік дәрежесі (яғни. саны ${ displaystyle X_ {i}}$), және ${ displaystyle lambda}$ бұл кездейсоқ шамалардың орташа мәнімен байланысты ${ displaystyle X_ {i}}$ автор:

${ displaystyle lambda = sum _ {i = 1} ^ {k} mu _ {i} ^ {2}.}$

${ displaystyle lambda}$ кейде деп аталады орталықсыздық параметрі. Кейбір сілтемелер анықтайтынын ескеріңіз ${ displaystyle lambda}$ басқа тәсілдермен, мысалы, жоғарыдағы қосындының жартысы немесе оның квадрат түбірі.

Бұл таралу келесіде пайда болады көп айнымалы статистика туындысы ретінде көпөлшемді қалыпты үлестіру. Ал орталық квадраттық үлестіру шаршы болып табылады норма а кездейсоқ вектор бірге ${ displaystyle N (0_ {k}, I_ {k})}$ үлестіру (яғни басынан бастап осы үлестірімнен кездейсоқ алынған нүктеге дейінгі квадраттық арақашықтық), орталық емес ${ displaystyle chi ^ {2}}$ - кездейсоқ векторының квадраттық нормасы ${ displaystyle N ( mu, I_ {k})}$ тарату. Мұнда ${ displaystyle 0_ {k}}$ - ұзындықтың нөлдік векторы к, ${ displaystyle mu = ( mu _ {1}, ldots, mu _ {k})}$ және ${ displaystyle I_ {k}}$ болып табылады сәйкестік матрицасы өлшемі к.

Анықтама

The ықтималдық тығыздығы функциясы (pdf) арқылы беріледі

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {e ^ {- lambda / 2} ( lambda / 2) ^ { i}} {i!}} f_ {Y_ {k + 2i}} (x),}$

қайда ${ displaystyle Y_ {q}}$ х-квадрат түрінде бөлінеді ${ displaystyle q}$ еркіндік дәрежесі.

Осы ұсыныстан орталық емес хи-квадраттық үлестіру Пуассонмен өлшенген болып көрінеді қоспасы орталық хи-квадрат үлестірілімдері. Айталық, кездейсоқ шама Дж бар Пуассонның таралуы орташа мәнмен ${ displaystyle lambda / 2}$, және шартты бөлу туралы З берілген Дж = мен шаршы болып табылады к + 2мен еркіндік дәрежесі. Содан кейін шартсыз бөлу туралы З орталық емес хи-квадрат болып табылады к еркіндік дәрежесі және орталықтандырылмаған параметр ${ displaystyle lambda}$.

Сонымен қатар, pdf ретінде жазуға болады

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = { frac {1} {2}} e ^ {- (x + lambda) / 2} left ({ frac {x} { lambda) }} right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({ sqrt { lambda x}})}$

қайда ${ displaystyle I _ { nu} (y)}$ өзгертілген болып табылады Бессель функциясы берген бірінші түрдегі

${ displaystyle I _ { nu} (y) = (y / 2) ^ { nu} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(y ^ {2} / 4) ^ { j}} {j! Gamma ( nu + j + 1)}}.}$

Арасындағы байланысты қолдану Bessel функциялары және гипергеометриялық функциялар, pdf келесі түрде жазылуы мүмкін:^[1]

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = {{ rm {e}} ^ {- lambda / 2}} _ {0} F_ {1} (; k / 2; lambda x / 4) { frac {1} {2 ^ {k / 2} Gamma (k / 2)}} { rm {e}} ^ {- x / 2} x ^ {k / 2-1}. }$

Зигель (1979) бұл істі талқылайды к = 0 арнайы (еркіндіктің нөлдік дәрежесі), бұл жағдайда үлестірудің нөлдік дискретті компоненті болады.

