WikiDer > Толқындық теңдеу

A импульс толқын теңдеуімен модельденгендей, соңғы нүктелері бар жол арқылы жүру.

Нүктелік көзден шығатын сфералық толқындар.

2D толқындық теңдеуінің шешімі

The толқындық теңдеу маңызды екінші ретті сызықтық болып табылады дербес дифференциалдық теңдеу сипаттамасы үшін толқындар- олар пайда болды классикалық физика-сияқты механикалық толқындар (мысалы, су толқындар, дыбыс толқындары және сейсмикалық толқындар) немесе жарық толқындар. Сияқты өрістерде пайда болады акустика, электромагниттік, және сұйықтық динамикасы.

Тарихи тұрғыдан а тербелетін жіп сияқты а музыкалық аспап арқылы зерттелген Жан ле Ронд д'Альбербер, Леонхард Эйлер, Даниэль Бернулли, және Джозеф-Луи Лагранж.^{[1][2][3][4][5]} 1746 жылы д’Алемберт бір өлшемді толқын теңдеуін ашты, ал он жыл ішінде Эйлер үш өлшемді толқын теңдеуін ашты.^[6]

Кіріспе

Толқындық теңдеу - а дербес дифференциалдық теңдеу бұл кейбіреулерді шектеуі мүмкін скаляр функциясы сен = сен (х₁, х₂, …, х_n; т) уақыт айнымалысының т және бір немесе бірнеше кеңістіктік айнымалылар х₁, х₂, … х_n. Саны сен мысалы, болуы мүмкін қысым сұйықтықта немесе газда немесе орын ауыстыру, белгілі бір бағыт бойынша, дірілдейтін қатты бөлшектердің тыныштық күйлерінен алшақтау. Теңдеуі

${ displaystyle { frac { жарымын ^ {2} u} { жартылай t ^ {2}}} ; = ; c ^ {2} сол жақ ({ frac { жартылай ^ {2} u} { жартылай x_ {1} ^ {2}}} + { frac { жартылай ^ {2} u} { жартылай x_ {2} ^ {2}}} + cdots + { frac { жартылай ^ {2} u} { ішінара x_ {n} ^ {2}}} оң)}$

қайда c тұрақты теріс емес болып табылады нақты коэффициент.

Белгілерін қолдану Ньютон механикасы және векторлық есептеу, толқындық теңдеуді келесі түрде ықшам түрде жазуға болады

${ displaystyle { ddot {u}} = c ^ {2} nabla ^ {2} u,}$

Мұндағы қос нүкте екі еселенген уақыт туындысын білдіреді сен, ∇ болып табылады набла операторы, және ∇² = ∇ · ∇ бұл (кеңістіктік) Лапласия операторы:

${ displaystyle { ddot {u}} = { frac { ішіндегі ^ {2} u} { жартылай t ^ {2}}} quad quad nabla = сол ({ frac { ішінара) { ішінара x_ {1}}}, { frac { жартылай} { жартылай x_ {2}}}, ldots, { frac { жартылай} { жартылай x_ {n}}} оң) quad quad nabla ^ {2} = { frac { qismli ^ {2}} { жартылай x_ {1} ^ {2}}} + { frac { жартылай ^ {2}} { жартылай x_ {2} ^ {2}}} + cdots + { frac { жарымын ^ {2}} { жартылай x_ {n} ^ {2}}}}$

Бұл теңдеудің шешімі күрделі болуы мүмкін, бірақ оны қарапайым шешімдердің сызықтық комбинациясы ретінде талдауға болады синусоидалы жазық толқындар таралу бағыттары мен толқын ұзындықтары, бірақ таралу жылдамдығы бірдей c. Бұл талдау мүмкін, өйткені толқындық теңдеу болады сызықтық; шешімнің кез-келген еселігі де шешім болады, ал кез-келген екі шешімнің қосындысы қайтадан шешім болады. Бұл қасиет деп аталады суперпозиция принципі физикадан.

Толқындық теңдеудің өзі физикалық шешімді көрсетпейді; сияқты бірегей шешім әдетте келесі мәселелермен проблеманы қою арқылы алынады, мысалы бастапқы шарттар, ол толқынның амплитудасы мен фазасын тағайындайды. Мәселелердің тағы бір маңызды класы көрсетілген жабық кеңістіктерде пайда болады шекаралық шарттар, ол үшін шешімдер ұсынылған тұрақты толқындар, немесе гармоника, музыкалық аспаптардың гармоникасына ұқсас.

Толқындық теңдеу - а-ның қарапайым мысалы гиперболалық дифференциалдық теңдеу. Ол және оның модификациялары негізгі рөлдерді атқарады үздіксіз механика, кванттық механика, плазма физикасы, жалпы салыстырмалылық, геофизикажәне басқа да көптеген ғылыми-техникалық пәндер.

Бір кеңістіктегі толқын теңдеуі

Француз ғалымы Жан-Батист Ле Ронд д'Алемберт (1717 ж.т.) бір кеңістік өлшемінде толқын теңдеуін ашты.^[6]

Бір кеңістіктегі толқындық теңдеуді келесі түрде жазуға болады:

${ displaystyle { ішіндегі ^ {2} u артық жартылай t ^ {2}} = c ^ {2} { жартылай ^ {2} u артық жартылай x ^ {2}}}$.

Бұл теңдеу әдетте бір ғана кеңістік өлшеміне ие ретінде сипатталады х, өйткені жалғыз басқа тәуелсіз айнымалы уақыт т. Соған қарамастан тәуелді айнымалы сен екінші кеңістіктің өлшемін білдіруі мүмкін, егер, мысалы, орын ауыстыру сен орын алады ж-де орналасқан жолдағы сияқты бағыт х–ж ұшақ.

Толқындық теңдеуді шығару

Бір кеңістіктегі толқындық теңдеуді әртүрлі физикалық параметрлерде алуға болады. Ең әйгілі, оны екі өлшемді жазықтықта дірілдейтін жіп үшін, оның элементтерінің әрқайсысы қарама-қарсы бағытта тартылған жағдайда алуға болады. шиеленіс.^[7]

Бір кеңістіктегі толқындық теңдеуді шығарудың тағы бір физикалық параметрі қолданылады Гук заңы. Ішінде серпімділік теориясы, Гук заңы - бұл дененің деформацияланатын мөлшері туралы белгілі бір материалдарға жуықтау ( штамм) деформацияны тудыратын күшке сызықтық байланысты ( стресс).

