WikiDer > Фурье түрлендіруі

Жылы математика, а Фурье түрлендіруі (ФТ) Бұл математикалық түрлендіру ыдырайтын а функциясы (жиі а уақыт функциясынемесе а сигнал) оның құрамына кіреді жиіліктер, мысалы, мюзиклдің көрінісі аккорд оны құрайтын ноталардың көлемі мен жиілігі бойынша. Термин Фурье түрлендіруі екеуіне де қатысты жиілік домені өкілдік және математикалық амал бұл жиіліктің домендік көрінісін уақыт функциясымен байланыстырады.

Уақыт функциясының Фурье түрлендіруі а күрделі-бағаланатын функция жиілігі, оның шамасы (абсолютті мән) бастапқы функцияларда болатын жиіліктің мөлшерін, ал кімнің екенін білдіреді дәлел болып табылады фазалық жылжу негізгі синусоид сол жиілікте. Фурье түрлендіруі уақыт функциясымен шектелмейді, бірақ домен бастапқы функцияны әдетте деп атайды уақыт домені. Бар кері Фурье түрлендіруі дәлелдегендей, функцияны өзінің жиіліктік доменінен математикалық жолмен синтездейді Фурье инверсиясының теоремасы.

${ displaystyle scriptstyle f (t)}$

${ displaystyle scriptstyle { hat {f}} ( omega)}$

${ displaystyle scriptstyle g (t)}$

${ displaystyle scriptstyle { hat {g}} ( omega)}$

${ displaystyle scriptstyle t}$

${ displaystyle scriptstyle omega}$

${ displaystyle scriptstyle t}$

${ displaystyle scriptstyle omega}$

Жоғарғы қатарда. Графигі орналасқан импульс бірлігі функциясы f (т) және оның Фурье түрлендіруі f̂ (ω), жиіліктің функциясы ω. Уақыт доменіндегі аударма (яғни кешігу) жиіліктік аймақта күрделі фазалық ауысулар ретінде түсіндіріледі. Екінші қатарда көрсетілген ж(т), Фурье түрлендіруінің нақты және ойдан шығарылған бөліктерінің жанында кешіктірілген бірлік импульсі. Фурье түрлендіруі функцияны аудармалар тобы үшін өзіндік функцияларға айналдырады. -Ның елестететін бөлігі ĝ (ω) жоққа шығарылады, өйткені Фурье түрлендіруінде теріс таңба көрсеткіші қолданылған, бұл Фурье қатарынан алынған әдепкі болып табылады, бірақ түрлендірілмейтін трансформация үшін белгі маңызды емес.

Бір доменде орындалатын сызықтық операциялардың (уақыт немесе жиілік) екінші доменде сәйкесінше амалдары болады, оларды орындау кейде жеңілдейді. Жұмысы саралау уақыт доменінде жиілікке көбейту сәйкес келеді,^{[1-ескерту]} сондықтан кейбір дифференциалдық теңдеулер жиіліктік доменде талдау оңайырақ. Сондай-ақ, конволюция уақыт доменінде жиіліктік домендегі қарапайым көбейтуге сәйкес келеді (қараңыз) Конволюция теоремасы). Қажетті амалдарды орындағаннан кейін нәтижені уақыттың доменіне айналдыруға болады. Гармоникалық талдау - бұл жиілік пен уақыт домендерінің арасындағы байланысты жүйелі түрде зерттеу, оның ішінде бірінде немесе басқасында «қарапайым» функциялардың немесе операциялардың түрлерін қосады және қазіргі математиканың көптеген салаларымен терең байланыста болады.

Уақыт доменінде локализацияланған функциялардың жиіліктік доменге таралатын және керісінше Фурье түрлендірулері бар, бұл құбылыс белгісіздік принципі. The сыни бұл қағида үшін жағдай болып табылады Гаусс функциясы, маңызды мәні ықтималдықтар теориясы және статистика сонымен қатар физикалық құбылыстарды зерттеу кезінде қалыпты таралу (мысалы, диффузия). Гаусс функциясының Фурье түрлендіруі - тағы бір Гаусс функциясы. Джозеф Фурье өзінің зерттеуінде өзгерісті енгізді жылу беру, мұнда Гаусс функциялары шешімдер ретінде көрінеді жылу теңдеуі.

Фурье түрлендіруін формальды түрде анықтауға болады дұрыс емес Риман интеграл, оны жасау интегралды түрлендірудегенмен, бұл анықтама неғұрлым күрделі интеграция теориясын қажет ететін көптеген қосымшаларға сәйкес келмейді.^{[2-ескерту]} Мысалы, көптеген салыстырмалы қарапайым қосымшалар Dirac delta функциясы, бұл функционалды сияқты формальды түрде қарастырылуы мүмкін, бірақ негіздеу үшін математикалық тұрғыдан неғұрлым күрделі көзқарас қажет.^{[3-ескерту]} Фурье түрлендіруін функциясын жіберіп, Евклид кеңістігіндегі бірнеше айнымалылардың функцияларына жалпылауға болады 3-өлшемді функциясы үшін 'кеңістік' 3-өлшемді импульс (немесе функциясына кеңістік пен уақыт функциясы 4 импульс). Бұл идея кеңістіктік Фурьенің түрленуін толқындарды зерттеу кезінде де, табиғи түрде де жасайды кванттық механика, мұнда толқындық шешімдерді позиция немесе импульс, кейде екеуінің функциялары ретінде ұсына білу маңызды. Жалпы, Фурье әдістері қолданылатын функциялар күрделі болып табылады және мүмкін векторлық.^{[4-ескерту]} Функцияларды одан әрі жалпылауға болады топтар, ол бастапқы Фурье түрінен басқа ℝ немесе ℝⁿ (қосымша топтар ретінде қарастырылады), атап айтқанда дискретті уақыттағы Фурье түрлендіруі (DTFT, топ = ℤ), дискретті Фурье түрлендіруі (DFT, топ = ℤ мод N) және Фурье сериясы немесе дөңгелек Фурье түрлендіруі (топ = S¹, бірлік шеңбер ≈ соңғы нүктелері анықталған жабық ақырғы аралық). Соңғысы үнемі жұмыс істеу үшін қолданылады мерзімді функциялар. The жылдам Фурье түрлендіруі (FFT) - DFT есептеу алгоритмі.

Анықтама

Функцияның Фурье түрлендіруі f дәстүрлі түрде белгіленеді ${ displaystyle { hat {f}}}$, қосу арқылы циркумфлекс функцияның белгісіне дейін. Бірнеше жалпы конвенциялар Фурье түрлендіруін анықтау үшін интегралды функциясы ${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {C}}$.^[1][2] Солардың бірі

${ displaystyle { hat {f}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {- 2 pi ix xi} , dx,}$

(Теңдеу)

кез келген үшін нақты нөмір ξ.

Экспоненттегі жағымсыз белгінің себебі оның құрамында көп болатындығында электротехника дейін ұсынуарқылы ${ displaystyle f (x) = e ^ {2 pi i xi _ {0} x}}$ нөлдік бастапқы фазасы мен жиілігі бар сигнал ${ displaystyle xi _ {0}.}$^{[3][5-ескерту]} Теріс белгілер конвенциясы өнімді тудырады ${ displaystyle e ^ {2 pi i xi _ {0} x} e ^ {- 2 pi i xi x}}$ болғанда 1 (жиілік нөл) болады ${ displaystyle xi = xi _ {0},}$ интегралдың бөлінуіне алып келеді. Нәтижесінде а Dirac delta функциясы кезінде ${ displaystyle xi = xi _ {0}}$, бұл жиіліктің жалғыз компоненті синусоидалы сигнал ${ displaystyle e ^ {2 pi i xi _ {0} x}.}$

Қашан тәуелсіз айнымалы х ұсынады уақыт, өзгермелі айнымалы ξ ұсынады жиілігі (мысалы, уақыт секундпен өлшенсе, жиілік в герц). Қолайлы жағдайларда, f арқылы анықталады ${ displaystyle { hat {f}}}$ кері түрлендіру арқылы:

${ displaystyle f (x) = int _ {- infty} ^ { infty} { hat {f}} ( xi) e ^ {2 pi ix xi} , d xi,}$

(Теңдеу)

кез келген нақты сан үшінх.

Бұл мәлімдеме f бастап қалпына келтіруге болады ${ displaystyle { hat {f}}}$ ретінде белгілі Фурье инверсиясының теоремасы, және алғаш рет енгізілген Фурьедікі Жылудың аналитикалық теориясы,^[4][5] дегенмен, қазіргі заманғы стандарттармен дәлелденетін нәрсе кейінірек ғана айтылған.^[6][7] Функциялар f және ${ displaystyle { hat {f}}}$ жиі а деп аталады Фурье интегралдық жұбы немесе Фурье түрлендіру жұбы.^[8]

Басқа жалпы конвенциялар мен белгілер үшін, соның ішінде бұрыштық жиілік ω орнына жиілігі ξ, қараңыз Басқа конгрестер және Басқа белгілер төменде. The Евклид кеңістігінде Фурье түрленуі бөлек қарастырылады, онда айнымалы х позицияны жиі білдіреді және ξ импульс. Осы мақалада таңдалған конвенциялар келесідей гармоникалық талдау, және Фурье түрлендіруінің екеуі болатындай ерекше конвенциялар ретінде сипатталады унитарлы қосулы L² және алгебралық гомоморфизм L¹ дейін L^∞, Лебег шарасын қайта қалыпқа келтірмей.^[9]

Фурье түрлендіруінің көптеген басқа сипаттамалары бар. Мысалы, біреуін пайдаланады Стоун-фон Нейман теоремасы: Фурье түрлендіруі бірегей унитарлық болып табылады intertwiner симплектикалық және Еврлидтік Шредингер үшін Гейзенберг тобы.

Тарих

1822 жылы, Джозеф Фурье кейбір функцияларды гармониканың шексіз қосындысы түрінде жазуға болатындығын көрсетті.^[10]

Кіріспе

Анимацияның алғашқы кадрларында функция f Фурье қатарына шешілген: синустар мен косинустардың сызықтық комбинациясы (көк түсте). Осы синус пен косинустың компоненттік жиіліктері жиілік спектрі бойынша таралады, олар жиіліктер кеңістігінде шыңдар ретінде көрсетілген (шын мәнінде Dirac delta функциялары, анимацияның соңғы кадрларында көрсетілген). Функцияның жиіліктік домендік көрінісі, f̂, бұл функцияның осы ажыратымдылығында пайда болатын жиіліктердегі осы шыңдардың жиынтығы.

