WikiDer > Стохастикалық процесс

А-ны компьютерлік модельдеу Wiener немесе Броундық қозғалыс шар бетіндегі процесс. Винер процесі ықтималдықтар теориясында ең көп зерттелген және орталық стохастикалық процесс болып саналады.^[1][2][3]

Жылы ықтималдықтар теориясы және байланысты өрістер, а стохастикалық немесе кездейсоқ процесс Бұл математикалық объект әдетте а ретінде анықталады отбасы туралы кездейсоқ шамалар. Көптеген стохастикалық процестерді уақыт қатарлары арқылы көрсетуге болады. Алайда стохастикалық процесс табиғатынан үздіксіз, ал уақыт қатары бүтін сандармен индекстелген бақылаулар жиынтығы болып табылады. Стохастикалық процесс бірнеше байланысты кездейсоқ шамаларды қамтуы мүмкін.

Жалпы мысалдар а өсуін қамтиды бактериалды халық, ан электр тогы байланысты өзгеріп отырады жылу шунемесе а қозғалысы газ молекула.^[1][4][5][6] Стохастикалық процестер ретінде кең қолданылады математикалық модельдер кездейсоқ түрде өзгеретін жүйелер мен құбылыстар туралы. Сияқты көптеген пәндерде қосымшалары бар биология,^[7] химия,^[8] экология,^[9] неврология,^[10] физика,^[11] кескінді өңдеу, сигналдарды өңдеу,^[12] басқару теориясы, ^[13] ақпарат теориясы,^[14] Информатика,^[15] криптография^[16] және телекоммуникация.^[17] Сонымен қатар, кездейсоқ болып көрінетін өзгерістер қаржы нарықтары стохастикалық процестерді кеңінен қолдануға түрткі болды қаржы.^[18][19][20]

Қолдану және құбылыстарды зерттеу өз кезегінде жаңа стохастикалық процестерді ұсынды. Осындай стохастикалық процестердің мысалдарына мыналар жатады Wiener процесі немесе броундық қозғалыс процесі,^[a] қолданған Луи Бахелье бағаның өзгеруін зерттеу Париж Бурс,^[23] және Пуассон процесі, қолданылған A. K. Erlang белгілі бір уақыт аралығында болған телефон қоңырауларының санын зерттеу.^[24] Бұл екі стохастикалық процесс стохастикалық процестер теориясындағы ең маңызды және орталық болып саналады,^[1][4][25] және Бакелье мен Эрлангқа дейін де, одан кейін де әр түрлі жерлерде және елдерде бірнеше рет және тәуелсіз түрде табылды.^[23][26]

Термин кездейсоқ функция стохастикалық немесе кездейсоқ процеске сілтеме жасау үшін де қолданылады,^[27][28] өйткені стохастикалық процесті а-да кездейсоқ элемент ретінде түсіндіруге болады кеңістік.^[29][30] Шарттары стохастикалық процесс және кездейсоқ процесс бірінің орнына бірін қолданады, көбінесе спецификасыз математикалық кеңістік кездейсоқ шамаларды индекстейтін жиын үшін.^[29][31] Бірақ көбінесе осы екі термин кездейсоқ шамаларды индекстегенде қолданылады бүтін сандар немесе ан аралық туралы нақты сызық.^[5][31] Егер кездейсоқ шамалар индекстелсе Декарттық жазықтық немесе әлдеқайда жоғары өлшемді Евклид кеңістігі, онда кездейсоқ шамалардың жиынтығы әдетте а деп аталады кездейсоқ өріс орнына.^[5][32] Стохастикалық процестің мәндері әрдайым сандар бола бермейді және векторлар немесе басқа математикалық объектілер бола алады.^[5][30]

Математикалық қасиеттеріне сүйене отырып, стохастикалық процестерді әр түрлі категорияларға топтастыруға болады, олардың құрамына кіреді кездейсоқ серуендер,^[33] мартингалдар,^[34] Марков процестері,^[35] Леви процестері,^[36] Гаусс процестері,^[37] кездейсоқ өрістер,^[38] жаңарту процестері, және тармақталу процестері.^[39] Стохастикалық процестерді зерттеу математикалық білім мен техниканы қолданады ықтималдық, есептеу, сызықтық алгебра, жиынтық теориясы, және топология^[40][41][42] филиалдары сияқты математикалық талдау сияқты нақты талдау, өлшем теориясы, Фурье анализі, және функционалдық талдау.^[43][44][45] Стохастикалық процестер теориясы математикаға маңызды үлес болып саналады^[46] және теориялық себептер бойынша да, қолдану үшін де белсенді зерттеу тақырыбы болып қала береді.^[47][48][49]