Гук заңынан

Бір өлшемді жағдайдағы толқындық теңдеуді Гук заңынан келесі түрде алуға болады: массаның кіші салмақтарының массивін елестетіп көріңіз. м ұзындықтағы бұтақсыз серіппелермен өзара байланысты сағ. Бұлақтарда а көктемгі тұрақты туралы к:

Мұнда тәуелді айнымалы сен(х) орналасқан массаның тепе-теңдігінен қашықтықты өлшейді х, сондай-ақ сен(х) серпімді материалда қозғалатын бұзылыстың (яғни штаммның) шамасын өлшейді. Массаға әсер ететін күштер м орналасқан жері бойынша х + сағ мыналар:

${ displaystyle { begin {aligned} F _ { rm {Newton}} & = m cdot a (t) = m cdot { frac { partial ^ {2}} { partional t ^ {2}} } u (x + h, t) F _ { rm {Hooke}} & = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k left [{u (x + 2h, t) -u (x) + h, t)} right] -k [u (x + h, t) -u (x, t)] end {aligned}}}$

Орналасқан жердегі салмақ үшін қозғалыс теңдеуі х + сағ осы екі күшті теңестіру арқылы беріледі:

${ displaystyle { жарым-жартылай ^ {2} артық жартылай t ^ {2}} u (x + h, t) = {k over m} [u (x + 2h, t) -u (x + h) , t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}$

мұндағы уақытқа тәуелділігі сен(х) анық жазылған.

Егер салмақтар массиві тұрады N салмақ ұзындығы бойынша біркелкі орналасады L = Nh жалпы массаның М = Nmжәне жалпы көктемгі тұрақты жиым Қ = к/N біз жоғарыдағы теңдеуді келесідей жаза аламыз:

${ displaystyle { ішіндегі ^ {2} артық жартылай t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) h ^ over {{2}}.}$

Шекті қолдану N → ∞, сағ → 0 және тегістікті қабылдай отырып:

${ displaystyle { ішіндегі ^ {2} u (x, t) артық жартылай t ^ {2}} = {KL ^ {2} үстінен M} { жартылай ^ {2} u (х, t) астам ішінара x ^ {2}},}$

бұл а анықтамасынан екінші туынды. KL²/М - бұл нақты жағдайда таралу жылдамдығының квадраты.

1-d тұрақты толқын қарама-қарсы бағытта қозғалатын екі толқынның суперпозициясы ретінде

Бардағы стресс импульсі

Стенд бойымен бойлай таралатын кернеу импульсі кезінде штанга сериялы серіппелердің шексіз санына көп әсер етеді және оларды Гук заңы үшін алынған теңдеудің жалғасы ретінде қабылдауға болады. Сызықтық серпімді материалдан жасалған біртекті штанга, яғни тұрақты көлденең қимасы қаттылыққа ие Қ берілген

${ displaystyle K = {EA over L},}$

Қайда A - бұл көлденең қиманың ауданы және E болып табылады Янг модулі материалдың. Толқындық теңдеу болады

${ displaystyle { ішіндегі ^ {2} u (x, t) артық жартылай t ^ {2}} = {EAL үстінен M} { жартылай ^ {2} u (х, t) артық жартылай x ^ {2}}.}$

АЛ бардың көлеміне тең және сондықтан

${ displaystyle { frac {AL} {M}} = { frac {1} { rho}},}$

қайда ρ бұл материалдың тығыздығы. Толқындық теңдеуі төмендейді

${ displaystyle { frac { ішіндегі ^ {2} u (x, t)} { жартылай t ^ {2}}} = {E артық rho} { жартылай ^ {2} u (х, t ) over ішінара x ^ {2}}.}$

Бардағы кернеу толқынының жылдамдығы сондықтан √E/ρ.

Жалпы шешім

Алгебралық тәсіл

Бір өлшемді толқындық теңдеу а үшін ерекше дербес дифференциалдық теңдеу онда салыстырмалы түрде қарапайым жалпы шешім табылуы мүмкін. Жаңа айнымалыларды анықтау:^[8]

${ displaystyle { begin {aligned} xi & = x-ct eta & = x + ct end {aligned}}}$

толқындық теңдеуді өзгертеді

${ displaystyle { frac { жарымын ^ {2} u} { жартылай xi жартылай eta}} = 0,}$

бұл жалпы шешімге әкеледі

${ displaystyle u ( xi, eta) = F ( xi) + G ( eta)}$

немесе баламалы:

${ displaystyle u (x, t) = F (x-ct) + G (x + ct).}$

Басқаша айтқанда, 1D толқындық теңдеуінің шешімдері дұрыс жүретін функцияның қосындысы болып табылады F және солға саяхаттау функциясы G. «Саяхаттау» дегеніміз - осы жеке формалардың қатысты формасы х тұрақты болып қалады, бірақ функциялар жылдамдықпен уақытпен бірге солға және оңға аударылады c. Бұл алынған Жан ле Ронд д'Альбербер.^[9]

Бұл нәтижеге жетудің тағы бір тәсілі - толқындық теңдеудің «фактураланған» екенін ескеру:

${ displaystyle сол жақта [{ frac { жарым-жартылай} { жартылай t}} - c { frac { жартылай} { жартылай x}} оң] сол жақта [{ frac { жартылай} { жартылай t}} + c { frac { qismі} { жартылай x}} оң] u = 0.}$

Нәтижесінде, егер анықтайтын болсақ v осылайша,

${ displaystyle { frac { ішіндегі u} { жартылай t}} + c { frac { жартылай u} { жартылай x}} = v,}$

содан кейін

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай v} { жартылай t}} - c { frac { жартылай v} { жартылай x}} = 0.}$

Осыдан, v нысаны болуы керек G(х + кт), және осыдан толық шешімнің дұрыс формасы сен шығаруға болады.^[10]

Бастапқы мән проблемасы үшін ерікті функциялар F және G бастапқы шарттарды қанағаттандыру үшін анықталуы мүмкін:

${ displaystyle u (x, 0) = f (x)}$

${ displaystyle u_ {t} (x, 0) = g (x).}$

Нәтиже d'Alembert формуласы:

${ displaystyle u (x, t) = { frac {f (x-ct) + f (x + ct)} {2}} + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct } ^ {x + ct} g (s) mathrm {d} s}$

Классикалық мағынада егер f(х) ∈ C^к және ж(х) ∈ C^к−1 содан кейін сен(т, х) ∈ C^к. Алайда, толқын формалары F және G дельта-функция сияқты жалпыланған функциялар болуы мүмкін. Бұл жағдайда шешім оңға немесе солға қозғалатын импульс ретінде түсіндірілуі мүмкін.