Фурье түрлендіруінің бір мотиві зерттеуге негізделген Фурье сериясы. Фурье қатарын зерттеуде күрделі, бірақ периодты функциялар қарапайым толқындардың математикалық түрде көрсетілген қосындысы түрінде жазылады синустар және косинустар. Фурье түрлендіруі - бұл ұсынылған функцияның периоды ұзарған және жақындаған кезде пайда болатын Фурье қатарының кеңеюі. шексіздік.^[11]

Синус пен косинустың қасиеттеріне байланысты Фурье қатарындағы әрбір толқынның амплитудасын интегралды пайдаланып қалпына келтіруге болады. Көптеген жағдайларда оны қолданған жөн Эйлер формуласы, онда көрсетілген e^2πмен = cos (2πθ) + мен күнә (2πθ), негізгі толқындар тұрғысынан Фурье қатарын жазу e^2πмен. Бұл көптеген формулаларды жеңілдетудің артықшылығы бар және Фурье серияларының тұжырымдамасын осы мақалада келтірілген анықтамаға жақынырақ ұсынады. Синустар мен косинустарды қайта жазу күрделі экспоненциалдар Фурье коэффициенттерін кешенді бағалауды қажет етеді. Бұл күрделі санның әдеттегі түсіндірмесі - бұл екеуін де береді амплитудасы функциясында болатын толқынның (немесе өлшемі) фаза (немесе бастапқы бұрыш) толқын. Бұл күрделі экспоненциалдарда кейде теріс «жиіліктер» болады. Егер θ секундпен өлшенеді, содан кейін толқындар e^2πмен және e^−2πмен екеуі де секундына бір циклді аяқтайды, бірақ олар Фурье түрлендіруіндегі әртүрлі жиіліктерді білдіреді. Демек, жиілік енді уақыт бірлігі ішіндегі циклдар санын өлшемейді, бірақ бәрібір өзара тығыз байланысты.

Фурье қатарларының анықтамасы мен функциялар үшін Фурье түрлендіруі арасында тығыз байланыс бар f интервалдан тыс нөлге тең. Мұндай функция үшін біз оның Фурье қатарын қай жерде болатын нүктелерге есептей аламыз f бірдей нөлге тең емес. Мұндай функция үшін Фурье түрлендіруі де анықталған. Фурье қатарын есептейтін аралықтың ұзындығын арттырған кезде, Фурье қатарының коэффициенттері Фурье түрленуіне және Фурье қатарының қосындысына ұқсас бола бастайды. f кері Фурье түрленуіне ұқсай бастайды. Дәлірек айтсақ Т аралығы жеткілікті үлкен [−Т/2, Т/2] аралықты қамтиды f бірдей нөлге тең емес. Содан кейін nүшінші серия коэффициенті c_n береді:

${ displaystyle c_ {n} = { frac {1} {T}} int _ {- { frac {T} {2}}} ^ { frac {T} {2}} f (x) , e ^ {- 2 pi i сол ({ frac {n} {T}} оң) x} , dx.}$

Мұны Фурье түрлендіруінің анықтамасымен салыстыра отырып, мыналар шығады:

${ displaystyle c_ {n} = { frac {1} {T}} { hat {f}} сол жақ ({ frac {n} {T}} оң)}$

бері f (х) сыртында нөлге тең [−Т/2, Т/2]. Сонымен, Фурье коэффициенттері ені торында алынған Фурье түрлендіруінің мәндеріне тең 1/Т, тордың еніне көбейтіледі 1/Т.

Тиісті шарттарда Фурье қатары f функцияға тең болады f. Басқа сөздермен айтқанда, f жазуға болады:

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} c_ {n} , e ^ {2 pi i left ({ frac {n} {T}} оң) x} = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { hat {f}} ( xi _ {n}) e ^ {2 pi i xi _ {n} x } Delta xi,}$

мұндағы соңғы сома - бұл анықтамалар көмегімен қайта жазылған алғашқы сома ξ_n = n/Т, және Δξ = n + 1/Т − n/Т = 1/Т.

Бұл екінші қосынды а Риман қосындысы. Рұқсат ету арқылы Т → ∞ ол жоғарыда көрсетілгендей кері Фурье түрлендіруі үшін интегралға жақындайды. Қолайлы жағдайларда бұл дәлел дәл болуы мүмкін.^[12]

Фурье қатарларын зерттеуде сандар c_n Фурье қатарында кездесетін толқынның «мөлшері» деп санауға болады f. Дәл сол сияқты, жоғарыда көрсетілгендей, Фурье түрлендіруі біздің функциямызда әрбір жеке жиіліктің қаншалықты болатынын өлшейтін функция ретінде қарастырылуы мүмкін. f, және біз бұл функцияны интегралды (немесе «үздіксіз қосынды») пайдалану арқылы қайта қалпына келтіре аламыз.

Мысал

Келесі суреттер Фурьенің түрлендіруі жиіліктің белгілі бір функцияда болуын өлшейтінін көрнекі түрде көрсетеді. Бейнеленген функция f (т) = cos (6πт) e^−πт2 тербелісі 3-теHz (егер т секундты өлшейді) және 0-ге тез ұмтылады (Бұл теңдеудегі екінші фактор - an конверт функциясы үздіксіз синусоидты қысқа импульске айналдырады. Оның жалпы түрі - а Гаусс функциясы). Бұл функция нақты Фурье түрлендіруі үшін арнайы таңдалған, оны оңай кескіндеуге болады. Бірінші суретте оның графигі бар. Есептеу үшін ${ displaystyle { hat {f}} (3)}$ біз интеграциялануымыз керек e^{−2πмен(3т)}f (т). Екінші сурет осы функцияның нақты және ойдан шығарылған бөліктерінің сюжетін көрсетеді. Интегралдың нақты бөлігі әрдайым оң болады, өйткені қашан f (т) теріс, нақты бөлігі e^{−2πмен(3т)} теріс болып табылады. Себебі олар бірдей жылдамдықпен тербеледі, қашан f (т) позитивті, сонымен бірге нақты бөлігі де e^{−2πмен(3т)}. Нәтижесінде интегралдың нақты бөлігін интегралдағанда салыстырмалы түрде үлкен сан пайда болады (бұл жағдайда) 1/2). Екінші жағынан, сіз жоқ жиілікті өлшеуге тырысқанда, біз қарастырған жағдайдағыдай ${ displaystyle { hat {f}} (5)}$, бұл функцияның нақты да, ойдан шығарылған да компоненті оң және теріс мәндер арасында тез өзгеретінін көресіз, үшінші суретте көрсетілгендей. Сондықтан, бұл жағдайда интеграл өте тез тербеледі, сондықтан интеграл өте аз болады және осы жиіліктегі Фурье түрлендіруінің мәні нөлге тең болады.

Жалпы жағдай бұдан гөрі күрделірек болуы мүмкін, бірақ бұл Фурьенің түрлендіруі функцияда жеке жиіліктің қаншалықты болатындығын өлшейді. f (т).

• 

  3 Гц тербелісті көрсететін өзіндік функция.

• 

  3 Гц жиіліктегі Фурье түрлендіруі үшін интегралдың нақты және ойдан шығарылған бөліктері

• 

  Фурье түрлендіруге арналған интегралдың нақты және ойдан шығарылған бөліктері 5 Гц

• 

  Фурье түрлендіру шамасы, 3 және 5 Гц таңбаланған.

Фурье түрлендіруінің қасиеттері

Мұнда біз болжап отырмыз f (х), ж(х) және сағ(х) болып табылады интегралданатын функциялар: Лебегмен өлшенеді нақты сызық бойынша:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} | f (x) | , dx < infty.}$

Осы функциялардың Фурье түрлендірулерін былайша белгілейміз f̂ (ξ), ĝ(ξ) және ĥ(ξ) сәйкесінше.

Негізгі қасиеттері

Фурье түрлендіруінің келесі негізгі қасиеттері бар:^[13]

Сызықтық

Кез келген үшін күрделі сандар а және б, егер сағ(х) = аф (х) + bg(х), содан кейін ĥ(ξ) = а · f̂ (ξ) + б · ĝ(ξ).

Аударма / уақытты ауыстыру

Уақыт ауысқан сигналдың Фурье түрлендірілуін көрсететін анимация. [Жоғарғы] бастапқы сигнал (сары), үздіксіз уақыт ауысады (көк). [Төменде] Уақыт ауысқан сигналдың нәтижесі Фурье түрлендіруі. Жоғары жиіліктегі компоненттердің төменгі жиіліктегі компоненттерге қарағанда күрделі жазықтықта қалай тез айналатынына назар аударыңыз

Кез келген үшін нақты нөмір х₀, егер сағ(х) = f (х − х₀), содан кейін ĥ(ξ) = e^{−2πix₀ξ} f̂ (ξ).

Модуляция / жиіліктің ауысуы

Кез келген үшін нақты нөмір ξ₀, егер сағ(х) = e^2πixξ₀ f (х), содан кейін ĥ(ξ) = f̂ (ξ − ξ₀).

Уақытты масштабтау

Нөлге тең емес нақты нөмір а, егер сағ(х) = f (балта), содан кейін

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { frac {1} {| a |}} { hat {f}} left ({ frac { xi} {a}} right ).}$

Іс а = −1 әкеледі уақытты өзгерту меншік, онда: егер сағ(х) = f (−х), содан кейін ĥ(ξ) = f̂ (−ξ).

Біріктіру

Егер сағ(х) = f (х), содан кейін

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { overline {{ hat {f}} (- xi)}}.}$

Атап айтқанда, егер f нақты болса, онда біреуінде болады нақты жағдай

${ displaystyle { hat {f}} (- xi) = { overline {{ hat {f}} ( xi)}},}$

Бұл, f̂ Бұл Эрмициандық функция. Ал егер f таза қиял болып табылады

${ displaystyle { hat {f}} (- xi) = - { overline {{ hat {f}} ( xi)}}.}$

Уақыттағы нақты және қиял бөлігі

• Егер ${ displaystyle h (x) = Re {(f (x))}}$, содан кейін ${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { frac {1} {2}} left ({ hat {f}} ( xi) + { overline {{ hat {f}) } (- xi)}} оң)}$.
• Егер ${ displaystyle h (x) = Im {(f (x))}}$, содан кейін ${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { frac {1} {2i}} left ({ hat {f}} ( xi) - { overline {{ hat {f}) } (- xi)}} оң)}$.

Интеграция

Ауыстыру ξ = 0 анықтамада біз аламыз

${ displaystyle { hat {f}} (0) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx.}$

Яғни, Фурье түрленуін бастапқыда бағалау (ξ = 0) интегралына тең f оның барлық доменінде.

