WikiDer > Бета-функция

Жылы математика, бета-функция, деп те аталады Эйлер интегралды бірінші түрдегі, а арнайы функция дегенмен тығыз байланысты гамма функциясы және дейін биномдық коэффициенттер. Ол анықталады ажырамас

${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} , dt}$

үшін күрделі сан кірістер х, ж осындай Қайта х > 0, қайта ж > 0.

Бета-функция зерттелді Эйлер және Легенда және оның аты берілді Жак Бине; оның символы Β Бұл Грек капитал бета.

Қасиеттері

Бета-функция симметриялы, бұл дегеніміз

${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = mathrm {B} (y, x)}$

барлық кірістер үшін х және ж.^[1]

Бета-функцияның негізгі қасиеті оның -мен тығыз байланысы болып табылады гамма функциясы: біреуінде бар^[1]

${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = { frac { Gamma (x) , Gamma (y)} { Gamma (x + y)}}.}$

(Дәлел төменде келтірілген § гамма функциясымен байланыс.)

Бета-функция сонымен бірге тығыз байланысты биномдық коэффициенттер. Қашан х және ж натурал сандар болып табылады, бұл анықтамасынан шығады гамма функциясы Γ бұл^[2]

${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = { dfrac {(x-1)! , (y-1)!} {(x + y-1)!}} = { frac {x + y} {xy}} cdot { frac {1} { binom {x + y} {x}}}.}$

Гамма функциясымен байланыс

Қарым-қатынастың қарапайым туындысы ${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = { frac { Gamma (x) , Gamma (y)} { Gamma (x + y)}}}$ Эмиль Артиннің кітабынан табуға болады Гамма функциясы, 18-19 бет.^[3]Осы қатынасты шығару үшін екі факториалдың көбейтіндісін былай жазыңыз

${ displaystyle { begin {aligned} Gamma (x) Gamma (y) & = int _ {u = 0} ^ { infty} e ^ {- u} u ^ {x-1} , du cdot int _ {v = 0} ^ { infty} e ^ {- v} v ^ {y-1} , dv [6pt] & = int _ {v = 0} ^ { infty} int _ {u = 0} ^ { infty} e ^ {- uv} u ^ {x-1} v ^ {y-1} , du , dv. end {aligned}} }$

Айнымалыларды өзгерту сен = zt және v = з(1 − т) өндіреді

${ displaystyle { begin {aligned} Gamma (x) Gamma (y) & = int _ {z = 0} ^ { infty} int _ {t = 0} ^ {1} e ^ {- z} (zt) ^ {x-1} (z (1-t)) ^ {y-1} z , dt , dz [6pt] & = int _ {z = 0} ^ { infty} e ^ {- z} z ^ {x + y-1} , dz cdot int _ {t = 0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y- 1} , dt & = Gamma (x + y) cdot mathrm {B} (x, y). End {aligned}}}$

Екі жағын да бөлу ${ displaystyle Gamma (x + y)}$ қажетті нәтиже береді.

Көрсетілген сәйкестендіру жеке тұлғаның нақты жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін конволюцияның ажырамас бөлігі. Қабылдау

${ displaystyle { begin {aligned} f (u) &: = e ^ {- u} u ^ {x-1} 1 _ { mathbb {R} _ {+}} g (u) &: = e ^ {- u} u ^ {y-1} 1 _ { mathbb {R} _ {+}}, end {aligned}}}$

біреуінде:

${ displaystyle Gamma (x) Gamma (y) = int _ { mathbb {R}} f (u) , du cdot int _ { mathbb {R}} g (u) , du = int _ { mathbb {R}} (f * g) (u) , du = mathrm {B} (x, y) , Gamma (x + y).}$

Туынды

Бізде бар

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай} { жартылай x}} mathrm {B} (x, y) = mathrm {B} (x, y) left ({ frac { Gamma '(x) } { Gamma (x)}} - { frac { Gamma '(x + y)} { Gamma (x + y)}} right) = mathrm {B} (x, y) { big (} psi (x) - psi (x + y) { big)},}$

қайда ${ displaystyle psi (x)}$ болып табылады дигамма функциясы.