Негізгі толқындық теңдеу - а сызықтық дифференциалдық теңдеу және ол сәйкес келеді суперпозиция принципі. Бұл дегеніміз, екі немесе одан да көп толқындардан туындаған таза ығысу әр толқынның жеке-жеке туындаған орын ауыстыруларының қосындысын құрайды. Сонымен қатар, толқынның мінез-құлқын толқындарды компоненттерге бөлу арқылы талдауға болады, мысалы. The Фурье түрлендіруі толқындарды синусоидалы компоненттерге бөледі.

Жазықтықтағы толқындық жеке кодтар

Бір өлшемді толқындық теңдеудің шешімдерін шешудің тағы бір әдісі - алдымен оның жиілігін талдау жеке кодтар. Жеке режим деп аталатын уақыт деп анықталған уақыт бойынша тербелетін шешім тұрақты бұрыштық жиілік ω, сондықтан толқындық функцияның уақытша бөлігі форманы алады e^.Iωt = cos (ωt) − мен күнә (ωt), ал амплитудасы функция болып табылады f(х) кеңістіктік айнымалы х, беру айнымалыларды бөлу толқындық функция үшін:

${ displaystyle u _ { omega} (x, t) = e ^ {- i omega t} f (x).}$

Бұл өндіреді қарапайым дифференциалдық теңдеу кеңістік бөлігі үшін f(х):

${ displaystyle { frac { ішіндегі ^ {2} u _ { omega}} { жартылай t ^ {2}}} = { frac { жартылай ^ {2}} { жартылай t ^ {2}} } сол жақ (e ^ {- i omega t} f (x) right) = - omega ^ {2} e ^ {- i omega t} f (x) = c ^ {2} { frac { ішіндегі ^ {2}} { жартылай x ^ {2}}} сол жаққа (e ^ {- i omega t} f (x) right),}$

Сондықтан:

${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} f (x) = - left ({ frac { omega} {c}} оң) ^ {2} f (x),}$

бұл дәл an меншікті теңдеу үшін f(х), демек, жеке режим деп аталды. Бұл белгілі жазық толқын шешімдер

${ displaystyle f (x) = Ae ^ { pm ikx},}$

бірге толқын нөмірі к = ω/c.

Осы өзіндік режим үшін жалпы толқындық функция сызықтық комбинация болып табылады

${ displaystyle u _ { omega} (x, t) = e ^ {- i omega t} left (Ae ^ {- ikx} + Be ^ {ikx} right) = Ae ^ {- i (kx + ) omega t)} + Be ^ {i (kx- omega t)},}$

мұндағы күрделі сандар A, B жалпы есептің кез-келген бастапқы және шекаралық шарттарына тәуелді.

Жеке режимдер толқындық теңдеудің толық шешімін құруда пайдалы, өйткені олардың әрқайсысы фазалық фактормен уақыт өте келе дамиды ${ displaystyle e ^ {- i omega t}}$. сондықтан толық шешімді анға бөлуге болады өзіндік режимді кеңейту

${ displaystyle u (x, t) = int _ {- infty} ^ { infty} s ( omega) u _ { omega} (x, t) mathrm {d} omega}$

немесе жазық толқындар тұрғысынан,

${ displaystyle { begin {aligned} u (x, t) & = int _ {- infty} ^ { infty} s _ {+} ( omega) e ^ {- i (kx + omega t)} mathrm {d} omega + int _ {- infty} ^ { infty} s _ {-} ( omega) e ^ {i (kx- omega t)} mathrm {d} omega & = int _ {- infty} ^ { infty} s _ {+} ( omega) e ^ {- ik (x + ct)} mathrm {d} omega + int _ {- infty} ^ { infty} s _ {-} ( omega) e ^ {ik (x-ct)} mathrm {d} omega & = F (x-ct) + G (x + ct) end {) тураланған}}}$

ол дәл алгебралық тәсілдегідей формада. Функциялар с_±(ω) ретінде белгілі Фурье компоненті және бастапқы және шекаралық шарттармен анықталады. Бұл деп аталатын нәрсе жиілік-домен әдіс, тікелей балама уақыт-домен сияқты таратулар FDTD әдісі толқындық пакет сен(х, т), уақыттың кеңеюі болмаған кезде толқындарды бейнелеуге арналған. Уақыттың кеңеюі жағдайында толқындарды көрсету үшін Фурье кеңеюінің толықтығы уақыттың өзгеруіне мүмкіндік беретін толқынды толқындық шешімдермен дауланды. ω.^[11] Шырылдау толқынының шешімдері әсіресе үлкен, бірақ бұрын түсініксіз радиолокациялық қалдықтармен байланысты ұшпа аномалия, және синусоидалы шешімдерден айырмашылығы кез-келген арақашықтықта тек пропорционалды түрде ауысқан жиіліктерде және уақыттың кеңеюінде алынуы мүмкін, бұл көздің өткен дыбыстық күйлеріне сәйкес келеді.

Үш кеңістік өлшеміндегі скалярлық толқын теңдеуі

Швейцариялық математик және физик Леонхард Эйлер (1707 ж.т.) үш кеңістіктегі толқын теңдеуін ашты.^[6]

Үш кеңістіктегі өлшемдердегі толқын теңдеуі үшін бастапқы мәнді есептің шешімін сфералық толқынға сәйкес шешімнен алуға болады. Нәтижені екі кеңістіктегі бірдей шешімді алу үшін де пайдалануға болады.