Айнымалылық және кезеңділік

Функция бойынша қолайлы жағдайларда f, оны Фурье түрлендіруінен қалпына келтіруге болады ${ displaystyle { hat {f}}}$. Шынында да, Фурье түрлендіру операторын F, сондықтан F( f ) := f̂, содан кейін қолайлы функциялар үшін Фурье түрлендіруін екі рет қолдану функцияны жай айналдырады: F²( f )(х) = f (−х), оны «уақытты кері қайтару» деп түсіндіруге болады. Уақыттың кері бағыты екі периодты болғандықтан, мұны екі рет қолдансаңыз, нәтиже береді F⁴( f ) = f, сондықтан Фурье түрлендіру операторы төрт периодты болады, және де Фурье түрлендіруін Фурье түрлендіруін үш рет қолдану арқылы алуға болады: F³( f̂ ) = f. Атап айтқанда, Фурье түрлендіруі (қолайлы жағдайда) кері болып табылады.

Дәлірек айтқанда паритет операторы P бұл уақытты аударады, P[ f ] : т ↦ f (−т):

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {F}} ^ {0} & = mathrm {Id}, quad { mathcal {F}} ^ {1} = { mathcal {F}}, { mathcal {F}} ^ {2} & = { mathcal {P}}, quad { mathcal {F}} ^ {3} = { mathcal {F}} ^ {- 1} = { mathcal {P}} circ { mathcal {F}} = { mathcal {F}} circ { mathcal {P}}, { mathcal {F}} ^ {4} & = mathrm {Id} end {aligned}}}$

Операторлардың бұл теңдіктері қарастырылып отырған функциялар кеңістігін мұқият анықтап, функциялардың теңдігін анықтайды (әр нүктеде теңдік? Теңдік) барлық жерде дерлік?) және операторлардың теңдігін анықтау - яғни қарастырылатын функция кеңістігі мен оператор кеңістігі бойынша топологияны анықтау. Бұл барлық функцияларға сәйкес келмейді, бірақ әр түрлі формалардың мазмұны болып табылатын әр түрлі жағдайларда дұрыс Фурье инверсиясының теоремасы.

Фурье түрлендіруінің осы төрт есе кезеңділігі жазықтықтың 90 ° айналуына ұқсас, әсіресе екі еселенген итерация кері айналдырады, және іс жүзінде бұл ұқсастықты дәл жасауға болады. Фурье түрлендіруін уақыт домені мен жиілік аймағын ауыстыру деп түсіндіруге болады, ал кері Фурье түрлендіруі оларды кері ауыстырады, геометриялық тұрғыдан оны 90 ° айналу деп түсіндіруге болады уақыт-жиілік домені (уақытты х-аксис және жиілік ж-аксис), ал Фурье түрлендіруін жалпылауға болады бөлшек Фурье түрлендіруі, бұл басқа бұрыштар бойынша айналуды қамтиды. Мұны әрі қарай жалпылауға болады сызықтық канондық түрлендірулер, іс-әрекеті ретінде елестетуге болады арнайы сызықтық топ SL₂(ℝ) сәйкес келетін сақталған симплектикалық формамен уақыт-жиілік жазықтығында белгісіздік принципі, төменде. Бұл тәсіл әсіресе зерттелген сигналдарды өңдеу, астында уақыт-жиіліктік талдау.

Бірлік және қосарлық

Математикада көбінесе кез-келген бірлікті екі айнымалыға бекітілген деп ойламайды т және ξ. Бірақ физикалық қосымшаларда ξ бірліктеріне кері бірліктері болуы керек т. Мысалы, егер т секундпен өлшенеді, ξформулалар жарамды болуы үшін секундына циклдарда болуы керек. Егер масштабы болса т өзгертілген және т 2 бірліктерімен өлшенедіπ секунд, содан кейін де ξ «деп аталатын жерде болуы керекбұрыштық жиілік«, немесе кейбір формулаларға кейбір тұрақты масштабты факторларды қосу керек. Егер т ұзындық өлшем бірлігімен өлшенеді, содан кейін ξ кері ұзындықта болуы керек, мысалы, бақытсыздар. Яғни, нақты сызықтың екі көшірмесі бар: бір бірлік жиынтығында өлшенген, қайда т диапазондары, ал екіншісі кері бірліктерге т, және бұл диапазон ξ. Сонымен, бұл нақты сызықтың екі нақты көшірмесі және оларды бір-бірімен сәйкестендіру мүмкін емес. Сондықтан Фурье түрлендіруі функциялардың бір кеңістігінен басқа функциялар кеңістігіне ауысады: анықталу облысы әр түрлі болатын функциялар.

Жалпы алғанда, ξ әрқашан а деп қабылдау керек сызықтық форма кеңістігінде тs, яғни екінші нақты сызық - деп айтуға болады қос кеңістік бірінші нақты жолдың. Туралы мақаланы қараңыз сызықтық алгебра неғұрлым ресми түсіндіру және толығырақ ақпарат алу үшін. Бұл көзқарас Фурьені жалпылауға айналдырудың жалпылауында маңызды болады симметрия топтары, соның ішінде Фурье қатарының жағдайы.

Фурье түрлендіруіне қатысатын нақты сызықтың екі көшірмесін салыстырудың артықшылықты тәсілі жоқ (көбінесе біреу «канондық жол жоқ») - бірліктерді бір жолға бекіту бірліктердің масштабын күштемейді. екінші жол - Фурье түрлендірмесін анықтауға арналған қарсылас конвенциялардың көптігінің себебі. Бірліктердің әр түрлі таңдауынан туындайтын әр түрлі анықтамалар әр түрлі тұрақтылармен ерекшеленеді. Егер т секундта, бірақ бірліктері ξ бұрыштық жиілікте болса, онда бұрыштық жиіліктің айнымалысы көбінесе сол немесе басқа грек әріптерімен белгіленеді, мысалы, ω = 2πξ өте кең таралған. Осылайша (жазу x̂₁ балама анықтама үшін және x̂ осы мақалада қабылданған анықтама үшін)

${ displaystyle { hat {x}} _ {1} ( omega) = { hat {x}} left ({ frac { omega} {2 pi}} right) = int _ { - infty} ^ { infty} x (t) e ^ {- i omega t} , dt}$

бұрынғыдай, бірақ сәйкесінше альтернативті инверсия формуласы болуы керек

${ displaystyle x (t) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} { hat {x}} _ {1} ( omega) e ^ {it omega} , d omega.}$

Бұрыштық жиілікті қамтитын, бірақ Фурье түрлендіруі мен инверсия формуласы арасындағы үлкен симметрияға ие болу үшін көбінесе Фурье түрлендіруінің тағы бір баламалы анықтамасын көреміз, √2π, осылайша

${ displaystyle { hat {x}} _ {2} ( omega) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} x ( t) e ^ {- i omega t} , dt,}$

және сәйкес инверсия формуласы болуы керек

${ displaystyle x (t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} { hat {x}} _ {2} ( omega) e ^ {it omega} , d omega.}$

Кейбір әдеттен тыс конвенцияларда, мысалы, FourierTransform командирінде қолданылатын Wolfram тілі, Фурье түрлендіруі бар мен көрсеткіштің орнына −мен, және керісінше инверсия формуласы үшін. Фурье түрлендіруге қатысты көптеген идентификациялар осы конвенцияларда жарамды болып қалады, егер олар нақты түрде қамтылған болса мен оны ауыстыру керек −мен.

Мысалы, ықтималдықтар теориясында сипаттамалық функция ϕ тығыздық функциясының ықтималдығы f кездейсоқ шаманың X үздіксіз тип экспоненциалда теріс белгісіз, және бірліктерінен бастап анықталады х ескерілмейді, 2 жоқπ немесе:

${ displaystyle phi ( lambda) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {i lambda x} , dx.}$

(Ықтималдықтар теориясында және математикалық статистикада Фурье-Стильтес түрлендіруін қолданған жөн, өйткені көптеген кездейсоқ шамалар үздіксіз типке ие емес, тығыздық функциясы жоқ, және функцияларды емес, бірақ таратуяғни «атомдарға» ие өлшемдер.)

Жоғары тұрғысынан топ кейіпкерлері, бұл әлдеқайда абстрактілі, осы ерікті таңдаудың бәрі жоғалады, өйткені осы мақаланың келесі бөлімінде түсіндіріледі, бұл функцияның Фурье түрлендіруі туралы ұғымды қарастырады жергілікті ықшам абель тобы.

Біртекті сабақтастық және Риман-Лебесге леммасы

The тікбұрышты функция болып табылады Lebesgue интегралды.

The sinc функциясы, бұл төртбұрышты функцияның Фурье түрлендіруі, шектелген және үздіксіз, бірақ Лебесг интегралданбайды.

Фурье түрлендіруі кейбір жағдайларда интегралданбайтын функциялар үшін анықталуы мүмкін, бірақ интегралданатын функциялардың Фурье түрлендірулері бірнеше күшті қасиеттерге ие.

Фурье түрлендіруі f̂ кез келген интегралды функцияның f болып табылады біркелкі үздіксіз және^[14]

${ displaystyle left | { hat {f}} right | _ { infty} leq left | f right | _ {1}}$

Бойынша Риман-Лебегге леммасы,^[15]

${ displaystyle { hat {f}} ( xi) to 0 { text {as}} | xi | to infty.}$

Алайда, ${ displaystyle { hat {f}}}$ интеграцияланбауы керек. Мысалы, -ның Фурье түрлендіруі тікбұрышты функцияинтегралды болып табылады sinc функциясы, олай емес Lebesgue интегралды, өйткені оның дұрыс емес интегралдар ұқсас әрекет етіңіз ауыспалы гармоникалық қатарлар, болмай қосындыға айналдыру кезінде мүлдем конвергентті.

Жалпы жазу мүмкін емес кері түрлендіру сияқты Лебег интегралы. Алайда, екеуі де болған кезде f және ${ displaystyle { hat {f}}}$ интегралды, кері теңдік

${ displaystyle f (x) = int _ {- infty} ^ { infty} { hat {f}} ( xi) e ^ {2i pi x xi} , d xi}$

ұстайды барлық жерде дерлік. Яғни, Фурье түрлендіруі болып табылады инъекциялық қосулы L¹(ℝ). (Бірақ егер f үздіксіз, сондықтан әрқайсысында теңдік болады х.)

Планчерел теоремасы және Парсевал теоремасы

Келіңіздер f (х) және ж(х) интеграцияланған болыңыз f̂ (ξ) және ĝ(ξ) олардың Фурье түрлендірулері болуы керек. Егер f (х) және ж(х) сонымен қатар шаршы-интегралды, содан кейін Парсеваль формуласы келесідей:^[16]

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) { overline {g (x)}} , dx = int _ {- infty} ^ { infty} { hat {f}} ( xi) { сызық {{ hat {g}} ( xi)}} , d xi,}$

мұнда жолақ белгіленеді күрделі конъюгация.