Кіріспе

Стохастикалық немесе кездейсоқ процесті кездейсоқ шамалардың жиынтығы ретінде анықтауға болады, оны кейбір математикалық жиынтық индекстейді, яғни стохастикалық процестің әрбір кездейсоқ шамасы жиынтықтағы элементпен ерекше байланысты.^[4][5] Кездейсоқ шамаларды индекстеу үшін қолданылатын жиынтық деп аталады индекс орнатылды. Тарихи тұрғыдан алғанда индекс жиынтығы біршама болды ішкі жиын туралы нақты сызықсияқты натурал сандар, уақытты интерпретациялау индексін беру.^[1] Жинақтың кез-келген кездейсоқ шамасы бірдей мәндерді қабылдайды математикалық кеңістік ретінде белгілі мемлекеттік кеңістік. Бұл күй кеңістігі, мысалы, бүтін сандар, нақты сызық немесе болуы мүмкін ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі.^[1][5] Ан өсім стохастикалық процестің екі индекс мәні арасында өзгеретін, көбіне уақыттың екі нүктесі ретінде түсіндірілетін шама.^[50][51] Стохастикалық процесс көптеген болуы мүмкін нәтижелер, кездейсоқтыққа байланысты және стохастикалық процестің жалғыз нәтижесі, басқа атаулармен қатар а үлгі функциясы немесе іске асыру.^[30][52]

Жалғыз компьютерлік модельдеу үлгі функциясы немесе іске асыру0, time t ≤ уақыт аралығындағы үш өлшемді Винер немесе броундық қозғалыс процесінің басқа терминдерімен қатар, бұл стохастикалық процестің индекс жиынтығы теріс емес сандар, ал оның кеңістігі үш өлшемді эвклид кеңістігі.

Жіктелімдері

Стохастикалық процесті әр түрлі тәсілдермен жіктеуге болады, мысалы, оның күй кеңістігі, индекс жиынтығы немесе кездейсоқ шамалар арасындағы тәуелділік. Жіктеудің кең таралған тәсілдерінің бірі түпкілікті индекс жиынтығының және күй кеңістігінің.^[53][54][55]

Уақыт деп түсіндіргенде, егер стохастикалық процестің индекс жиынтығында ақырлы сандар жиыны, бүтін сандар жиыны немесе натурал сандар сияқты элементтердің ақырғы немесе есептелетін саны болса, онда стохастикалық процесс деп аталады дискретті уақыт.^[56][57] Егер индекс жиынтығы нақты сызықтың кейбір аралығы болса, онда уақыт деп аталады үздіксіз. Стохастикалық процестердің екі түрі сәйкесінше аталады дискретті уақыт және үздіксіз стохастикалық процестер.^[50][58][59] Дискретті уақыттағы стохастикалық процестерді зерттеу оңай деп саналады, өйткені үзіліссіз уақыт процестері жетілдірілген математикалық әдістер мен білімдерді қажет етеді, әсіресе индекс жиынтығы есептелмегендіктен.^[60][61] Егер индекс жиынтығы бүтін сандар болса немесе олардың кейбір жиынтығы болса, онда стохастикалық процесті а деп те атауға болады кездейсоқ реттілік.^[57]

Егер күй кеңістігі бүтін немесе натурал сандар болса, онда стохастикалық процесс а деп аталады дискретті немесе бүтін мәнді стохастикалық процесс. Егер күй кеңістігі нақты сызық болса, онда стохастикалық процесті а деп атайды нақты бағаланған стохастикалық процесс немесе а үздіксіз күй кеңістігі бар процесс. Егер мемлекеттік кеңістік болса ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі, сонда стохастикалық процесс а деп аталады ${ displaystyle n}$-өлшемді векторлық процесс немесе ${ displaystyle n}$-векторлық процесс.^[53][54]

Этимология

Сөз стохастикалық жылы Ағылшын бастапқыда «болжамға қатысты» анықтамасымен сын есім ретінде қолданылған және а-дан туындаған Грек «белгіге бағыттау, болжау» және деген мағынаны білдіретін сөз Оксфорд ағылшын сөздігі 1662 жылды өзінің алғашқы пайда болуы ретінде береді.^[62] Ықтималдық туралы жұмысында Ars Conjectandi, алғашында 1713 жылы латын қарпінде жарияланған, Якоб Бернулли «жорамал жасау немесе стохастика өнері» деп аударылған «Ars Conjectandi sive Stochastice» тіркесін қолданды.^[63] Бернуллиге сілтеме жасай отырып, осы фразаны қолданған Ладислаус Борткевич^[64] бұл сөзді 1917 жылы неміс тілінде жазды стохастикалық кездейсоқ мағынаны білдіреді. Термин стохастикалық процесс алғаш рет 1934 жылғы қағазда ағылшын тілінде пайда болды Джозеф Дуб.^[62] Термин және белгілі бір математикалық анықтама үшін Дооб 1934 жылғы тағы бір мақаланы келтірді, мұнда термин stochastischer Prozeß неміс тілінде қолданылған Александр Хинчин,^[65][66] неміс терминін бұрын қолданғанымен, мысалы, Андрей Колмогоров 1931 ж.^[67]