Сфералық толқындар

Техникасын қолдана отырып, толқындық теңдеуді шешуге болады айнымалыларды бөлу. Тұрақты жиіліктегі шешім алу үшін алдымен Фурье-толқын теңдеуін уақыт бойынша түрлендірейік

${ displaystyle Psi ({ vec {r}}, t) = int _ {- infty} ^ { infty} Psi ({ vec {r}}, omega) e ^ {- i omega t} mathrm {d} omega.}$

Сонымен, біз аламыз,

${ displaystyle left ( nabla ^ {2} + { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} right) Psi ({ vec {r}}, omega) = 0.}$

Бұл Гельмгольц теңдеуі және айнымалыларды бөлу арқылы шешуге болады. Егер есепті сипаттау үшін сфералық координаталар қолданылса, онда Гельмгольц теңдеуінің бұрыштық бөлігінің шешімі берілген сфералық гармоника және радиалды теңдеу енді айналады ^[12]

${ displaystyle left [{ frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} r ^ {2}}} + { frac {2} {r}} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} r}} + k ^ {2} - { frac {l (l + 1)} {r ^ {2}}} right] f_ {l} (r) = 0}$

Мұнда к ≡ ω/c және толық шешімді қазір береді

${ displaystyle Psi ({ vec {r}}, omega) = sum _ {lm} left [A_ {lm} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + A_ {lm} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) right] Y_ {lm} ( theta, phi),}$

қайда сағ⁽¹⁾
_л(кр) және сағ⁽²⁾
_л(кр) болып табылады сфералық Hankel функциялары.

Мысал

Осы сфералық толқындардың табиғатын жақсы түсіну үшін, қайтып оралып, жағдайды қарастырайық л = 0. Бұл жағдайда бұрыштық тәуелділік болмайды және амплитудасы тек радиалды қашықтыққа тәуелді, яғни. Ψ (р→,т) → сен(р, т). Бұл жағдайда толқындық теңдеуі -ге дейін азаяды

${ displaystyle сол жақта ( nabla ^ {2} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { жарымжан ^ {2}} { жартылай t ^ {2}}} оң ) Psi ({ vec {r}}, t) = 0 rightarrow сол жақ ({ frac { ішіндегі ^ {2}} { жартылай r ^ {2}}} + { frac {2} {) r}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай r}} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { жарым-жартылай ^ {2}} { жартылай t ^ {2} }} оң) u (r, t) = 0}$

Бұл теңдеуді келесідей етіп жазуға болады

${ displaystyle { frac { ішіндегі ^ {2} (ru)} { жартылай t ^ {2}}} - c ^ {2} { frac { жартылай ^ {2} (ru)} { жартылай r ^ {2}}} = 0; ,}$

саны қайда ru бір өлшемді толқын теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан, формадағы шешімдер бар

${ displaystyle u (r, t) = { frac {1} {r}} F (r-ct) + { frac {1} {r}} G (r + ct),}$

қайда F және G бірөлшемді толқын теңдеуінің жалпы шешімдері болып табылады және оларды сәйкесінше шығатын немесе кіретін сфералық толқын ретінде түсіндіруге болады. Мұндай толқындар а нүкте көзіжәне олар мүмкін амплитудасының төмендеуімен ғана өзгеретін өткір сигналдар береді р ұлғаяды (жоғарғы оң жақтағы сфералық толқынның суретін қараңыз). Мұндай толқындар тек өлшемдері тақ кеңістік жағдайында болады.^{[дәйексөз қажет]}

Бұрыштық тәуелділікке ие болатын 3D толқын теңдеуінің сфералық емес толқындық шешімдерінің физикалық мысалдарын қараңыз дипольдік сәулелену.

Монохроматикалық сфералық толқын

Толқын ұзындығы 10 бірлік болатын, нүктелік көзден тарайтын сфералық толқындық фронттарды кесіп тастаңыз.

«Монохроматикалық» деген сөз дәл емес, дегенмен ол жарыққа немесе электромагниттік сәулелену жақсы анықталған жиілікпен рух үш өлшемдегі толқындық теңдеудің өзіндік режимін ашады. Алдыңғы бөлімдегі туындыдан кейін Жазықтықтағы толқындық жеке кодтар, егер біз белгілі бір уақыт аралығында тербелетін сфералық толқындарға арналған шешімдерімізді қайтадан шектесек тұрақты бұрыштық жиілік ω, содан кейін түрлендірілген функция ru(р, т) жай жазық толқындық шешімдерге ие,

${ displaystyle ru (r, t) = Ae ^ {i ( omega t pm kr)},}$ немесе

${ displaystyle u (r, t) = { frac {A} {r}} e ^ {i left ( omega t pm kr right)}.}$

Бұдан шар тәріздес толқын амплитудасы ретінде сипатталатын сфералық толқын тербелісінің шыңы қарқындылығын байқауға болады.

${ displaystyle I = | u (r, t) | ^ {2} = { frac {| A | ^ {2}} {r ^ {2}}}}$.

пропорционалды жылдамдықпен төмендейді 1/р², мысал кері квадрат заң.

Жалпы бастапқы мәнді есептің шешімі

Толқындық теңдеуі сызықтық болып табылады сен және оны кеңістік пен уақыттағы аудармалар өзгертпестен қалдырады. Сондықтан, біз сфералық толқындарды аудару және қорытындылау арқылы алуан түрлі шешімдер жасай аламыз. Келіңіздер φ(ξ, η, ζ) үш тәуелсіз айнымалының ерікті функциясы болып, сфералық толқын пайда болсын F delta функциясы болыңыз: яғни, болсын F интегралы бірлік болатын, бірақ тірегі (функциясы нөлге тең емес аймақ) бастапқы нүктеге дейін қысқаратын үздіксіз функциялардың әлсіз шегі бол. Сфералық толқындар отбасы центрге ие болсын (ξ, η, ζ)және рұқсат етіңіз р сол нүктеден радиалды арақашықтық болыңыз. Осылайша

${ displaystyle r ^ {2} = (x- xi) ^ {2} + (y- eta) ^ {2} + (z- zeta) ^ {2}.}$

Егер сен салмағы бар осындай толқындардың суперпозициясы φ, содан кейін

${ displaystyle u (t, x, y, z) = { frac {1} {4 pi c}} iiint varphi ( xi, eta, zeta) { frac { delta (r- ct)} {r}} mathrm {d} xi , mathrm {d} eta , mathrm {d} zeta;}$

бөлгіш 4πc бұл ыңғайлылық.