The Планчерел теоремасы, жоғарыда айтылғандардан туындайтыны туралы айтады^[17]

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} left | f (x) right | ^ {2} , dx = int _ {- infty} ^ { infty} left | { hat {f}} ( xi) right | ^ {2} , d xi.}$

Планчерел теоремасы Фурье түрлендіруін үздіксіздік аргументі бойынша а-ға дейін кеңейтуге мүмкіндік береді унитарлы оператор қосулы L²(ℝ). Қосулы L¹(ℝ) ∩ L²(ℝ), бұл кеңейту Фурье түріндегі нақты түрлендірумен келіседі L¹(ℝ), осылайша Фурье түрлендіруінің доменін көбейтеміз L¹(ℝ) + L²(ℝ) (және тиісінше L^б(ℝ) үшін 1 ≤ б ≤ 2). Планчерел теоремасы ғылымдарда Фурье түрлендіруі сақтайтын түсіндірмеге ие энергия бастапқы мөлшерден. Бұл формулалардың терминологиясы біршама стандартталған емес. Парсевалдың теоремасы тек Фурье сериясы үшін дәлелденді және оны алдымен Ляпунов дәлелдеді. Бірақ Парсеваль формуласы Фурье түрлендіруі үшін де мағынасы бар, сондықтан Фурье түрлендіруінің аясында оны Планчерел дәлелдегенімен, оны көбіне Парсеваль формуласы немесе Парсеваль қатынасы, тіпті Парсевал теоремасы деп атайды.

Қараңыз Понтрягиннің екіұштылығы жергілікті концентрацияланған абел топтарының контекстінде осы тұжырымдаманы жалпы тұжырымдау үшін.

Пуассонды қосудың формуласы

Пуассонды қосу формуласы (PSF) - мен байланысты болатын теңдеу Фурье сериясы коэффициенттері мерзімді қорытындылау Функцияның функцияның үздіксіз Фурье түрлендіруінің мәндеріне функциясы. Пуассонды қосу формуласы жеткілікті тұрақты функциялар үшін айтады f,

${ displaystyle sum _ {n} { hat {f}} (n) = sum _ {n} f (n).}$

Оның негізі Фурье түрлендіруінің масштабтау және уақытты ауыстыру қасиеттерін қолдану арқылы алынған әртүрлі пайдалы формалары бар. Формула техникада, физикада және сандар теориясы. Стандартты Пуассон жиынтық формуласының жиілік-домендік қосарламасы деп те аталады дискретті уақыттағы Фурье түрлендіруі.

Пуассон қосындысы, әдетте, шеңбер бойымен жылу өткізгіштік сияқты мерзімді орталардың физикасымен байланысты. Дөңгелектегі жылу теңдеуінің негізгі шешімі а деп аталады тета функциясы. Ол қолданылады сандар теориясы типіне айналатын тета функцияларының түрлендіру қасиеттерін дәлелдеу модульдік формажәне ол көбінесе теориямен байланысты автоморфтық формалар онда ол бір жағында пайда болады Selberg ізінің формуласы.

Саралау

Айталық f (х) бұл абсолютті үздіксіз дифференциалданатын функция және екеуі де f және оның туындысы f ′ интегралды. Сонда туындының Фурье түрлендіруі берілген

${ displaystyle { widehat {f ';}} ( xi) = 2 pi i xi { hat {f}} ( xi).}$

Жалпы, Фурье түрлендіруі nтуынды f⁽ⁿ⁾ арқылы беріледі

${ displaystyle { widehat {f ^ {(n)}}} ( xi) = (2 pi i xi) ^ {n} { hat {f}} ( xi).}$

Фурье түрлендіруін қолдану және осы формулаларды қолдану арқылы кейбір қарапайым дифференциалдық теңдеулер шешуге оңай болатын алгебралық теңдеулерге айналдыруға болады. Бұл формулалар бас бармақ ережесін тудырады »f (х) тегіс егер және егер болса f̂ (ξ) 0-ге тез түседі |ξ| → ∞«» Фурьені кері түрлендірудің ұқсас ережелерін қолдану арқылы мынаны айтуға болады «f (х) 0-ге тез түседі |х| → ∞ егер және егер болса f̂ (ξ) тегіс ».

Конволюция теоремасы

Фурье түрлендіруі арасында аударылады конволюция және функцияларды көбейту. Егер f (х) және ж(х) Фурье түрлендірулерімен интегралданатын функциялар f̂ (ξ) және ĝ(ξ) сәйкесінше, онда конволюцияның Фурье түрлендіруі Фурье түрлендірулерінің көбейтіндісімен беріледі f̂ (ξ) және ĝ(ξ) (Фурье түрлендіруін анықтауға арналған басқа конвенциялар бойынша тұрақты коэффициент пайда болуы мүмкін).

Бұл дегеніміз, егер:

${ displaystyle h (x) = (f * g) (x) = int _ {- infty} ^ { infty} f (y) g (x-y) , dy,}$

қайда ∗ конволюция операциясын білдіреді, содан кейін:

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { hat {f}} ( xi) cdot { hat {g}} ( xi).}$

Жылы сызықтық уақыт инвариантты (LTI) жүйелік теория, түсіндіру әдеттегідей ж(х) ретінде импульстік жауап енгізуімен LTI жүйесінің f (х) және шығу сағ(х), ауыстыруынан бастап бірлік импульсі үшін f (х) өнімділік сағ(х) = ж(х). Бұл жағдайда, ĝ(ξ) білдіреді жиілік реакциясы жүйенің

Керісінше, егер f (х) екі квадрат интегралданатын функциялардың көбейтіндісі ретінде бөлінуі мүмкін б(х) және q(х), онда Фурье түрлендіруі f (х) сәйкес Фурье түрлендірулерінің конволюциясы арқылы беріледі p̂(ξ) және q̂(ξ).

Кросс-корреляция теоремасы

Ұқсас түрде, егер екенін көрсетуге болады сағ(х) болып табылады өзара корреляция туралы f (х) және ж(х):

${ displaystyle h (x) = (f star g) (x) = int _ {- infty} ^ { infty} { overline {f (y)}} g (x + y) , dy }$

онда Фурье түрлендіруі сағ(х) бұл:

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { overline {{ hat {f}} ( xi)}} cdot { hat {g}} ( xi).}$

Ерекше жағдай ретінде автокорреляция функциясы f (х) бұл:

${ displaystyle h (x) = (f star f) (x) = int _ {- infty} ^ { infty} { overline {f (y)}} f (x + y) , dy }$

ол үшін

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { overline {{ hat {f}} ( xi)}} { hat {f}} ( xi) = left | { hat {f}} ( xi) right | ^ {2}.}$

Меншікті функциялар

Ортоноральды негіздің маңызды таңдауының бірі L²(ℝ) Эрмита функциялары арқылы беріледі

${ displaystyle psi _ {n} (x) = { frac { sqrt [{4}] {2}} { sqrt {n!}}} e ^ {- pi x ^ {2}} mathrm {He} _ {n} солға (2x { sqrt { pi}} оңға),}$

қайда Ол_n(х) «ықтималдық» Гермиттік көпмүшелерретінде анықталды

${ displaystyle mathrm {He} _ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ { frac {x ^ {2}} {2}} left ({ frac {d} {) dx}} right) ^ {n} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}}}$

Фурье түрлендіруге арналған осы конвенцияға сәйкес бізде бар

${ displaystyle { hat { psi}} _ {n} ( xi) = (- i) ^ {n} psi _ {n} ( xi)}$.

Басқаша айтқанда, Эрмита функциялары толық құрайды ортонормальды жүйесі өзіндік функциялар Фурье түрлендіруі үшін L²(ℝ).^[13] Алайда, өзіндік функциялардың бұл таңдауы ерекше емес. Төрт түрлі ғана меншікті мәндер Фурье түрлендіруінің шамасы (± 1 және ±)мен) және меншікті функциялардың өзіндік мәні бірдей кез-келген сызықтық тіркесімі басқа өзіндік функцияны береді. Осының салдарынан ыдырауға болады L²(ℝ) төрт кеңістіктің тікелей қосындысы ретінде H₀, H₁, H₂, және H₃ онда Фурье түрлендіруі әрекет етеді Ол_к жай көбейту арқылы мен^к.

Гермит функцияларының толық жиынтығы сәйкестіліктің шешімін қамтамасыз ететіндіктен, Фурье түрлендіруі жоғарыдағы меншікті мәндермен өлшенген осындай мүшелер жиынтығымен ұсынылуы мүмкін және бұл қосындыларды нақты түрде келтіруге болады. Фурье түрлендіруін анықтауға мұндай тәсілді бірінші болып жасады Норберт Винер.^[18] Басқа қасиеттермен қатар, гермиттік функциялар жиілікте де, уақыттық доменде де экспоненциалды жылдамдықпен төмендейді және осылайша олар Фурье түрлендіруінің жалпылауын анықтау үшін қолданылады, атап айтқанда бөлшек Фурье түрлендіруі уақыт жиілігін талдауда қолданылады.^[19] Жылы физика, бұл түрлендіру енгізілді Эдвард Кондон.^[20]

Гейзенберг тобымен байланыс

The Гейзенберг тобы белгілі бір топ туралы унитарлық операторлар үстінде Гильберт кеңістігі L²(ℝ) Квадраттық интегралданатын кешенді функциялар f аудармалар арқылы құрылған нақты жолда (Т_ж f )(х) = f (х + ж) және көбейту e^2πixξ, (М_ξ f )(х) = e^2πixξ f (х). Бұл операторлар маршрутты ауыстырмайды, өйткені олардың (топтық) коммутаторы

${ displaystyle left (M _ { xi} ^ {- 1} T_ {y} ^ {- 1} M _ { xi} T_ {y} f right) (x) = e ^ {2 pi iy xi} f (x)}$

бұл тұрақтыға көбейту (тәуелді емес х) e^2πiyξ ∈ U(1) ( шеңбер тобы күрделі модульдер модулі). Абстрактты топ ретінде Гейзенберг тобы үш өлшемді Өтірік тобы үштік (х, ξ, з) ∈ ℝ² × U(1), топтық заңмен

${ displaystyle left (x_ {1}, xi _ {1}, t_ {1} right) cdot left (x_ {2}, xi _ {2}, t_ {2} right) = left (x_ {1} + x_ {2}, xi _ {1} + xi _ {2}, t_ {1} t_ {2} e ^ {2 pi i left (x_ {1} ) xi _ {1} + x_ {2} xi _ {2} + x_ {1} xi _ {2} right)} right).}$

Гейзенберг тобын белгілеңіз H₁. Жоғарыда аталған процедура тек топ құрылымын ғана емес, сонымен бірге стандартты да сипаттайды унитарлық өкілдік туралы H₁ біз белгілейтін Гильберт кеңістігінде ρ : H₁ → B(L²(ℝ)). -Ның сызықтық автоморфизмін анықтаңыз ℝ² арқылы

${ displaystyle J { begin {pmatrix} x xi end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} - xi x end {pmatrix}}}$

сондай-ақ Дж² = −Мен. Бұл Дж бірегей автоморфизміне дейін кеңейтілуі мүмкін H₁:

${ displaystyle j сол (x, xi, t оң) = сол (- xi, x, te ^ {- 2 pi ix xi} оң).}$

Сәйкес Стоун-фон Нейман теоремасы, унитарлық өкілдіктер ρ және ρ ∘ j біртұтас эквивалентті болып табылады, сондықтан бірегей интертвинер бар W ∈ U(L²(ℝ)) осындай

${ displaystyle rho circ j = W rho W ^ {*}.}$

Бұл оператор W бұл Фурье түрлендіруі.