Қасиеттері

Момент туғызатын функция

The момент тудыратын функция арқылы беріледі

${ displaystyle M (t; k, lambda) = { frac { exp left ({ frac { lambda t} {1-2t}} right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}}.}$

Моменттер

Алғашқы шикізат сәттер мыналар:

${ displaystyle mu '_ {1} = k + lambda}$

${ displaystyle mu '_ {2} = (k + lambda) ^ {2} +2 (k + 2 lambda)}$

${ displaystyle mu '_ {3} = (k + lambda) ^ {3} +6 (k + lambda) (k + 2 lambda) +8 (k + 3 lambda)}$

${ displaystyle mu '_ {4} = (k + lambda) ^ {4} +12 (k + lambda) ^ {2} (k + 2 lambda) +4 (11k ^ {2} + 44k lambda) +36 lambda ^ {2}) + 48 (k + 4 lambda)}$

Алғашқы орталық сәттер мыналар:

${ displaystyle mu _ {2} = 2 (k + 2 lambda) ,}$

${ displaystyle mu _ {3} = 8 (k + 3 lambda) ,}$

${ displaystyle mu _ {4} = 12 (k + 2 lambda) ^ {2} +48 (k + 4 lambda) ,}$

The nмың кумулятивті болып табылады

${ displaystyle K_ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! (k + n lambda). ,}$

Демек

${ displaystyle mu '_ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! (k + n lambda) + sum _ {j = 1} ^ {n-1} { frac { (n-1)! 2 ^ {j-1}} {(nj)!}} (k + j lambda) mu '_ {nj}.}$

Кумулятивтік үлестіру функциясы

Хи-квадраттың орталық және центрлік емес үлестірімдері арасындағы қатынасты қолдана отырып жинақталған үлестіру функциясы (cdf) ретінде жазуға болады

${ displaystyle P (x; k, lambda) = e ^ {- lambda / 2} ; sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {( lambda / 2) ^ {j }} {j!}} Q (x; k + 2j)}$

қайда ${ displaystyle Q (x; k) ,}$ дегеніміз - орталық хи-квадрат үлестірудің жинақталған үлестіру функциясы к берілген еркіндік дәрежесі

${ displaystyle Q (x; k) = { frac { gamma (k / 2, x / 2)} { Gamma (k / 2)}} ,}$

және қайда ${ displaystyle gamma (k, z) ,}$ болып табылады төменгі толық емес гамма-функция.

The Marcum Q-функциясы ${ displaystyle Q_ {M} (a, b)}$ CD-ді ұсыну үшін де қолданыла алады.^[2]

${ displaystyle P (x; k, lambda) = 1-Q _ { frac {k} {2}} left ({ sqrt { lambda}}, { sqrt {x}} right)}$

Жақындау (квантильді қоса алғанда)

Абдель-Аты^[3] орталық емес Уилсон-Хилферти жуықтамасынан шығады («бірінші». ретінде):

${ displaystyle left ({ frac { chi '^ {2}} {k + lambda}} right) ^ { frac {1} {3}}}$ шамамен қалыпты түрде бөлінеді, ${ displaystyle sim { mathcal {N}} сол жақ (1 - { frac {2} {9f}}, { frac {2} {9f}} оң),}$ яғни,

${ displaystyle P (x; k, lambda) approx Phi left {{ frac { left ({ frac {x} {k + lambda}} right) ^ {1/3} - солға (1 - { frac {2} {9f}} оң)} { sqrt { frac {2} {9f}}}} оңға}}, { мәтін {қайда}} f: = { frac {(k + lambda) ^ {2}} {k + 2 lambda}} = k + { frac { lambda ^ {2}} {k + 2 lambda}},}$

бұл өте дәл және орталықсыздыққа жақсы бейімделген. Сондай-ақ, ${ displaystyle f = f (k, lambda)}$ болады ${ displaystyle f = k}$ үшін ${ displaystyle lambda = 0}$, (орталық) хи-квадрат іс.