Дельта функциясының анықтамасынан сен ретінде жазылуы мүмкін

${ displaystyle u (t, x, y, z) = { frac {t} {4 pi}} iint _ {S} varphi (x + ct alpha, y + ct beta, z + ct gamma) mathrm {d} omega,}$

қайда α, β, және γ бірлік сферадағы координаттар болып табылады S, және ω орналасқан аймақ элементі S. Бұл нәтиже түсіндіреді сен(т, х) болып табылады т мәнінің орташа мәні еселенген φ радиус сферасында кт ортасында х:

${ displaystyle u (t, x, y, z) = tM_ {ct} [ phi].}$

Бұдан шығатыны

${ displaystyle u (0, x, y, z) = 0, quad u_ {t} (0, x, y, z) = phi (x, y, z).}$

Орташа мән - тең функциялары т, демек, егер

${ displaystyle v (t, x, y, z) = { frac { qism}} { ішінара t}} сол (tM_ {ct} [ psi] оң),}$

содан кейін

${ displaystyle v (0, x, y, z) = psi (x, y, z), quad v_ {t} (0, x, y, z) = 0.}$

Бұл формулалар толқындық теңдеу үшін бастапқы мәнді есептің шешімін ұсынады. Олар берілген нүктедегі шешім екенін көрсетеді P, берілген (т, х, ж, з) тек радиус сферасындағы мәліметтерге тәуелді кт қиылысқан жеңіл конус артқа қарай тартылған P. Ол жасайды емес осы саланың ішкі көрінісіне байланысты. Сонымен, сфераның іші а лакуна шешім үшін. Бұл құбылыс деп аталады Гюйгенс принципі. Бұл кеңістіктің тақ сандарына қатысты, мұнда бір өлшем үшін Dirac өлшеміне қатысты интервал шекарасында интеграция жасалады. Бұл тіпті ғарыш өлшемдеріне де қанағаттанбайды. Лакуналар феномені кеңінен зерттелген Атиях, Ботт және Гердинг (1970, 1973).

Екі ғарыштық өлшемдегі скалярлық толқын теңдеуі

Екі кеңістік өлшемінде толқындық теңдеу мынада

${ displaystyle u_ {tt} = c ^ {2} сол жақ (u_ {xx} + u_ {yy} оң).}$

Егер қарастыратын болсақ, біз бұл мәселені шешу үшін үш өлшемді теорияны қолдана аламыз сен үшінші өлшемнен тәуелсіз үш өлшемдегі функция ретінде. Егер

${ displaystyle u (0, x, y) = 0, quad u_ {t} (0, x, y) = phi (x, y),}$

онда үш өлшемді шешім формуласы болады

${ displaystyle u (t, x, y) = tM_ {ct} [ phi] = { frac {t} {4 pi}} iint _ {S} phi (x + ct альфа, , y + ct beta) mathrm {d} omega,}$

қайда α және β бірлік сферасындағы алғашқы екі координаталар, және г.ω шардағы аймақ элементі болып табылады. Бұл интеграл дискіге екі еселенген интеграл ретінде қайта жазылуы мүмкін Д. орталықпен (х, ж) және радиус кт:

${ displaystyle u (t, x, y) = { frac {1} {2 pi ct}} iint _ {D} { frac { phi (x + xi, y + eta)} {{sqrt {(ct) ^ {2} - xi ^ {2} - eta ^ {2}}}} mathrm {d} xi , mathrm {d} eta.}$

Бұл шешім анық (т, х, ж) тек жарық конусы туралы мәліметтерге тәуелді емес

${ displaystyle (x- xi) ^ {2} + (y- eta) ^ {2} = c ^ {2} t ^ {2},}$

сонымен қатар сол конустың ішкі элементтері туралы.

Жалпы өлшемдегі скалярлық толқын теңдеуі және Кирхгоф формулалары

Біз шешімдер тапқымыз келеді сен_тт - Δсен = 0 үшін сен : Rⁿ × (0, ∞) → R бірге сен(х, 0) = ж(х) және сен_т(х, 0) = сағ(х). Толығырақ Эвансты қараңыз.

Тақ өлшемдер

Болжам n ≥ 3 тақ сан және ж ∈ C^м+1(Rⁿ), сағ ∈ C^м(Rⁿ) үшін м = (n + 1)/2. Келіңіздер γ_n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ (n − 2) және рұқсат етіңіз

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { гамма _ {n}}} сол жақта [ жартылай _ {t} сол жақта ({ frac {1} {t}} жартылай _ {t} оң) ^ { frac {n-3} {2}} сол (t ^ {n-2} { frac {1} {| ішінара B_ {t} (x) |}} int _ { ішінара B_ {t} (x)} gdS оң) + сол ({ frac {1} {t}} ішінара _ {t} оңға) ^ { frac {n-3} { 2}} сол жаққа (t ^ {n-2} { frac {1} {| ішінара B_ {t} (x) |}} int _ { жартылай B_ {t} (x)} hdS оңға) ) оң]}$

содан кейін

сен ∈ C²(Rⁿ × [0, ∞))

сен_тт - Δсен = 0 жылы Rⁿ × (0, ∞)

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u (x, t) & = g (x ^ {0}) lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u_ {t} (x, t) & = h (x ^ {0}) end {aligned}}}$

Тіпті өлшемдер

Болжам n ≥ 2 - бұл бүтін сан және ж ∈ C^м+1(Rⁿ), сағ ∈ C^м(Rⁿ), үшін м = (n + 2)/2. Келіңіздер γ_n = 2 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ n және рұқсат етіңіз