Фурье түрлендіруінің көптеген стандартты қасиеттері осы жалпы құрылымның жедел салдары болып табылады.^[21] Мысалы, Фурье түрлендіру квадраты, W², байланысты интертвинер Дж² = −Менжәне бізде бар (W²f )(х) = f (−х) - бұл бастапқы функцияның көрінісі f.

Кешенді домен

The ажырамас Фурье түрлендіруі үшін

${ displaystyle { hat {f}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- 2 pi i xi t} f (t) , dt}$

үшін зерттеуге болады күрделі оның аргументінің мәні ξ. Қасиеттеріне байланысты f, бұл шынайы осьтен мүлдем жиналмауы немесе а-ға жақындауы мүмкін күрделі аналитикалық функция барлық мәндері үшін ξ = σ + мен, немесе бір нәрсе арасында.^[22]

The Пейли-Винер теоремасы дейді f тегіс (яғни, nбарлық оң сандар үшін дифференциалданатын уақыт n) және ықтимал жағдайда ғана қолдау көрсетіледі f̂ (σ + мен) Бұл голоморфтық функция ол үшін бар а тұрақты а > 0 кез келген үшін бүтін n ≥ 0,

${ displaystyle left vert xi ^ {n} { hat {f}} ( xi) right vert leq Ce ^ {a vert tau vert}}$

тұрақты үшін C. (Бұл жағдайда, f қолдау көрсетіледі [−а, а].) Мұны осылай деп айтуға болады f̂ болып табылады бүкіл функция қайсысы тез төмендейді жылы σ (бекітілген үшін) τ) және экспоненциалды өсу τ (біркелкі σ).^[23]

(Егер f тегіс емес, тек L², мәлімдеме әлі де ұсынылған n = 0.^[24]) Функциясының кеңістігі күрделі айнымалы Пейли - Винер кеңістігі деп аталады. Бұл теорема жалпылама түрде жалпыланған Өтірік топтар.^[25]

Егер f жартылай жолда қолдау көрсетіледі т ≥ 0, содан кейін f «себеп» деп аталады, өйткені импульстік жауап беру функциясы физикалық тұрғыдан жүзеге асырылатын сүзгі бұл қасиетке ие болуы керек, өйткені ешқандай себеп оның себебі бола алмайды. Пейли және Винер сол кезде көрсетті f̂ а дейін созылады голоморфтық функция күрделі төменгі жарты жазықтықта τ < 0 ретінде нөлге ұмтылады τ шексіздікке жетеді.^[26] Керісінше жалған және себептік функцияның Фурье түрленуін қалай сипаттайтыны белгісіз.^[27]

Лапластың өзгеруі

Фурье түрлендіруі f̂ (ξ) байланысты Лапластың өзгеруі F(с)шешімі үшін де қолданылады дифференциалдық теңдеулер және талдау сүзгілер.

Бұл функция болуы мүмкін f ол үшін Фурье интегралы нақты осінде мүлде жинақталмайды, соған қарамастан оның белгілі бір аймағында анықталған күрделі Фурье түрлендіруі бар күрделі жазықтық.

Мысалы, егер f (т) экспоненциалды өсу болып табылады, яғни

${ displaystyle vert f (t) vert$

кейбір тұрақтылар үшін C, а ≥ 0, содан кейін^[28]

${ displaystyle { hat {f}} (i tau) = int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {2 pi tau t} f (t) , dt,}$

барлығына арналған конвергент 2πτ < −а, болып табылады Лапластың екі жақты түрленуі туралы f.

Лаплас түрлендіруінің әдеттегі нұсқасы («бір жақты»)

${displaystyle F(s)=int _{0}^{infty }f(t)e^{-st},dt.}$

Егер f is also causal, then

${displaystyle {hat {f}}(i au )=F(-2pi au ).}$

Thus, extending the Fourier transform to the complex domain means it includes the Laplace transform as a special case—the case of causal functions—but with the change of variable с = 2πiξ.

Инверсия

Егер f̂ is complex analytic for а ≤ τ ≤ б, содан кейін

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +ia)e^{2pi ixi t},dsigma =int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +ib)e^{2pi ixi t},dsigma }$

арқылы Кошидің интегралдық теоремасы. Therefore, the Fourier inversion formula can use integration along different lines, parallel to the real axis.^[29]

Теорема: егер f (т) = 0 үшін т < 0, және |f (т)| < Ce^а|т| for some constants C, а > 0, содан кейін

${displaystyle f(t)=int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +i au )e^{2pi ixi t},dsigma ,}$

кез келген үшін τ < −а/2π.

This theorem implies the Mellin inversion formula for the Laplace transformation,^[28]

${displaystyle f(t)={frac {1}{2pi i}}int _{b-iinfty }^{b+iinfty }F(s)e^{st},ds}$

кез келген үшін б > а, қайда F(с) Лаплас түрлендіруі болып табылады f (т).

The hypotheses can be weakened, as in the results of Carleman and Hunt, to f (т) e^{−кезінде} болу L¹, деген шартпен f is of bounded variation in a closed neighborhood of т (сал.) Dirichlet-Dini theorem), the value of f кезінде т is taken to be the орташа арифметикалық of the left and right limits, and provided that the integrals are taken in the sense of Cauchy principal values.^[30]

L² versions of these inversion formulas are also available.^[31]

Fourier transform on Euclidean space

The Fourier transform can be defined in any arbitrary number of dimensions n. As with the one-dimensional case, there are many conventions. For an integrable function f (х), this article takes the definition:

${displaystyle {hat {f}}({oldsymbol {xi }})={mathcal {F}}(f)({oldsymbol {xi }})=int _{mathbb {R} ^{n}}f(mathbf {x} )e^{-2pi imathbf {x} cdot {oldsymbol {xi }}},dmathbf {x} }$

қайда х және ξ болып табылады n-өлшемді векторлар, және х · ξ болып табылады нүктелік өнім of the vectors. Сонымен қатар, ξ can be viewed as belonging to the қос векторлық кеңістік ${displaystyle mathbb {R} ^{nstar }}$, in which case the dot product becomes the жиырылу туралы х және ξ, әдетте ретінде жазылады ⟨х, ξ⟩.

All of the basic properties listed above hold for the n-dimensional Fourier transform, as do Plancherel's and Parseval's theorem. When the function is integrable, the Fourier transform is still uniformly continuous and the Риман-Лебегге леммасы ұстайды.^[15]

Белгісіздік принципі

Generally speaking, the more concentrated f (х) is, the more spread out its Fourier transform f̂ (ξ) болуы тиіс. In particular, the scaling property of the Fourier transform may be seen as saying: if we squeeze a function in х, its Fourier transform stretches out in ξ. It is not possible to arbitrarily concentrate both a function and its Fourier transform.

The trade-off between the compaction of a function and its Fourier transform can be formalized in the form of an белгісіздік принципі by viewing a function and its Fourier transform as conjugate variables қатысты симплектикалық форма үстінде уақыт-жиілік домені: from the point of view of the linear canonical transformation, the Fourier transform is rotation by 90° in the time–frequency domain, and preserves the симплектикалық форма.

Айталық f (х) is an integrable and square-integrable функциясы. Without loss of generality, assume that f (х) is normalized:

${displaystyle int _{-infty }^{infty }|f(x)|^{2},dx=1.}$

Бұл Планчерел теоремасы бұл f̂ (ξ) is also normalized.

The spread around х = 0 may be measured by the dispersion about zero^[32] арқылы анықталады

${displaystyle D_{0}(f)=int _{-infty }^{infty }x^{2}|f(x)|^{2},dx.}$

In probability terms, this is the екінші сәт туралы |f (х)|² about zero.

The uncertainty principle states that, if f (х) is absolutely continuous and the functions х·f (х) және f ′(х) are square integrable, then^[13]

${displaystyle D_{0}(f)D_{0}left({hat {f}} ight)geq {frac {1}{16pi ^{2}}}}$.

The equality is attained only in the case

${displaystyle {egin{aligned}f(x)&=C_{1},e^{-pi {frac {x^{2}}{sigma ^{2}}}} herefore {hat {f}}(xi )&=sigma C_{1},e^{-pi sigma ^{2}xi ^{2}}end{aligned}}}$

қайда σ > 0 is arbitrary and C₁ = ⁴√2/√σ сондай-ақ f болып табылады L²-normalized.^[13] In other words, where f is a (normalized) Гаусс функциясы дисперсиямен σ², centered at zero, and its Fourier transform is a Gaussian function with variance σ⁻².

In fact, this inequality implies that:

${displaystyle left(int _{-infty }^{infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2},dx ight)left(int _{-infty }^{infty }(xi -xi _{0})^{2}left|{hat {f}}(xi ) ight|^{2},dxi ight)geq {frac {1}{16pi ^{2}}}}$

кез келген үшін х₀, ξ₀ ∈ ℝ.^[12]

Жылы кванттық механика, импульс және позиция толқындық функциялар are Fourier transform pairs, to within a factor of Планк тұрақтысы. With this constant properly taken into account, the inequality above becomes the statement of the Гейзенбергтің белгісіздік принципі.^[33]

A stronger uncertainty principle is the Hirschman uncertainty principle, ол келесідей көрінеді:

${displaystyle Hleft(left|f ight|^{2} ight)+Hleft(left|{hat {f}} ight|^{2} ight)geq log left({frac {e}{2}} ight)}$

қайда H(б) болып табылады differential entropy туралы ықтималдық тығыздығы функциясы б(х):

${displaystyle H(p)=-int _{-infty }^{infty }p(x)log {igl (}p(x){igr )},dx}$

where the logarithms may be in any base that is consistent. The equality is attained for a Gaussian, as in the previous case.