Санкаран^[4] бірқатар талқылайды жабық форма жуықтау үшін жинақталған үлестіру функциясы. Ертерек қағазда,^[5] ол келесі жуықтаманы шығарды және айтады:

${ displaystyle P (x; k, lambda) approx Phi left {{ frac {({ frac {x} {k + lambda}}) ^ {h} - (1 + hp (h-) 1-0.5 (2-h) mp))} {h { sqrt {2p}} (1 + 0.5mp)}} right }}$

қайда

${ displaystyle Phi lbrace cdot rbrace ,}$ дегенді білдіреді жинақталған үлестіру функциясы туралы стандартты қалыпты таралу;

${ displaystyle h = 1 - { frac {2} {3}} { frac {(k + lambda) (k + 3 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {2}}} , ;}$

${ displaystyle p = { frac {k + 2 lambda} {(k + lambda) ^ {2}}};}$

${ displaystyle m = (h-1) (1-3h) ,.}$

Осы және басқа шамалар туралы кейінірек оқулықта айтылады.^[6]

Берілген ықтималдық үшін осы формулалар оңай жуықтауды қамтамасыз ету үшін оңай аударылады ${ displaystyle x}$, шамамен квантильдерді есептеу үшін.

PDF шығарылымы

Ықтималдық тығыздығының функциясын шығару келесі әрекеттерді орындау арқылы оңай жүзеге асырылады:

1. Бастап ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {k}}$ бірлік дисперсиялары бар, олардың бірлескен таралуы сфералық симметриялы, орын ауысуына дейін.
2. Содан кейін сфералық симметрия -ның таралуын білдіреді ${ displaystyle X = X_ {1} ^ {2} + cdots + X_ {k} ^ {2}}$ тек квадрат ұзындығы арқылы құралдарға байланысты, ${ displaystyle lambda = mu _ {1} ^ {2} + cdots + mu _ {k} ^ {2}}$. Біз жалпылықты жоғалтпай-ақ аламыз ${ displaystyle mu _ {1} = { sqrt { lambda}}}$ және ${ displaystyle mu _ {2} = cdots = mu _ {k} = 0}$.
3. Енді тығыздығын шығарыңыз ${ displaystyle X = X_ {1} ^ {2}}$ (яғни к = 1 жағдай). Кездейсоқ шамалардың қарапайым түрлендіруі мұны көрсетеді

${ displaystyle { begin {aligned} f_ {X} (x, 1, lambda) & = { frac {1} {2 { sqrt {x}}}} left ( phi ({ sqrt {) x}} - { sqrt { lambda}}) + phi ({ sqrt {x}} + { sqrt { lambda}}) right) & = { frac {1} { sqrt {2 pi x}}} e ^ {- (x + lambda) / 2} cosh ({ sqrt { lambda x}}), end {aligned}}}$

қайда ${ displaystyle phi ( cdot)}$ стандартты қалыпты тығыздық болып табылады.

1. Кеңейтіңіз қош Тейлор сериясындағы термин. Бұл Пуассонмен өлшенген қоспаның тығыздығын көрсетеді к = 1. Жоғарыдағы қатардағы хи-квадрат кездейсоқ шамалардың индекстері 1 + 2мен Бұл жағдайда.
2. Соңында, жалпы жағдай үшін. Біз жалпылықты жоғалтпай-ақ деп ойладық ${ displaystyle X_ {2}, ldots, X_ {k}}$ стандартты қалыпты және т.б. ${ displaystyle X_ {2} ^ {2} + cdots + X_ {k} ^ {2}}$ бар орталық квадраттық үлестіру (к - 1) тәуелсіздік дәрежесі ${ displaystyle X_ {1} ^ {2}}$. Үшін пуассонмен өлшенген қоспаны ұсыну ${ displaystyle X_ {1} ^ {2}}$, және хи-квадрат кездейсоқ шамалардың қосындысы да хи-квадрат болатындығы нәтижені аяқтайды. Сериядағы индекстер (1 + 2)мен) + (к − 1) = к + 2мен талап етілгендей.