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { гамма _ {n}}} сол жақта [ жартылай _ {t} сол жақта ({ frac {1} {t}} жартылай _ {t} оң) ^ { frac {n-2} {2}} сол (t ^ {n} { frac {1} {| B_ {t} (x) |}} int _ {B_ {t} (x)} { frac {g} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} mathrm {d} y right ) + солға ({ frac {1} {t}} ішінара _ {t} оңға) ^ { frac {n-2} {2}} солға (t ^ {n} { frac {1) } {| B_ {t} (x) |}} int _ {B_ {t} (x)} { frac {h} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} mathrm {d} y right) right]}$

содан кейін

сен ∈ C²(Rⁿ × [0, ∞))

сен_тт - Δсен = 0 жылы Rⁿ × (0, ∞)

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u (x, t) & = g (x ^ {0}) lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u_ {t} (x, t) & = h (x ^ {0}) end {aligned}}}$

Шекарадағы мәселелер

Бір кеңістік өлшемі

Штурм-Лиувилл формуласы

Екі нүктенің арасына созылған икемді жіп х = 0 және х = L үшін толқындық теңдеуді қанағаттандырады т > 0 және 0 < х < L. Шекаралық нүктелерде, сен әр түрлі шекаралық шарттарды қанағаттандыруы мүмкін. Қолданбаларға сәйкес келетін жалпы форма болып табылады

${ displaystyle -u_ {x} (t, 0) + au (t, 0) = 0,}$

${ displaystyle u_ {x} (t, L) + bu (t, L) = 0,}$

қайда а және б теріс емес. Егер $ u $ соңғы нүктеде жоғалып кетуі керек болса, бұл шарттың сәйкесінше шегі болып табылады а немесе б шексіздікке жақындайды. Әдісі айнымалыларды бөлу арнайы формада осы мәселенің шешімдерін іздеуден тұрады

${ displaystyle u (t, x) = T (t) v (x).}$

Мұның салдары - бұл

${ displaystyle { frac {T ''} {c ^ {2} T}} = { frac {v ''} {v}} = - lambda.}$

The өзіндік құндылық λ шекаралық-есептің маңызды емес шешімі болатындай етіп анықталуы керек

${ displaystyle v '' + lambda v = 0,}$

${ displaystyle -v '(0) + av (0) = 0, quad v' (L) + bv (L) = 0.}$

Бұл жалпы проблеманың ерекше жағдайы Штурм-Лиувилл теориясы. Егер а және б оң, меншікті мәндердің барлығы оң, ал шешімдер тригонометриялық функциялар. Үшін квадрат-интеграцияланатын бастапқы шарттарды қанағаттандыратын шешім сен және сен_т осы функциялардың сәйкес тригонометриялық қатарда кеңеюінен алуға болады.

Сандық әдістермен зерттеу

Үздіксіз жолды бірдей қашықтықтағы масса нүктелерінің санымен жуықтағанда келесі физикалық модель шығады:

1-сурет: жіпке арналған дискретті модельдің үш дәйекті массалық нүктелері

Егер әрбір массалық нүктенің массасы болса м, жіптің созылуы f, масса нүктелерінің арасындағы айырмашылық мынада Δх және сен_мен, мен = 1, …, n осылардың есебі болып табылады n олардың тепе-теңдік нүктелерінен алынған нүктелер (яғни олардың жіптің екі бекіту нүктесінің арасындағы түзу сызықтағы орны) күштің нүктеге бағытталған тік компоненті мен + 1 болып табылады

${ displaystyle { frac {u_ {i + 1} -u_ {i}} { Delta x}} f}$

(1)

және күштің нүктеге бағытталған тік компоненті мен − 1 болып табылады

${ displaystyle { frac {u_ {i-1} -u_ {i}} { Delta x}} f}$

(2)

Осы екі күштің қосындысын алып, массаға бөлу м біреуі тік қозғалысқа келеді:

${ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = сол жақ ({ frac {f} {m Delta x}} оң) сол (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2у_ {i} оң)}$

(3)

Массалық тығыздық қалай

${ displaystyle rho = { frac {m} { Delta x}}}$

бұл жазуға болады

${ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = сол жақ ({ frac {f} { rho { Delta x} ^ {2}}} оң) сол (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} оң)}$

(4)

Толқындық теңдеу рұқсат ету арқылы алынады Δх → 0 бұл жағдайда сен_мен(т) формасын алады сен(х, т) қайда сен(х, т) бұл екі айнымалының үздіксіз функциясы, ··сен_мен формасын алады ∂²сен/∂т² және

${ displaystyle { frac {u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i}} {{ Delta x} ^ {2}}} to { frac { partial ^ {2} u} { ішінара x ^ {2}}}}$

Бірақ дискретті тұжырымдау (3) масса нүктесінің ақырлы саны бар күй теңдеуі а-ға сәйкес келеді сандық тарату жіп қозғалысының. Шектік шарт

${ displaystyle u (0, t) = u (L, t) = 0}$

қайда L - бұл жолдың ұзындығы дискретті формулада ең шеткі нүктелер үшін форманы алады сен₁ және сен_n қозғалыс теңдеулері болып табылады

${ displaystyle { ddot {u}} _ {1} = { сол жақ ({ frac {c} { Delta x}} оң)} ^ {2} сол (u_ {2} -2u_ {1) } оң)}$

(5)

және

${ displaystyle { ddot {u}} _ {n} = { сол ({ frac {c} { Delta x}} оң)} ^ {2} сол (u_ {n-1} -2u_ {n} оң)}$

(6)

ал үшін 1 < мен < n

${ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = { сол ({ frac {c} { Delta x}} оң)} ^ {2} сол (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} оң)}$

(7)

қайда c = √f/ρ.

Егер жол 100 дискретті масса нүктелерімен жуықтаса, онда 100 байланыстырылған екінші ретті дифференциалдық теңдеулер шығады (5), (6) және (7) немесе эквивалентті 200 біріктірілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

Оларды заманға сай насихаттау

${ displaystyle { frac {L} {c}} k (0.05), , k = 0, cdots, 5}$

8-ші ретті қолдану көп қадамды әдіс 2-суретте көрсетілген 6 күй табылған:

2-сурет: қатар қатардағы 6 дәуірдегі жіп, бірінші (қызыл) тыныштықтағы жіппен бастапқы уақытқа сәйкес келеді

3-сурет: қатар 6 дәуірдегі жіп

4-сурет: қатар 6 дәуірдегі жіп

5 сурет: қатар 6 дәуірдегі жіп

6-сурет: қатар 6 дәуірдегі жіп

7 сурет: қатар 6 дәуірдегі жіп

Қызыл қисық - бұл жол алдын ала анықталған пішінде «босатылатын» нөлдік уақыттағы бастапқы күй^[13] барлығымен ${ displaystyle { dot {u}} _ {i} = 0}$. Көк қисық - бұл уақыттағы күй ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} (0.25),}$ яғни уақытқа сәйкес келетін уақыттан кейін номиналды толқын жылдамдығымен қозғалатын толқын c=√ f/ρ жіптің ұзындығының төрттен бір бөлігі қажет болады.