Синус пен косинустың өзгеруі

Fourier's original formulation of the transform did not use complex numbers, but rather sines and cosines. Statisticians and others still use this form. An absolutely integrable function f for which Fourier inversion holds good can be expanded in terms of genuine frequencies (avoiding negative frequencies, which are sometimes considered hard to interpret physically^[34]) λ арқылы

${displaystyle f(t)=int _{0}^{infty }{igl (}a(lambda )cos(2pi lambda t)+b(lambda )sin(2pi lambda t){igr )},dlambda .}$

This is called an expansion as a trigonometric integral, or a Fourier integral expansion. Функциялар коэффициенті а және б can be found by using variants of the Fourier cosine transform and the Fourier sine transform (the normalisations are, again, not standardised):

${displaystyle a(lambda )=2int _{-infty }^{infty }f(t)cos(2pi lambda t),dt}$

және

${displaystyle b(lambda )=2int _{-infty }^{infty }f(t)sin(2pi lambda t),dt.}$

Older literature refers to the two transform functions, the Fourier cosine transform, а, and the Fourier sine transform, б.

Функция f can be recovered from the sine and cosine transform using

${displaystyle f(t)=2int _{0}^{infty }int _{-infty }^{infty }f( au )cos {igl (}2pi lambda ( au -t){igr )},d au ,dlambda .}$

together with trigonometric identities. This is referred to as Fourier's integral formula.^{[28][35][36][37]}

Сфералық гармоника

Let the set of біртекті гармоникалық көпмүшелер дәрежесі к қосулы ℝⁿ деп белгіленсін A_к. Жинақ A_к тұрады solid spherical harmonics дәрежесі к. The solid spherical harmonics play a similar role in higher dimensions to the Hermite polynomials in dimension one. Нақтырақ айтқанда, егер f (х) = e^−π|х|2P(х) кейбіреулер үшін P(х) жылы A_к, содан кейін f̂ (ξ) = мен^−к f (ξ). Жинаққа рұқсат етіңіз H_к be the closure in L²(ℝⁿ) of linear combinations of functions of the form f (|х|)P(х) қайда P(х) ішінде A_к. Кеңістік L²(ℝⁿ) is then a direct sum of the spaces H_к and the Fourier transform maps each space H_к to itself and is possible to characterize the action of the Fourier transform on each space H_к.^[15]

Келіңіздер f (х) = f₀(|х|)P(х) (бірге P(х) жылы A_к), содан кейін

${displaystyle {hat {f}}(xi )=F_{0}(|xi |)P(xi )}$

қайда

${displaystyle F_{0}(r)=2pi i^{-k}r^{-{frac {n+2k-2}{2}}}int _{0}^{infty }f_{0}(s)J_{frac {n+2k-2}{2}}(2pi rs)s^{frac {n+2k}{2}},ds.}$

Мұнда Дж_{n + 2к − 2/2} дегенді білдіреді Бессель функциясы of the first kind with order n + 2к − 2/2. Қашан к = 0 this gives a useful formula for the Fourier transform of a radial function.^[38] Бұл негізінен Ганкель түрлендіру. Moreover, there is a simple recursion relating the cases n + 2 және n^[39] allowing to compute, e.g., the three-dimensional Fourier transform of a radial function from the one-dimensional one.

Restriction problems

In higher dimensions it becomes interesting to study restriction problems for the Fourier transform. The Fourier transform of an integrable function is continuous and the restriction of this function to any set is defined. But for a square-integrable function the Fourier transform could be a general сынып of square integrable functions. As such, the restriction of the Fourier transform of an L²(ℝⁿ) function cannot be defined on sets of measure 0. It is still an active area of study to understand restriction problems in L^б үшін 1 < б < 2. Surprisingly, it is possible in some cases to define the restriction of a Fourier transform to a set S, қарастырылған S has non-zero curvature. Іс қашан S is the unit sphere in ℝⁿ is of particular interest. In this case the Tomas–Штайн restriction theorem states that the restriction of the Fourier transform to the unit sphere in ℝⁿ - шектелген оператор L^б берілген 1 ≤ б ≤ 2n + 2/n + 3.

One notable difference between the Fourier transform in 1 dimension versus higher dimensions concerns the partial sum operator. Consider an increasing collection of measurable sets E_R indexed by R ∈ (0,∞): such as balls of radius R centered at the origin, or cubes of side 2R. For a given integrable function f, consider the function f_R анықталған:

${displaystyle f_{R}(x)=int _{E_{R}}{hat {f}}(xi )e^{2pi ixcdot xi },dxi ,quad xin mathbb {R} ^{n}.}$

Бұған қосымша делік f ∈ L^б(ℝⁿ). Үшін n = 1 және 1 < б < ∞, if one takes E_R = (−R, R), содан кейін f_R converges to f жылы L^б сияқты R tends to infinity, by the boundedness of the Гильберт түрлендіру. Naively one may hope the same holds true for n > 1. Бұл жағдайда E_R is taken to be a cube with side length R, then convergence still holds. Another natural candidate is the Euclidean ball E_R = {ξ : |ξ| < R}. In order for this partial sum operator to converge, it is necessary that the multiplier for the unit ball be bounded in L^б(ℝⁿ). Үшін n ≥ 2 it is a celebrated theorem of Чарльз Фефферман that the multiplier for the unit ball is never bounded unless б = 2.^[18] In fact, when б ≠ 2, this shows that not only may f_R fail to converge to f жылы L^б, but for some functions f ∈ L^б(ℝⁿ), f_R is not even an element of L^б.

Fourier transform on function spaces

Қосулы L^б кеңістіктер

Қосулы L¹

The definition of the Fourier transform by the integral formula

${displaystyle {hat {f}}(xi )=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2pi ixi cdot x},dx}$

is valid for Lebesgue integrable functions f; Бұл, f ∈ L¹(ℝⁿ).

Фурье түрлендіруі F : L¹(ℝⁿ) → L^∞(ℝⁿ) Бұл шектелген оператор. This follows from the observation that

${displaystyle leftvert {hat {f}}(xi ) ightvert leq int _{mathbb {R} ^{n}}vert f(x)vert ,dx,}$

which shows that its операторлық норма is bounded by 1. Indeed, it equals 1, which can be seen, for example, from the transform of the rect function. Бейнесі L¹ кеңістіктің ішкі жиыны болып табылады C₀(ℝⁿ) of continuous functions that tend to zero at infinity (the Риман-Лебегге леммасы), although it is not the entire space. Indeed, there is no simple characterization of the image.

Қосулы L²

Since compactly supported smooth functions are integrable and dense in L²(ℝⁿ), Планчерел теоремасы allows us to extend the definition of the Fourier transform to general functions in L²(ℝⁿ) by continuity arguments. The Fourier transform in L²(ℝⁿ) is no longer given by an ordinary Lebesgue integral, although it can be computed by an дұрыс емес интеграл, here meaning that for an L² функциясы f,

${displaystyle {hat {f}}(xi )=lim _{R o infty }int _{|x|leq R}f(x)e^{-2pi ixcdot xi },dx}$

мұнда шектеу қабылданады L² сезім. (More generally, you can take a sequence of functions that are in the intersection of L¹ және L² and that converges to f ішінде L²-norm, and define the Fourier transform of f ретінде L² -limit of the Fourier transforms of these functions.^[40])

Many of the properties of the Fourier transform in L¹ carry over to L², by a suitable limiting argument.

Сонымен қатар, F : L²(ℝⁿ) → L²(ℝⁿ) Бұл унитарлы оператор.^[41] For an operator to be unitary it is sufficient to show that it is bijective and preserves the inner product, so in this case these follow from the Fourier inversion theorem combined with the fact that for any f, ж ∈ L²(ℝⁿ) Бізде бар

${displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){mathcal {F}}g(x),dx=int _{mathbb {R} ^{n}}{mathcal {F}}f(x)g(x),dx.}$

Атап айтқанда, L²(ℝⁿ) is itself under the Fourier transform.

Басқа жағынан L^б

The definition of the Fourier transform can be extended to functions in L^б(ℝⁿ) үшін 1 ≤ б ≤ 2 by decomposing such functions into a fat tail part in L² plus a fat body part in L¹. In each of these spaces, the Fourier transform of a function in L^б(ℝⁿ) ішінде L^q(ℝⁿ), қайда q = б/б − 1 Holder конъюгаты болып табылады б (бойынша Хаусдорф - Жас теңсіздік). However, except for б = 2, the image is not easily characterized. Further extensions become more technical. The Fourier transform of functions in L^б for the range 2 < б < ∞ requires the study of distributions.^[14] In fact, it can be shown that there are functions in L^б бірге б > 2 so that the Fourier transform is not defined as a function.^[15]

Шыңдалған үлестірулер

One might consider enlarging the domain of the Fourier transform from L¹ + L² by considering жалпыланған функциялар, or distributions. A distribution on ℝⁿ is a continuous linear functional on the space C_c(ℝⁿ) of compactly supported smooth functions, equipped with a suitable topology. The strategy is then to consider the action of the Fourier transform on C_c(ℝⁿ) and pass to distributions by duality. The obstruction to doing this is that the Fourier transform does not map C_c(ℝⁿ) дейін C_c(ℝⁿ). In fact the Fourier transform of an element in C_c(ℝⁿ) can not vanish on an open set; see the above discussion on the uncertainty principle. The right space here is the slightly larger space of Schwartz functions. The Fourier transform is an automorphism on the Schwartz space, as a topological vector space, and thus induces an automorphism on its dual, the space of tempered distributions.^[15] The tempered distributions include all the integrable functions mentioned above, as well as well-behaved functions of polynomial growth and distributions of compact support.

For the definition of the Fourier transform of a tempered distribution, let f және ж be integrable functions, and let f̂ және ĝ be their Fourier transforms respectively. Then the Fourier transform obeys the following multiplication formula,^[15]

${displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}{hat {f}}(x)g(x),dx=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){hat {g}}(x),dx.}$

Every integrable function f defines (induces) a distribution Т_f қатынас бойынша

${displaystyle T_{f}(varphi )=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)varphi (x),dx}$

for all Schwartz functions φ. So it makes sense to define Fourier transform T̂_f туралы Т_f арқылы

${displaystyle {hat {T}}_{f}(varphi )=T_{f}left({hat {varphi }} ight)}$

for all Schwartz functions φ. Extending this to all tempered distributions Т gives the general definition of the Fourier transform.

Distributions can be differentiated and the above-mentioned compatibility of the Fourier transform with differentiation and convolution remains true for tempered distributions.

Жалпылау

Фурье-Стильтес трансформациясы

The Fourier transform of a finite Borel measure μ қосулы ℝⁿ береді:^[42]

${displaystyle {hat {mu }}(xi )=int _{mathbb {R} ^{n}}e^{-2pi ixcdot xi },dmu .}$

This transform continues to enjoy many of the properties of the Fourier transform of integrable functions. One notable difference is that the Риман-Лебегге леммасы fails for measures.^[14] Бұл жағдайда dμ = f (х) dx, then the formula above reduces to the usual definition for the Fourier transform of f. Бұл жағдайда μ is the probability distribution associated to a random variable X, the Fourier–Stieltjes transform is closely related to the сипаттамалық функция, but the typical conventions in probability theory take e^ixξ орнына e^−2πixξ.^[13] In the case when the distribution has a ықтималдық тығыздығы функциясы this definition reduces to the Fourier transform applied to the probability density function, again with a different choice of constants.

