WikiDer > Винер алгебрасы

Математикада Винер алгебрасы, атындағы Норберт Винер және әдетте белгіленеді A(Т), кеңістігі мүлдем конвергентті Фурье сериясы.^[1] Мұнда Т дегенді білдіреді шеңбер тобы.

Банах алгебрасының құрылымы

Функцияның нормасы f ∈ A(Т) арқылы беріледі

${ displaystyle | f | = sum _ {n = - infty} ^ { infty} | { hat {f}} (n) |, ,}$

қайда

${ displaystyle { hat {f}} (n) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (t) e ^ {- int} , дт}$

болып табылады nФурье коэффициенті f. Винер алгебрасы A(Т) функцияларды нүктелік көбейту кезінде жабық. Әрине,

${ displaystyle { begin {aligned} f (t) g (t) & = sum _ {m in mathbb {Z}} { hat {f}} (m) e ^ {imt} , cdot , sum _ {n in mathbb {Z}} { hat {g}} (n) e ^ {int} & = sum _ {n, m in mathbb {Z}} { hat {f}} (m) { hat {g}} (n) e ^ {i (m + n) t} & = sum _ {n in mathbb {Z}} сол жақ { sum _ {m in mathbb {Z}} { hat {f}} (nm) { hat {g}} (m) right } e ^ {int}, qquad f, g in A ( mathbb {T}); end {aligned}}}$

сондықтан

${ displaystyle | fg | = sum _ {n in mathbb {Z}} left | sum _ {m in mathbb {Z}} { hat {f}} (nm) { бас киім {g}} (m) right | leq sum _ {m} | { hat {f}} (m) | sum _ {n} | { hat {g}} (n) | = | f | , | g |. ,}$

Осылайша, Винер алгебрасы - бұл коммутативті унитар Банах алгебрасы. Сондай-ақ, A(Т) Банах алгебрасына изоморфты болып табылады л₁(З), Фурье түрлендіруімен берілген изоморфизммен.

Қасиеттері

Абсолютті конвергентті Фурье қатарының қосындысы үздіксіз, сондықтан

${ displaystyle A ( mathbb {T}) subset C ( mathbb {T})}$

қайда C(Т) - бұл бірлік шеңберіндегі үздіксіз функциялар сақинасы.

Екінші жағынан бөліктер бойынша интеграциялау, бірге Коши-Шварц теңсіздігі және Парсеваль формуласы, мұны көрсетеді

${ displaystyle C ^ {1} ( mathbb {T}) ішкі жиын A ( mathbb {T}). ,}$

Жалпы,

${ displaystyle mathrm {Lip} _ { alpha} ( mathbb {T}) subset A ( mathbb {T}) subset C ( mathbb {T})}$

үшін ${ displaystyle alpha> 1/2}$ (қараңыз Катзнельсон (2004)).

Wiener 1 /f теорема

Винер (1932, 1933) егер дәлелдеді f абсолютті конвергентті Фурье қатарына ие және ешқашан нөлге тең болмайды, содан кейін оның кері мәні болады 1/f сонымен қатар абсолютті конвергентті Фурье қатарына ие. Содан бері көптеген басқа дәлелдер пайда болды, соның ішінде қарапайым Ньюман (1975).

Гельфанд (1941, 1941б) Банах алгебраларының теориясын қолданып, оның максималды идеалдары екенін көрсетті A(Т) формада болады

${ displaystyle M_ {x} = left {f in A ( mathbb {T}) , mid , f (x) = 0 right }, quad x in mathbb {T} ~,}$

бұл Винер теоремасына тең.

Сондай-ақ қараңыз

• Винер-Леви теоремасы

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Арвесон, Уильям (2001) [1994], «Спектралды теорияның қысқаша курсы», Математика энциклопедиясы, EMS Press
• Гельфанд, И. (1941а), «Нормье Ринг», Rec. Математика. (Мат. Сборник) Н.С., 9 (51): 3–24, МЫРЗА 0004726
• Гельфанд, И. (1941б), «Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale», Rec. Математика. (Мат. Сборник) Н.С., 9 (51): 51–66, МЫРЗА 0004727
• Катцнелсон, Итжак (2004), Гармоникалық анализге кіріспе (Үшінші басылым), Нью-Йорк: Кембридж математикалық кітапханасы, ISBN 978-0-521-54359-0
• Ньюман, Дж. Дж. (1975), «Винердің қарапайым дәлелі 1 /f теорема », Американдық математикалық қоғамның еңбектері, 48: 264–265, дои:10.2307/2040730, ISSN 0002-9939, МЫРЗА 0365002
• Винер, Норберт (1932), «Тауберия теоремалары», Математика жылнамалары, 33 (1): 1–100, дои:10.2307/1968102
• Винер, Норберт (1933), Фурье интегралы және оның кейбір қолданбалары, Кембридж математикалық кітапханасы, Кембридж университетінің баспасы, дои:10.1017 / CBO9780511662492, ISBN 978-0-521-35884-2, МЫРЗА 0983891