3-суретте жіптің пішіні уақыт бойынша көрсетілген ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 6, cdots, 11}$. Толқын жылдамдықпен тура бағытта қозғалады c=√ f/ρ жіптің екі шетіндегі шекаралық шарттармен белсенді түрде шектелместен. Толқынның пішіні тұрақты, яғни қисық шынымен формада болады f(х − кт).

4-суретте жіптің пішіні уақыт бойынша көрсетілген ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 12, cdots, 17}$. Оң жақтағы шектеу толқынның жіптің ұшын көтеруіне жол бермейтін қозғалысқа кедергі келтіре бастайды.

5-суретте жіптің пішіні уақыт бойынша көрсетілген ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 18, cdots, 23}$ қозғалыс бағыты өзгерген кезде. Қызыл, жасыл және көк қисықтар - бұл күйлер ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 18, cdots, 20}$ ал 3 қара қисық кейде күйлерге сәйкес келеді ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 21, cdots, 23}$ толқын сол жаққа қарай жылжи бастайды.

6-суретте және 7-суретте ақыр соңында жіптің формасы көрсетілген ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 24, cdots, 29}$ және ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 30, cdots, 35}$. Толқын енді солға қарай жылжиды, ал соңғы нүктелердегі шектеулер енді белсенді емес. Соңында жіптің басқа шеткі бағыты 6-суретте көрсетілгендей өзгертіледі.

Бірнеше кеңістік өлшемдері

Толқындық теңдеудің екі өлшемдегі шешімі, бүкіл сыртқы жиегі бойынша нөлдік ығысу шекаралық шартымен.

Бір өлшемді бастапқы шекаралық теорияны кеңістіктің өлшемдерінің ерікті санына дейін кеңейтуге болады. Доменді қарастырыңыз Д. жылы м-өлшемді х шекарасы бар кеңістік B. Онда толқындық теңдеуді қанағаттандыру керек, егер х ішінде Д. және т > 0. Шекарасында D, шешім сен қанағаттандырады

${ displaystyle { frac { u u {{1/2 n}} + au = 0, ,}$

қайда n - бұл сыртқа қалыпты өлшем бірлігі B, және а - теріс емес функция B. Іс қайда сен жоғалады B үшін шектеу болып табылады а шексіздікке жақындау. Бастапқы шарттар

${ displaystyle u (0, x) = f (x), quad u_ {t} (0, x) = g (x), ,}$

қайда f және ж анықталған Д. Бұл мәселені кеңейту арқылы шешуге болады f және ж лаплацианның өзіндік функцияларында D, шекаралық шарттарды қанағаттандыратын. Осылайша меншікті функция v қанағаттандырады

${ displaystyle nabla cdot nabla v + lambda v = 0, ,}$

жылы D, және

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай v} { жартылай n}} + av = 0, ,}$

қосулы Б.

Екі кеңістік өлшемі жағдайында өзіндік функциялар шекарада созылған барабанның тербеліс режимі ретінде түсіндірілуі мүмкін Б. Егер B бұл шеңбер, ал бұл өзіндік функциялар полярлық бұрыштың тригонометриялық функциясы болатын бұрыштық компонентке ие θ, көбейтілген а Бессель функциясы радиалды компоненттің (бүтін тәртіппен). Қосымша мәліметтер Гельмгольц теңдеуі.

Егер шекара үш кеңістік өлшеміндегі сфера болса, меншікті функциялардың бұрыштық компоненттері болып табылады сфералық гармоникажәне радиалды компоненттері болып табылады Bessel функциялары жарты бүтін тәртіп.

Бір өлшемдегі біртекті емес толқындық теңдеу

Бір өлшемдегі біртекті емес толқын теңдеуі келесідей:

${ displaystyle u_ {tt} (x, t) -c ^ {2} u_ {xx} (x, t) = s (x, t) ,}$

берілген бастапқы шарттармен

${ displaystyle u (x, 0) = f (x) ,}$

${ displaystyle u_ {t} (x, 0) = g (x) ,}$

Функция с(х, т) көбінесе қайнар көз функциясы деп аталады, өйткені іс жүзінде толқын көздерінің оларды өткізетін ортаға әсерін сипаттайды. Қайнар көз функцияларының физикалық мысалдарына толқынды жіпке қозғаушы күш немесе ішіндегі заряд немесе ток тығыздығы жатады Лоренц өлшегіші туралы электромагнетизм.

Бастапқы мән мәселесін шешудің бір әдісі (бастапқы мәндер жоғарыда келтірілген) - бұл кеңістіктің өлшемдерінің тақ санындағы толқындық теңдеудің ерекше қасиетін пайдалану, яғни оның шешімдері себептілікке құрметпен қарау. Яғни, кез-келген нүкте үшін (х_мен, т_мен), мәні сен(х_мен, т_мен) мәндеріне ғана тәуелді болады f(х_мен + кт_мен) және f(х_мен − кт_мен) және функцияның мәндері ж(х) арасында (х_мен − кт_мен) және (х_мен + кт_мен). Мұны көруге болады d'Alembert формуласы, жоғарыда көрсетілген, мұнда тек осы шамалар көрінеді. Физикалық, егер максималды таралу жылдамдығы болса c, содан кейін берілген уақытқа берілген нүктеге тарала алмайтын толқынның бірде-бір бөлігі бірдей нүктеде және уақытта амплитудаға әсер ете алмайды.