The Fourier transform may be used to give a characterization of measures. Bochner's theorem characterizes which functions may arise as the Fourier–Stieltjes transform of a positive measure on the circle.^[14]

Сонымен қатар Dirac delta функциясы, although not a function, is a finite Borel measure. Its Fourier transform is a constant function (whose specific value depends upon the form of the Fourier transform used).

Locally compact abelian groups

The Fourier transform may be generalized to any locally compact abelian group. A locally compact abelian group is an абель тобы that is at the same time a жергілікті ықшам Hausdorff topological space so that the group operation is continuous. Егер G is a locally compact abelian group, it has a translation invariant measure μ, деп аталады Хаар өлшемі. Жергілікті ықшам топтар үшін G, the set of irreducible, i.e. one-dimensional, unitary representations are called its кейіпкерлер. With its natural group structure and the topology of pointwise convergence, the set of characters Ĝ is itself a locally compact abelian group, called the Понтрягин қосарланған туралы G. Функция үшін f жылы L¹(G), its Fourier transform is defined by^[14]

${ displaystyle { hat {f}} ( xi) = int _ {G} xi (x) f (x) , d mu qquad { text {for}}} xi in { hat {G}}.}$

Бұл жағдайда Риман-Лебегу леммасы болады; f̂ (ξ) шексіздікте жоғалып кететін функция Ĝ.

Фурье өзгереді Т= R / Z - мысал; Мұнда Т жергілікті ықшам абель тобы және Хаар өлшемі μ қосулы Т [0,1] бойынша Лебег шарасы ретінде қарастыруға болады. Ұсынуын қарастырайық Т күрделі жазықтықта C бұл 1-өлшемді күрделі векторлық кеңістік. Өкілдіктер тобы бар (олар содан бері төмендетілмейді) C 1-күңгірт) ${ displaystyle {e_ {k}: T rightarrow GL_ {1} (C) = C ^ {*} mid k in Z }}$ қайда ${ displaystyle e_ {k} (x) = e ^ {2 pi ikx}}$ үшін ${ displaystyle x in T}$.

Мұндай өкілдіктің сипаты, яғни ${ displaystyle e_ {k} (x)}$ әрқайсысы үшін ${ displaystyle x in T}$ және ${ displaystyle k in Z}$, болып табылады ${ displaystyle e ^ {2 pi ikx}}$ өзі. Соңғы топты ұсынған жағдайда, топтың символдық кестесі G - бұл векторлар қатарлары, сондықтан әрбір жол - бұл бір төмендетілмейтін кескіннің символы G, және бұл векторлар класс функциясының кеңістігінің ортонормальды негізін құрайды G дейін C Шур леммасымен. Енді топ Т бұдан былай ақырлы емес, бірақ әлі де жинақы және ол кестедегі ортонормалдылықты сақтайды. Кестенің әр жолы - функция ${ displaystyle e_ {k} (x)}$ туралы ${ displaystyle x in T,}$ және екі класс функциясы арасындағы ішкі өнім (барлық функциялар содан бері сынып функциялары болып табылады) Т абельдік) f,${ displaystyle g in L ^ {2} (T, d mu)}$ ретінде анықталады ${ displaystyle = { frac {1} {| T |}} int _ {[0,1)} f (y) { overline {g}} (y) d mu (y) )}$ қалыпқа келтіретін фактормен ${ displaystyle | T | = 1.}$ Кезектілік ${ displaystyle {e_ {k} mid k in Z }}$ класс функциялары кеңістігінің ортонормальды негізі болып табылады ${ displaystyle L ^ {2} (T, d mu).}$

Кез-келген өкілдік үшін V ақырғы топтың G, ${ displaystyle chi _ {v}}$ аралығы ретінде көрсетілуі мүмкін ${ displaystyle sum _ {i} < chi _ {v}, chi _ {v_ {i}}> chi _ {v_ {i}}}$(${ displaystyle V_ {i}}$ болып табылады G), с.т. ${ displaystyle < chi _ {v}, chi _ {v_ {i}}> = { frac {1} {| G |}} sum _ {g in G} chi _ {v} ( g) { overline { chi}} _ {v_ {i}} (g)}$. Сол сияқты ${ displaystyle G = T}$ және ${ displaystyle f in L ^ {2} (T, d mu)}$, ${ displaystyle f (x) = sum _ {k in Z} { hat {f}} (k) e_ {k}}$. Понтриагин қосарланған ${ displaystyle { hat {T}}}$ болып табылады ${ displaystyle {e_ {k} } (k in Z)}$ және үшін ${ displaystyle f in L ^ {2} (T, d mu)}$, ${ displaystyle { hat {f}} (k) = { frac {1} {| T |}} int _ {[0,1)} f (y) e ^ {- 2 pi iky} dy }$ оның Фурье түрлендіруі болып табылады ${ displaystyle e_ {k} in { hat {T}}}$.

Гельфанд түрлендіру

Фурье түрлендіруі де ерекше жағдай болып табылады Гельфанд түрлендіру. Бұл нақты жағдайда ол жоғарыда анықталған Понтрягиннің қосарлану картасымен тығыз байланысты.

Абелия берілген жергілікті ықшам Хаусдорф топологиялық топ G, біз бұрынғыдай ғарышты қарастырамыз L¹(G), Haar өлшемі көмегімен анықталған. Көбейту сияқты конволюциямен, L¹(G) Абелия Банах алгебрасы. Оның ан инволюция * берілген

${ displaystyle f ^ {*} (g) = { overline {f left (g ^ {- 1} right)}}.}$

Аяқтауды ең үлкен мүмкіндігіне қарай қабылдау C*-norm өзінің конвертін береді C*-алгебра, топ деп аталады C*-алгебра C*(G) туралы G. (Кез келген C*-норм L¹(G) шектелген L¹ норма, сондықтан олардың супремумы бар.)

Кез-келген абелияны ескере отырып C*-алгебра A, Гельфанд түрлендіруі арасындағы изоморфизмді береді A және C₀(A^), қайда A^ мультипликативті сызықтық функционалдар, яғни бір өлшемді бейнелер, бойынша A әлсіздігімен * топология. Карта жай беріледі

${ displaystyle a mapsto { bigl (} varphi mapsto varphi (a) { bigr)}}$

-Ның көбейтінді сызықтық функционалдары шығады C*(G), сәйкес сәйкестендіруден кейін, дәл осы таңбалар G, және Гельфанд түрлендіреді, тек тығыз ішкі жиынмен шектелгенде L¹(G) бұл Фурье-Понтрягин өзгерісі.

Абельді емес ықшам топтар

Фурье түрлендіруі, егер топ болған жағдайда, абелиялық емес топтағы функциялар үшін де анықталуы мүмкін ықшам. Негізгі топ абельдік деген болжамды алып тастай отырып, қысқартылмайтын унитарлық өкілдіктер әрқашан бір өлшемді бола бермейді. Бұл абельдік емес топтағы Фурье түрлендіруі Гильберт кеңістігінің операторлары ретінде мәндерді қабылдайтындығын білдіреді.^[43] Фурье түрлендіруі ықшам топтардағы негізгі құрал болып табылады ұсыну теориясы^[44] және коммутативті емес гармоникалық талдау.

Келіңіздер G ықшам болыңыз Хаусдорф топологиялық топ. Келіңіздер Σ барлық изоморфизм кластарының жиынтығын азайтуға болатын өлшемді азайтуға болмайды унитарлық өкілдіктер, ұсынудың нақты таңдауымен бірге U^(σ) үстінде Гильберт кеңістігі H_σ ақырлы өлшем г._σ әрқайсысы үшін σ ∈ Σ. Егер μ ақырлы болып табылады Борель өлшемі қосулы G, содан кейін Фурье-Стильтес түрлендіруі μ қосулы оператор болып табылады H_σ арқылы анықталады

${ displaystyle left langle { hat { mu}} xi, eta right rangle _ {H _ { sigma}} = int _ {G} left langle { overline {U}} _ {g} ^ {( sigma)} xi, eta right rangle , d mu (g)}$

қайда U^(σ) -дың күрделі-конъюгаталық көрінісі болып табылады U^(σ) әрекет ету H_σ. Егер μ болып табылады мүлдем үздіксіз қатысты ықтималдық өлшемі λ қосулы G, ұсынылған сияқты

${ displaystyle d mu = f , d lambda}$

кейбіреулер үшін f ∈ L¹(λ), бірі Фурье түрлендіруін анықтайды f Фурье-Стильтес өзгерісімен μ.

Картаға түсіру

${ displaystyle mu mapsto { hat { mu}}}$

арасындағы изоморфизмді анықтайды Банах кеңістігі М(G) шектеулі Borel шараларының (қараңыз) rca кеңістігі) және Банах кеңістігінің жабық ішкі кеңістігі C_∞(Σ) барлық тізбектерден тұрады E = (E_σ) индекстелген Σ (шектелген) сызықтық операторлар E_σ : H_σ → H_σ ол үшін норма

${ displaystyle | E | = sup _ { sigma in Sigma} left | E _ { sigma} right |}$

ақырлы. «конволюция теоремасы«сонымен қатар, Банах кеңістігінің бұл изоморфизмі іс жүзінде изометриялық изоморфизм болып табылады C * алгебралары кіші кеңістігіне C_∞(Σ). Көбейту қосулы М(G) арқылы беріледі конволюция шаралары мен инволюциясы * анықталған

${ displaystyle f ^ {*} (g) = { overline {f left (g ^ {- 1} right)}},}$

және C_∞(Σ) табиғиға ие C*-гильберт кеңістігінің операторлары ретінде алгебра құрылымы.

The Питер-Вейл теоремасы және Фурье инверсия формуласының нұсқасы (Планчерел теоремасы) келесідей: егер f ∈ L²(G), содан кейін

${ displaystyle f (g) = sum _ { sigma in Sigma} d _ { sigma} operatorname {tr} left ({ hat {f}} ( sigma) U_ {g} ^ {( sigma)} дұрыс)}$

мұндағы жиынтық түсініледі L² сезім.

Коммутативті емес жағдайға Фурье түрлендіруін жалпылау сонымен қатар дамуына ықпал етті коммутативті емес геометрия.^{[дәйексөз қажет]} Осы тұрғыдан алғанда, Фурье түрлендіруін катомикалық емес топтарға категориялық жалпылау болып табылады Таннака - Керин дуальдылығы, бұл кейіпкерлер тобын бейнелеу категориясымен ауыстырады. Алайда, бұл гармоникалық функциялармен байланысты жоғалтады.