Байланысты таратылымдар

• Егер ${ displaystyle V}$ болып табылады хи-шаршы таратылды ${ displaystyle V sim chi _ {k} ^ {2}}$ содан кейін ${ displaystyle V}$ сонымен қатар орталық емес хи-квадрат бөлінген: ${ displaystyle V sim { chi '} _ {k} ^ {2} (0)}$
• Тәуелсіз орталық емес хи-квадрат айнымалылардың сызықтық комбинациясы ${ displaystyle xi = sum _ {i} lambda _ {i} Y_ {i} + c, quad Y_ {i} sim chi '^ {2} (m_ {i}, delta _ { мен} ^ {2})}$, болып табылады жалпыланған хи-квадрат.
• Егер ${ displaystyle V_ {1} sim { chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} ( lambda)}$ және ${ displaystyle V_ {2} sim { chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (0)}$ және ${ displaystyle V_ {1}}$ тәуелді емес ${ displaystyle V_ {2}}$ содан кейін а орталықтан тыс F- таратылды айнымалы ретінде дамыған ${ displaystyle { frac {V_ {1} / k_ {1}} {V_ {2} / k_ {2}}} sim F '_ {k_ {1}, k_ {2}} ( lambda)}$
• Егер ${ displaystyle J sim mathrm {Poisson} сол жақ ({{ frac {1} {2}} lambda} оң)}$, содан кейін ${ displaystyle chi _ {k + 2J} ^ {2} sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda)}$
• Егер ${ displaystyle V sim { chi '} _ {2} ^ {2} ( lambda)}$, содан кейін ${ displaystyle { sqrt {V}}}$ алады Күріштің таралуы параметрімен ${ displaystyle { sqrt { lambda}}}$.
• Қалыпты жуықтау:^[7] егер ${ displaystyle V sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda)}$, содан кейін ${ displaystyle { frac {V- (k + lambda)} { sqrt {2 (k + 2 lambda)}}} to N (0,1)}$ тарату кезінде де ${ displaystyle k to infty}$ немесе ${ displaystyle lambda to infty}$.
• Егер ${ displaystyle V_ {1} sim { chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} ( lambda _ {1})}$және ${ displaystyle V_ {2} sim { chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} ( lambda _ {2})}$, қайда ${ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ тәуелсіз ${ displaystyle W = (V_ {1} + V_ {2}) sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda _ {1} + lambda _ {2})}$ қайда ${ displaystyle k = k_ {1} + k_ {2}}$.
• Жалпы, ақырғы жиынтығы үшін ${ displaystyle V_ {i} sim { chi '} _ {k_ {i}} ^ {2} ( lambda _ {i}), i in left {1..N right }}$, осы орталық емес хи-квадрат үлестірілген кездейсоқ шамалардың қосындысы ${ displaystyle Y = sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i}}$ таралуы бар ${ displaystyle Y sim { chi '} _ {k_ {y}} ^ {2} ( lambda _ {y})}$ қайда ${ displaystyle k_ {y} = sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i}, lambda _ {y} = sum _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} }$. Мұны сәт туғызатын функцияларды қолдану арқылы көруге болады: ${ displaystyle M_ {Y} (t) = M _ { sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i}} (t) = prod _ {i = 1} ^ {N} M_ {V_ { мен}} (т)}$ тәуелсіздік арқылы ${ displaystyle V_ {i}}$ кездейсоқ шамалар. Өнімге орталық емес хи квадраттық үлестіру үшін MGF-ті қосып, жаңа MGF-ді есептеу қалады - бұл жаттығу ретінде қалды. Сонымен қатар, оны жоғарыдағы фондық бөлімде интерпретация арқылы дисперсиялары 1 және көрсетілген құралдармен тәуелсіз, қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамалардың квадраттарының қосындысы ретінде көруге болады.
• The орталықтан тыс хи-квадраттық үлестіру радиобайланыс пен радиолокациялық жүйелерде қосымшалары бар.^{[дәйексөз қажет]} Келіңіздер ${ displaystyle (z_ {1}, ldots, z_ {k})}$ тәуелсіз скаляр болу күрделі кездейсоқ шамалар центрлік емес дөңгелек симметриямен, құралдары ${ displaystyle mu _ {i}}$ және бірлік дисперсиялары: ${ displaystyle operatorname {E} left | z_ {i} - mu _ {i} right | ^ {2} = 1}$. Сонда нақты кездейсоқ шама ${ displaystyle S = sum _ {i = 1} ^ {k} left | z_ {i} right | ^ {2}}$ квадраттық емес орталық емес үлестірімге сәйкес бөлінеді:

${ displaystyle f_ {S} (S) = сол жақ ({ frac {S} { lambda}} оң) ^ {(k-1) / 2} e ^ {- (S + lambda)} I_ { k-1} (2 { sqrt {S lambda}})}$

қайда ${ displaystyle lambda = sum _ {i = 1} ^ {k} left | mu _ {i} right | ^ {2}.}$

Трансформациялар

Санкаран (1963) форманың түрлендірулерін талқылайды${ displaystyle z = [(X-b) / (k + lambda)] ^ {1/2}}$. Ол кеңеюін талдайды кумуляторлар туралы ${ displaystyle z}$ мерзімге дейін ${ displaystyle O ((k + lambda) ^ {- 4})}$ және келесі таңдаулар екенін көрсетеді ${ displaystyle b}$ ақылға қонымды нәтижелер беру:

• ${ displaystyle b = (k-1) / 2}$ екінші кумуляциясын құрайды ${ displaystyle z}$ шамамен тәуелсіз ${ displaystyle lambda}$
• ${ displaystyle b = (k-1) / 3}$ -ның үшінші кумуляциясын құрайды ${ displaystyle z}$ шамамен тәуелсіз ${ displaystyle lambda}$
• ${ displaystyle b = (k-1) / 4}$ төртінші кумуляциясын құрайды ${ displaystyle z}$ шамамен тәуелсіз ${ displaystyle lambda}$

Сондай-ақ, қарапайым түрлендіру ${ displaystyle z_ {1} = (X- (k-1) / 2) ^ {1/2}}$ ретінде пайдалануға болады дисперсияны тұрақтандыратын түрлендіру орташа мәні бар кездейсоқ шаманы шығарады ${ displaystyle ( lambda + (k-1) / 2) ^ {1/2}}$ және дисперсия ${ displaystyle O ((k + lambda) ^ {- 2})}$.

Бұл түрлендірулердің қолданылуына теріс сандардың квадрат түбірлерін алу қажеттілігі кедергі болуы мүмкін.

Әр түрлі хи және квадрат үлестірімдері

Аты-жөні	Статистикалық
квадраттық үлестіру	${ displaystyle sum _ {1} ^ {k} сол жақ ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} оң) ^ {2}}$
орталықтан тыс хи-квадрат үлестіру	${ displaystyle sum _ {1} ^ {k} солға ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} оңға) ^ {2}}$
хи таралуы	${ displaystyle { sqrt { sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ { 2}}}}$
циентральды емес бөлу	${ displaystyle { sqrt { sum _ {1} ^ {k} сол жақ ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} оң) ^ {2}}}}$

Оқиғалар

Толеранттылық аралықтарында қолданыңыз

Екі жақты қалыпты регрессия толеранттылық интервалдары центрден тыс хи-квадраттық үлестіру негізінде алуға болады.^[8] Бұл статистикалық аралықты есептеуге мүмкіндік береді, оның шегінде белгілі бір сенімділік деңгейінде іріктелген халықтың белгілі бір үлесі түседі.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Абрамовиц, М. және Стегун, И.А. (1972), Математикалық функциялар туралы анықтамалық, Довер. 26.4.25 бөлім.
• Джонсон, Н.Л., Котц, С., Балакришнан, Н. (1995), Үздіксіз үлестірілім, 2 том (2-ші басылым), Вили. ISBN 0-471-58494-0
• Muirhead, R. (2005) Көп айнымалы статистикалық теория аспектілері (2-ші басылым). Вили. ISBN 0-471-76985-1
• Siegel, A. F. (1979), «Нөлдік еркіндік дәрежесімен орталықтандырылмаған хи-квадраттық үлестіру және біртектілікті тексеру», Биометрика, 66, 381–386
• Баспасөз, S.J. (1966), «Орталық емес хи-квадраттық вариациялардың сызықтық комбинациясы», Математикалық статистиканың жылнамасы, 37 (2): 480–487, дои:10.1214 / aoms / 1177699531, JSTOR 2238621