Шешімді табу тұрғысынан бұл себептілік қасиеті қарастырылатын түзудің кез-келген нүктесі үшін қарастырылатын нүктеге себепті әсер етуі мүмкін барлық нүктелерді қамтитын аймақ ғана қарастырылуы керек дегенді білдіреді. Нүктеге кездейсоқ әсер ететін аймақты белгілеңіз (х_мен, т_мен) сияқты R_C. Осы аймақ бойынша біртекті емес толқындық теңдеуді біріктірдік делік.

${ displaystyle iint limits _ {R_ {C}} left (c ^ {2} u_ {xx} (x, t) -u_ {tt} (x, t) right) , mathrm {d } x , mathrm {d} t = iint шегі _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t.}$

Мұны айтарлықтай жеңілдету үшін біз пайдалана аламыз Грин теоремасы сол жағын оңайлату үшін мынаны алу керек:

${ displaystyle int _ {L_ {0} + L_ {1} + L_ {2}} left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_) {t} (x, t) mathrm {d} x right) = iint limits _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} т.}$

Сол жағы енді себептілік аймағының шекаралары бойындағы үш түзу интегралдарының қосындысына тең. Оларды есептеу өте оңай болып шығады

${ displaystyle int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} - u_ {t} (x, 0) , mathrm {d} x = - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x.}$

Жоғарыда айтылғандай, уақытқа қатысты интеграцияланатын термин жоғалады, өйткені уақыт аралығы нөлге тең, осылайша г.т = 0.

Аймақтың қалған екі жағы үшін мұны атап өткен жөн х ± кт тұрақты, дәлірек айтсақ х_мен ± кт_мен, онда белгі дұрыс таңдалған. Осыны пайдаланып, біз қатынасты ала аламыз г.х ± cг.т = 0, тағы да дұрыс белгіні таңдау:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {L_ {1}} left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_ {t} ( x, t) , mathrm {d} x right) & = int _ {L_ {1}} left (cu_ {x} (x, t) , mathrm {d} x + cu_ {t) } (x, t) , mathrm {d} t right) & = c int _ {L_ {1}} , mathrm {d} u (x, t) & = cu ( x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}). end {aligned}}}$

Сонымен, соңғы шекара сегменті үшін:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {L_ {2}} left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_ {t} ( x, t) , mathrm {d} x right) & = - int _ {L_ {2}} left (cu_ {x} (x, t) , mathrm {d} x + cu_ {) t} (x, t) , mathrm {d} t right) & = - c int _ {L_ {2}} , mathrm {d} u (x, t) & = cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}). end {aligned}}}$

Үш нәтижені қосып, оларды бастапқы интегралға қайтару:

${ displaystyle { begin {aligned} iint _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t & = - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i}) + ct_ {i}) + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) & = 2cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i} } g (x) , mathrm {d} x end {тураланған}}}$

Шешу сен(х_мен, т_мен) біз келеміз

${ displaystyle u (x_ {i}, t_ {i}) = { frac {f (x_ {i} + ct_ {i}) + f (x_ {i} -ct_ {i})} {2}} + { frac {1} {2c}} int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x + { frac {1} {2c}} int _ {0} ^ {t_ {i}} int _ {x_ {i} -c left (t_ {i} -t right)} ^ {x_ {i } + c сол (t_ {i} -t оң)} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t.}$

Тізбектің соңғы теңдеуінде интегралдың бастапқы функцияға қатысты шекаралары айқын көрсетілген. Looking at this solution, which is valid for all choices (х_мен, т_мен) compatible with the wave equation, it is clear that the first two terms are simply d'Alembert's formula, as stated above as the solution of the homogeneous wave equation in one dimension. The difference is in the third term, the integral over the source.

Other coordinate systems

In three dimensions, the wave equation, when written in elliptic cylindrical coordinates, may be solved by separation of variables, leading to the Mathieu differential equation.

Further generalizations

Серпімді толқындар

The elastic wave equation (also known as the Navier–Cauchy equation) in three dimensions describes the propagation of waves in an изотропты біртекті серпімді орташа. Most solid materials are elastic, so this equation describes such phenomena as сейсмикалық толқындар ішінде Жер және ультрадыбыстық waves used to detect flaws in materials. While linear, this equation has a more complex form than the equations given above, as it must account for both longitudinal and transverse motion:

${displaystyle ho {ddot {mathbf {u} }}=mathbf {f} +(lambda +2mu ) abla ( abla cdot mathbf {u} )-mu abla imes ( abla imes mathbf {u} )}$

қайда:

• λ және μ are the so-called Lamé параметрлері describing the elastic properties of the medium,
• ρ is the density,
• f is the source function (driving force),
• және сен is the displacement vector.

Пайдалану арқылы ∇ × (∇ × сен) = ∇(∇ ⋅ сен) - ∇ ⋅ ∇ сен = ∇(∇ ⋅ сен) - ∆сен the elastic wave equation can be rewritten into the more common form of the Navier–Cauchy equation.

Note that in the elastic wave equation, both force and displacement are вектор шамалар. Thus, this equation is sometimes known as the vector wave equation.As an aid to understanding, the reader will observe that if f және ∇ ⋅ сен are set to zero, this becomes (effectively) Maxwell's equation for the propagation of the electric field E, which has only transverse waves.

Дисперсиялық қатынас

Жылы дисперсті wave phenomena, the speed of wave propagation varies with the wavelength of the wave, which is reflected by a дисперсиялық қатынас

${displaystyle omega =omega (mathbf {k} ),}$

қайда ω болып табылады бұрыштық жиілік және к болып табылады толқын векторы сипаттау жазық толқын шешімдер. For light waves, the dispersion relation is ω = ±c |к|, but in general, the constant speed c gets replaced by a variable фазалық жылдамдық:

${displaystyle v_{mathrm {p} }={frac {omega (k)}{k}}.}$

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
• М.Ф. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
• L. Evans, "Partial Differential Equations". American Mathematical Society Providence, 1998.
• "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", PHYSNET жобасы.

Сыртқы сілтемелер

• Nonlinear Wave Equations арқылы Стивен Вольфрам and Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer арқылы Wolfram демонстрациясы жобасы.
• Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki.
• Graham W Griffiths and William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308

Wikimedia Commons-та бұқаралық ақпарат құралдары бар Толқындық теңдеу.