Оксфорд ағылшын сөздігіне сәйкес, бұл сөздің ерте пайда болуы кездейсоқ қазіргі кездегі кездейсоқтыққа немесе сәттілікке қатысты ағылшын тіліндегі мағынасы XVI ғасырдан басталады, ал бұрын жазылған қолданыстар XIV ғасырда зат есім ретінде басталып, «әлсіздік, үлкен жылдамдық, күш немесе зорлық-зомбылық (міну, жүгіру, таңқаларлық және т.б.) ». Бұл сөздің өзі «жылдамдық, асығыстық» деген мағынаны беретін орта француз сөзінен шыққан және бұл француз тіліндегі «жүгіру» немесе «жүгіру» мағынасындағы етістіктен шыққан шығар. Терминнің алғашқы жазбаша көрінісі кездейсоқ процесс алдын-ала күндер стохастикалық процесс, оны Оксфордтың ағылшын сөздігі синоним ретінде береді және мақаласында қолданылған Фрэнсис Эдгьюорт 1888 жылы жарияланған.^[68]

Терминология

Стохастикалық процестің анықтамасы әр түрлі,^[69] бірақ стохастикалық процесс дәстүрлі түрде кейбір жиынтықпен индекстелген кездейсоқ шамалардың жиынтығы ретінде анықталады.^[70][71] Шарттары кездейсоқ процесс және стохастикалық процесс синоним болып саналады және индекс жиынтығы дәл көрсетілмей, бір-бірінің орнына қолданылады.^{[29][31][32][72][73][74]} Екі «коллекция»,^[30][72] немесе «отбасы» қолданылады^[4][75] «индекс жиынтығы» орнына, кейде «параметр жиынтығы» терминдері^[30] немесе «параметр кеңістігі»^[32] қолданылады.

Термин кездейсоқ функция стохастикалық немесе кездейсоқ процеске сілтеме жасау үшін де қолданылады,^[5][76][77] кейде стохастикалық процесс нақты мәндерді қабылдаған кезде ғана қолданылады.^[30][75] Бұл термин индекс жиынтығы нақты сызықтан басқа математикалық кеңістік болған кезде де қолданылады,^[5][78] ал шарттар стохастикалық процесс және кездейсоқ процесс әдетте индекс жиынтығы уақыт ретінде түсіндірілгенде қолданылады,^[5][78][79] сияқты басқа терминдер қолданылады кездейсоқ өріс индекс жиынтығы болған кезде ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ немесе а көпжақты.^[5][30][32]

Ескерту

Стохастикалық процесті басқа жолдармен белгілеуге болады ${ displaystyle {X (t) } _ {t in T}}$,^[58] ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t in T}}$,^[71] ${ displaystyle {X_ {t} }}$^[80] ${ displaystyle {X (t) }}$ немесе жай ғана ${ displaystyle X}$ немесе ${ displaystyle X (t)}$, дегенмен ${ displaystyle X (t)}$ ретінде қарастырылады функция белгілерін теріс пайдалану.^[81] Мысалға, ${ displaystyle X (t)}$ немесе ${ displaystyle X_ {t}}$ индексі бар кездейсоқ шамаға сілтеме жасау үшін қолданылады ${ displaystyle t}$және бүкіл стохастикалық процесс емес.^[80] Егер индекс жиынтығы болса ${ displaystyle T = [0, infty)}$, содан кейін жазуға болады, мысалы, ${ displaystyle (X_ {t}, t geq 0)}$ стохастикалық процесті белгілеу үшін.^[31]

Мысалдар

Бернулли процесі

Ең қарапайым стохастикалық процестердің бірі Бернулли процесі,^[82] болып табылады тәуелсіз және бірдей бөлінген (iid) кездейсоқ шамалар, мұнда әр кездейсоқ шама бір немесе нөл мәнін алады, мысалы, ықтималдықпен ${ displaystyle p}$ және ықтималдықпен нөл ${ displaystyle 1-p}$. Бұл процесті монетаны бірнеше рет айналдырумен байланыстыруға болады, мұнда бас алу ықтималдығы бар ${ displaystyle p}$ және оның мәні бір, ал құйрық мәні нөлге тең.^[83] Басқаша айтқанда, Бернулли процесі дегеніміз - iid Бернулли кездейсоқ шамалары,^[84] Мұндағы әрбір монеталар а-ның мысалы болып табылады Бернулли соты.^[85]