Жақындау

Стирлингтің жуықтауы асимптотикалық формуланы береді

${ displaystyle mathrm {B} (x, y) sim { sqrt {2 pi}} { frac {x ^ {x-1/2} y ^ {y-1/2}} {({ x + y}) ^ {x + y-1/2}}}}$

үлкен үшін х және үлкен ж. Егер екінші жағынан болса х үлкен және ж бекітілген, содан кейін

${ displaystyle mathrm {B} (x, y) sim Gamma (y) , x ^ {- y}.}$

Басқа сәйкестіліктер мен формулалар

Бұл бөлім жоқ сілтеме кез келген ақпарат көздері. Өтінемін көмектесіңіз осы бөлімді жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді ақпарат көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы мүмкін және жойылды. (Маусым 2020) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Бета-функцияны анықтайтын интеграл түрлі жолдармен, соның ішінде келесі жолдармен жазылуы мүмкін:

соңғы жеке куәлік қайда n кез келген оң нақты сан болып табылады. (Бірінші интегралдан екіншісіне ауыстыру арқылы ауысуға болады ${ displaystyle t = tan ^ {2} ( theta)}$.)

Бета функцияны шексіз қосынды түрінде жазуға болады

${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { binom {n-y} {n}} {x + n}}}$^{[күмәнді – талқылау]}

және шексіз өнім ретінде

${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = { frac {x + y} {xy}} prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 + { dfrac {xy} {n (x + y + n)}} right) ^ {- 1}.}$

Бета функциясы биномдық коэффициенттер үшін сәйкес сәйкестілікке ұқсас бірнеше сәйкестікті, соның ішінде нұсқасын қанағаттандырады Паскальдың сәйкестігі

және бір координатада қарапайым қайталану:

Үшін ${ displaystyle x, y geq 1}$, бета-функция а-мен жазылуы мүмкін конволюция байланысты қысқартылған қуат функциясы т ↦ т^х
₊:

Белгілі бір нүктелердегі бағалау айтарлықтай жеңілдетуі мүмкін; Мысалға,

және^[4]

Қабылдау арқылы ${ displaystyle x = { frac {1} {2}}}$ осы соңғы формулада, атап айтқанда, қорытынды жасауға болады Γ (1/2) = √π.Бірақ ол соңғы формуланы бета-функциялардың өнімі үшін екі мәнді сәйкестендіруге жалпылай алады:

Бета-функция үшін Эйлердің интегралын интегралға айналдыруға болады Похаммер контуры C сияқты

${ displaystyle left (1-e ^ {2 pi i альфа} оң) сол (1-e ^ {2 pi i бета} оң) mathrm {B} ( альфа, бета ) = int _ {C} t ^ { альфа -1} (1-t) ^ { бета -1} , дт.}$

Бұл Похаммер контурының интегралы барлық мәндер үшін жинақталады α және β және сондықтан береді аналитикалық жалғасы бета-функциясының.

Бүтін сандарға арналған гамма функциясы сипаттайтын сияқты факторлар, бета-функция а-ны анықтай алады биномдық коэффициент индекстерді реттегеннен кейін:

${ displaystyle { binom {n} {k}} = { frac {1} {(n + 1) mathrm {B} (n-k + 1, k + 1)}}.}$

Сонымен қатар, бүтін сан үшін n, Β -ның үздіксіз мәндері үшін интерполяцияның жабық формасын беру үшін фактуралануы мүмкін к:

${ displaystyle { binom {n} {k}} = (- 1) ^ {n} , n! cdot { frac { sin ( pi k)} { pi displaystyle prod _ {i = 0} ^ {n} (ki)}}.}$

Бета-функция бірінші белгілі болды шашырау амплитудасы жылы жол теориясы, бірінші болжам Габриэле Венециано. Бұл теорияда да кездеседі артықшылықты тіркеме процесс, стохастикалық түрі урналар процесі.