Балама нұсқалар

Жылы сигналдарды өңдеу терминдер, функция (уақыт) - бұл сигналдың мінсіз көрінісі уақытты анықтау, бірақ жиілік туралы ақпарат жоқ, ал Фурье түрлендіруі керемет жиілік ажыратымдылығы, бірақ уақыт туралы ақпарат жоқ: нүктедегі Фурье түрлендіруінің шамасы дегеніміз - бұл жиіліктің мазмұны қанша, бірақ орналасу тек фаза арқылы беріледі (Фурье түрлендіруінің нүктедегі аргументі) және тұрақты толқындар уақытында локализацияланбаған - синус толқындары шірімей, шірімей жалғасады. Бұл уақыт бойынша локализацияланған сигналдарды талдау үшін Фурье түрлендіруінің пайдалылығын шектейді, атап айтқанда өтпелінемесе кез келген сигнал.

Фурье түрлендіруіне балама ретінде, жылы уақыт жиілігін талдау, уақыттық жиіліктің түрленуін немесе уақыттық жиіліктің үлестірілуін сигналдарды белгілі бір уақыт туралы және кейбір жиілік туралы ақпаратқа ие формада ұсыну үшін қолданады - белгісіздік қағидаты бойынша олардың арасында өзара түсіністік бар. Бұл Фурье түрлендіруінің жалпылауы болуы мүмкін, мысалы қысқа уақыттағы Фурье түрлендіруі немесе бөлшек Фурье түрлендіруінемесе сияқты сигналдарды ұсынатын басқа функциялар вейвлет түрлендіреді және chirplet түрлендіреді, Фурье түрлендіруінің (үздіксіз) вейвлет аналогы болып табылады толқындық үздіксіз түрлендіру.^[19]

Қолданбалар

Кейбір есептер, мысалы, белгілі бір дифференциалдық теңдеулер Фурье түрлендіруі қолданылғанда, оңай шешіледі. Бұл жағдайда кері Фурье түрлендіруінің көмегімен бастапқы есептің шешімі қалпына келеді.

Дифференциалдық теңдеулерді талдау

Мүмкін, Фурье түрлендіруін қолданудың ең маңыздысы - шешу дербес дифференциалдық теңдеулер.ХІХ ғасырдағы математикалық физиканың көптеген теңдеулеріне осылай қарауға болады. Фурье жылу теңдеуін зерттеді, ол бір өлшемде және өлшемсіз бірліктерде болады

${ displaystyle { frac { ішіндегі ^ {2} у (х, t)} { жартылай ^ {2} х}} = { frac { жартылай у (х, t)} {{жартылай t}} .}$

Біз келтіретін мысал, сәл қиынырақ, бір өлшемдегі толқын теңдеуі,

${ displaystyle { frac { ішіндегі ^ {2} у (х, t)} { жартылай ^ {2} х}} = { frac { жартылай ^ {2} у (х, т)} { жартылай ^ {2} t}}.}$

Әдеттегідей, мәселе шешімін табуда емес: шексіз көп. Мәселе «шекаралық есеп» деп аталатын мәселеде: «шекаралық шарттарды» қанағаттандыратын шешімді табыңыз

${ displaystyle y (x, 0) = f (x), qquad { frac { ішінара y (x, 0)} {{бөлшектік t}} = g (x).}$

Мұнда, f және ж функциялар берілген. Жылу теңдеуі үшін бір ғана шекара шарты қажет болуы мүмкін (көбіне біріншісі). Бірақ толқындық теңдеу үшін әлі де көптеген шешімдер бар ж бірінші шекаралық шартты қанағаттандыратын. Бірақ біреу екі шартты таңдайтын болса, оны шешудің бір ғана мүмкіндігі бар.

Фурье түрлендіруін табу оңайырақ ŷ шешімді тікелей табуға қарағанда. Себебі, Фурье түрлендіруі дифференциацияны Фурье-екі айнымалыға көбейтуге алады, сондықтан бастапқы функцияға қолданылатын ішінара дифференциалдық теңдеу түрлендірілген функцияға қолданылатын қос айнымалылардың полиномдық функциялары арқылы көбейтуге айналады. Кейін ŷ анықталды, табу үшін кері Фурье түрлендіруін қолдана аламыз ж.

Фурье әдісі келесідей. Біріншіден, формалардың кез-келген функциясы бар екенін ескеріңіз

${ displaystyle cos { bigl (} 2 pi xi (x pm t) { bigr)} { mbox {or}} sin { bigl (} 2 pi xi (x pm t) ) { bigr)}}$

толқындық теңдеуді қанағаттандырады. Бұлар қарапайым шешімдер деп аталады.

Екіншіден, кез-келген интегралға назар аударыңыз

${ displaystyle y (x, t) = int _ {0} ^ { infty} a _ {+} ( xi) cos { bigl (} 2 pi xi (x + t) { bigr) } + a _ {-} ( xi) cos { bigl (} 2 pi xi (xt) { bigr)} + ​​b _ {+} ( xi) sin { bigl (} 2 pi ) xi (x + t) { bigr)} + ​​b _ {-} ( xi) sin left (2 pi xi (xt) right) , d xi}$

(ерікті үшін а₊, а₋, б₊, б₋) толқындық теңдеуді қанағаттандырады. (Бұл интеграл тек үздіксіз сызықтық комбинацияның бір түрі, ал теңдеу сызықтық болып табылады).

Енді бұл функцияның Фурье синтезінің формуласына ұқсайды. Шындығында, бұл нақты кері Фурье түрлендіруі а_± және б_± айнымалыда х.

Үшінші қадам - ​​нақты белгісіз коэффициент функцияларын қалай табуға болатындығын тексеру а_± және б_± бұл әкеледі ж шекаралық шарттарды қанағаттандыру. Бізді осы шешімдердің мәндері қызықтырады т = 0. Сонымен біз қоямыз т = 0. Фурье инверсиясына қажетті шарттар орындалды деп есептесек, Фурье синусын және косинус түрлендірулерін табуға болады (айнымалыдан х) екі жақтан да алуға болады

${ displaystyle 2 int _ {- infty} ^ { infty} y (x, 0) cos (2 pi xi x) , dx = a _ {+} + a _ {-}}$

және

${ displaystyle 2 int _ {- infty} ^ { infty} y (x, 0) sin (2 pi xi x) , dx = b _ {+} + b _ {-}.}$

Сол сияқты, туындысын алу ж құрметпен т содан кейін Фурье синусын және косинустық түрлендірулерді қолданғанда нәтиже шығады

${ displaystyle 2 int _ {- infty} ^ { infty} { frac { жартылай у (u, 0)} { жартылай t}} sin (2 pi xi x) , dx = (2 pi xi) солға (-a _ {+} + a _ {-} оңға)}$

және

${ displaystyle 2 int _ {- infty} ^ { infty} { frac { жартылай у (u, 0)} { жартылай t}} cos (2 pi xi x) , dx = (2 pi xi) солға (b _ {+} - b _ {-} оңға).}$

Бұл төрт белгісізге арналған төрт сызықтық теңдеу а_± және б_±, Фурье синусы және элементар алгебра арқылы оңай шешілетін шекаралық шарттардың косинус түрлендірулеріне қатысты, егер осы түрлендірулер табылған болса.

Қысқаша айтқанда, біз элементарлы шешімдер жиынтығын таңдадық ξ, оның ішінде жалпы шешім параметр бойынша интеграл түріндегі (үздіксіз) сызықтық комбинация болады ξ. Бірақ бұл интеграл Фурье интегралы түрінде болды. Келесі қадам шекаралық шарттарды осы интегралдар тұрғысынан өрнектеу және оларды берілген функцияларға теңестіру болды f және ж. Бірақ бұл өрнектер туынды Фурье түрлендіруінің қасиеттеріне байланысты Фурье интегралының формасын да алды. Соңғы қадам Фурье түрлендіруін екі жаққа да қолдану арқылы Фурье инверсиясын пайдалану болды, осылайша коэффициент функциялары үшін өрнектер алынды а_± және б_± берілген шекаралық шарттар тұрғысынан f және ж.

Жоғары тұрғысынан Фурье процедурасын концептуалды түрде қайта құруға болады. Екі айнымалы болғандықтан, біз Фурье түрлендіруін екеуінде де қолданамыз х және т кеңістіктегі айнымалыларда ғана өзгеріске ұшыраған Фурье сияқты жұмыс жасаудан гөрі. Ескертіп қой ŷ бастап таралу мағынасында қарастырылуы керек ж(х, т) болмайды L¹: толқын ретінде ол уақыт өте келе сақталады және осылайша уақытша құбылыс емес. Бірақ ол шектеулі болады, сондықтан оның Фурье түрлендірілуін үлестірім ретінде анықтауға болады. Осы теңдеуге сәйкес келетін Фурье түрлендіруінің операциялық қасиеттері мынада, ол дифференциацияны алады х көбейту 2πмен және қатысты саралау т көбейту 2πегер қайда f бұл жиілік. Сонда толқын теңдеуі алгебралық теңдеуге айналады ŷ:

${ displaystyle xi ^ {2} { hat {y}} ( xi, f) = f ^ {2} { hat {y}} ( xi, f).}$

Бұл талап етумен тең ŷ(ξ, f ) = 0 егер болмаса ξ = ±f. Мұның өзі, біз бұрын жасаған қарапайым шешімдерді таңдаудың соншалықты жақсы жұмыс істегендігін түсіндіреді: анық f̂ = δ(ξ ± f ) шешімдер болады. Осы дельта-функцияларға Фурье инверсиясын қолдана отырып, біз бұрын таңдаған қарапайым шешімдерді аламыз. Бірақ жоғары көзқарас тұрғысынан қарапайым шешімдерді таңдамайды, керісінше (азғындаған) конуста болатын барлық үлестірулер кеңістігін қарастырады ξ² − f² = 0.

Сондай-ақ, конустың бір айнымалының жолдағы үлестірімдері арқылы берілген үлестірімдерін қарастыруымыз мүмкін ξ = f плюс тарату ξ = −f келесідей: егер ϕ кез-келген сынақ функциясы,

${ displaystyle iint { hat {y}} phi ( xi, f) , d xi , df = int s _ {+} phi ( xi, xi) , d xi + int s _ {-} phi ( xi, - xi) , d xi,}$

қайда с₊, және с₋, бір айнымалының үлестірімдері.

Сонда Фурье инверсиясы шекаралық шарттар үшін бізде дәлірек айтылғанға ұқсас нәрсе береді (қой ϕ(ξ, f ) = e^{2πмен(xξ+tf )}, бұл анық көпмүшелік өсу):

${ displaystyle y (x, 0) = int { bigl {} s _ {+} ( xi) + s _ {-} ( xi) { bigr }} e ^ {2 pi i xi x + 0} , d xi}$