Өзара бета-функция

The өзара бета-функция болып табылады функциясы форма туралы

${ displaystyle f (z) = { frac {1} { mathrm {B} (x, y)}}}$

Бір қызығы, олардың ажырамас көріністері анықталған интеграл туралы тригонометриялық функциялар оның қуатының өнімімен және көп бұрышты:^[5]

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin ^ {x-1} theta sin y theta ~ d theta = { frac { pi sin { frac {y pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x mathrm {B} left ({ frac {x + y + 1} {2}}, { frac {x-y + 1} {2} } оң)}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin ^ {x-1} theta cos y theta ~ d theta = { frac { pi cos { frac {y pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x mathrm {B} left ({ frac {x + y + 1} {2}}, { frac {x-y + 1} {2} } оң)}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} cos ^ {x-1} theta sin y theta ~ d theta = { frac { pi cos { frac {y pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x mathrm {B} left ({ frac {x + y + 1} {2}}, { frac {x-y + 1} {2} } оң)}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {x-1} theta cos y theta ~ d theta = { frac { pi} {2 ^ {x} x mathrm {B} left ({ frac {x + y + 1} {2}}, { frac {x-y + 1} {2}} right)}}}$

Аяқталмаған бета-функция

The толық емес бета-функция, бета-функцияны жалпылау ретінде анықталады

${ displaystyle mathrm {B} (x; , a, b) = int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} , (1-t) ^ {b-1} , дт.}$

Үшін х = 1, толық емес бета функциясы толық бета функциясымен сәйкес келеді. Екі функцияның байланысы гамма функциясы мен оны жалпылау арасындағы сияқты толық емес гамма-функция.

The реттелмеген толық емес бета-функция (немесе жүйеленген бета-функция қысқаша) толық емес бета-функция және толық бета-функция бойынша анықталады:

${ displaystyle I_ {x} (a, b) = { frac { mathrm {B} (x; , a, b)} { mathrm {B} (a, b)}}.}$

Реттелген толық емес бета-функция бұл жинақталған үлестіру функциясы туралы бета-тарату, және байланысты жинақталған үлестіру функциясы ${ displaystyle F (k; , n, p)}$ а кездейсоқ шама X келесі а биномдық тарату жалғыз сәттілік ықтималдығымен б және Бернулли сынақтарының саны n:

${ displaystyle F (k; , n, p) = Pr left (X leq k right) = I_ {1-p} (nk, k + 1) = 1-I_ {p} (k +) 1, nk).}$

Қасиеттері

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {0} (a, b) & = 0 I_ {1} (a, b) & = 1 I_ {x} (a, 1) & = x ^ {a} I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x) ^ {b} I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b) , a) I_ {x} (a + 1, b) & = I_ {x} (a, b) - { frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {a mathrm {B} (a, b)}} I_ {x} (a, b + 1) & = I_ {x} (a, b) + { frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {b mathrm {B} (a, b)}} mathrm {B} (x; a, b) & = (- 1) ^ {a} mathrm {B} left ({ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab right) end {aligned}}}$

Көп айнымалы бета-функция

Бета функцияны екіден көп аргументі бар функцияға дейін кеңейтуге болады:

${ displaystyle mathrm {B} ( альфа _ {1}, альфа _ {2}, ldots альфа _ {n}) = { frac { Гамма ( альфа _ {1}) , Гамма ( альфа _ {2}) cdots Гамма ( альфа _ {n})} { Гамма ( альфа _ {1} + альфа _ {2} + cdots + альфа _ {n}) }}.}$

Бұл көп айнымалы бета-функция анықтамасында қолданылады Дирихлеттің таралуы. Оның бета-функциямен байланысы арасындағы қатынасқа ұқсас көп мәнді коэффициенттер және биномдық коэффициенттер.

Бағдарламалық жасақтаманы енгізу

Тікелей қол жетімді болмаса да, бета-функцияның толық және толық емес мәндерін әдетте енгізілген функциялардың көмегімен есептеуге болады электрондық кесте немесе компьютерлік алгебра жүйелері. Жылы Excel, мысалы, толық бета-мәнін есептеуге болады ГаммаЛн функциясы:

Мән = Exp (GammaLn (a) + GammaLn (b) - GammaLn (a + b))

Толық емес бета мәнін келесідей есептеуге болады:

Мән = BetaDist (x, a, b) * Exp (GammaLn (a) + GammaLn (b) - GammaLn (a + b)).

Бұл нәтижелер қасиеттерден туындайды жоғарыда көрсетілген.

Сол сияқты, betainc (толық емес бета-функция) MATLAB және GNU октавасы, пбета (бета таралу ықтималдығы) in R, немесе арнайы жылы Python's SciPy пакетін есептеу реттелмеген толық емес бета-функция- бұл, іс жүзінде, бета-кумулятивтік үлестірім - және толық емес бета-функцияны алу үшін нәтижені көбейту керек. betainc сәйкесінше қайтарылған нәтиже бойынша бета функциясы. Жылы Математика, Бета [x, a, b] және БетаРегулирленген [x, a, b] беру ${ displaystyle mathrm {B} (x; , a, b)}$ және ${ displaystyle I_ {x} (a, b)}$сәйкесінше.

Сондай-ақ қараңыз

• Бета тарату және Бета проективті тарату, бета-функцияға байланысты екі ықтималдық үлестірімі
• Якоби сомасы, ақырлы өрістердегі бета-функцияның аналогы.
• Нюрлунд - күріш интегралды
• Юль – Симонның таралуы

Бұл мақалада жалпы тізімі бар сілтемелер, бірақ бұл негізінен тексерілмеген болып қалады, өйткені ол сәйкесінше жетіспейді кірістірілген дәйексөздер. Көмектесіңізші жақсарту осы мақала таныстыру дәлірек дәйексөздер. (Қараша 2010) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Әдебиеттер тізімі

• Аскей, Р.; Roy, R. (2010), «Бета функция», жылы Олвер, Фрэнк В. Дж.; Лозье, Даниэль М .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), NIST математикалық функциялар туралы анықтамалық, Кембридж университетінің баспасы, ISBN 978-0-521-19225-5, МЫРЗА 2723248
• Зелен, М .; Severo, N. C. (1972), «26. Ықтималдық функциялары», in Абрамовиц, Милтон; Стегун, Айрин А. (ред.), Формулалары, графиктері және математикалық кестелері бар математикалық функциялар туралы анықтама, Нью Йорк: Dover жарияланымдары, б.925–995, ISBN 978-0-486-61272-0
• Дэвис, Филипп Дж. (1972), «6. Гамма функциясы және онымен байланысты функциялар», in Абрамовиц, Милтон; Стегун, Айрин А. (ред.), Формулалары, графиктері және математикалық кестелері бар математикалық функциялар туралы анықтама, Нью Йорк: Dover жарияланымдары, ISBN 978-0-486-61272-0
• Париж, Р.Б. (2010), «Аяқталмаған бета-функциялар», жылы Олвер, Фрэнк В. Дж.; Лозье, Даниэль М .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), NIST математикалық функциялар туралы анықтамалық, Кембридж университетінің баспасы, ISBN 978-0-521-19225-5, МЫРЗА 2723248
• Баспасөз, W. H .; Теукольский, SA; Веттерлинг, ВТ; Flannery, BP (2007), «6.1-бөлім. Гамма-функция, Бета-функция, факторлар», Сандық рецепттер: ғылыми есептеу өнері (3-ші басылым), Нью-Йорк: Кембридж университетінің баспасы, ISBN 978-0-521-88068-8

Сыртқы сілтемелер

• «Бета-функция», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
• Лаплас түрлендіруін қолдана отырып, бета-функцияны бағалау кезінде PlanetMath.
• Ерікті дәл мәндерді келесіден алуға болады:
  • Wolfram функциялары сайты: Бета нұсқасын жүйелі түрде аяқталған толық емес нұсқасын бағалаңыз
  • danielsoper.com: Бета функциясының толық емес калькуляторы, Реттелмеген толық емес бета-функция калькуляторы