Кездейсоқ жүру

Кездейсоқ серуендер әдетте қосынды ретінде анықталатын стохастикалық процестер iid эвклид кеңістігіндегі кездейсоқ шамалар немесе кездейсоқ векторлар, сондықтан олар дискретті уақытта өзгеретін процестер.^{[86][87][88][89][90]} Бірақ кейбіреулері бұл терминді үздіксіз уақытта өзгеретін процестерге қатысты қолданады,^[91] әсіресе қаржы саласында қолданылатын Винер процесі, бұл оның шатастырылуына әкеліп соқтырды, нәтижесінде оның сыны пайда болды.^[92] Кездейсоқ серуендеудің басқа да әр түрлі типтері бар, сондықтан олардың кеңістігі торлар мен топтар сияқты басқа математикалық объектілер бола алады, және тұтастай алғанда олар жоғары дәрежеде зерттелген және әртүрлі пәндерде көптеген қолданыстарға ие.^[91][93]

Кездейсоқ серуендеудің классикалық үлгісі ретінде белгілі қарапайым кездейсоқ жүру, бұл дискретті уақыттағы бүтін сандармен күй кеңістігі ретінде стохастикалық процесс және Бернулли процесіне негізделген, мұнда әр Бернулли айнымалысы оң мәнді немесе теріс мәнді қабылдайды. Басқа сөзбен айтқанда, қарапайым кездейсоқ жүру бүтін сандарда жүреді және оның мәні ықтималдылыққа қарай артады, айталық, ${ displaystyle p}$, немесе ықтималдықпен бірге азаяды ${ displaystyle 1-p}$, сондықтан бұл кездейсоқ жүрудің индекс жиыны натурал сандар, ал оның кеңістігі бүтін сандар болады. Егер ${ displaystyle p = 0.5}$, бұл кездейсоқ жүріс симметриялы кездейсоқ серуен деп аталады.^[94][95]

Wiener процесі

Винер процесі - бұл стационарлық және тәуелсіз өсім бұл қалыпты түрде бөлінеді өсім мөлшеріне негізделген.^[2][96] Wiener процесі аталған Норберт Винерол өзінің математикалық өмірін дәлелдеген, бірақ бұл процесті үлгі ретінде тарихи байланысына байланысты броундық қозғалыс процесі немесе жай броундық қозғалыс деп те атайды. Броундық қозғалыс сұйықтықта.^[97][98][99]

Дрифтпен Wiener процестерін (немесе броундық қозғалыс процестерін) іске асыру (көк) және дрейфсіз (қызыл).

Ықтималдықтар теориясында орталық рөл атқара отырып, Винер процесі басқа стохастикалық процестермен байланысы бар ең маңызды және зерттелген стохастикалық процесс болып саналады.^{[1][2][3][100][101][102][103]} Оның индекс жинағы мен күй кеңістігі сәйкесінше теріс емес сандар мен нақты сандар болып табылады, сондықтан оның үздіксіз индекс жинағы да, кеңістік те болады.^[104] Бірақ процесс кеңірек түрде анықталуы мүмкін, сондықтан оның кеңістігі болуы мүмкін ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі.^{[93][101][105]} Егер білдіреді кез келген өсім нөлге тең, содан кейін алынған Wiener немесе броундық қозғалыс процесі нөлдік дрейфке ие болады. Егер уақыттың кез-келген екі нүктесінің өсімінің орташа мәні белгілі бір тұрақтыға көбейтілген уақыт айырымына тең болса ${ displaystyle mu}$, бұл нақты сан, содан кейін пайда болған стохастикалық процесс дрейфке ұшырады дейді ${ displaystyle mu}$.^{[106][107][108]}

Шындығында, Wiener процесінің үлгі жолы барлық жерде үздіксіз болады, бірақ еш жерде дифференциалданбайды. Оны қарапайым кездейсоқ серуендеудің үздіксіз нұсқасы деп санауға болады.^[51][107] Процесс басқа кездейсоқ серуендеу сияқты басқа стохастикалық процестердің математикалық шегі жойылған кезде пайда болады,^[109][110] тақырыбы болып табылатын Донскер теоремасы немесе функционалды орталық шегі теоремасы деп аталатын инварианттық принципі.^{[111][112][113]}

Винер процесі - бұл стохастикалық процестердің, соның ішінде Марковтың, Левидің және Гаусстық процестердің маңызды отбасыларының мүшесі.^[2][51] Процесс көптеген қосымшаларға ие және стохастикалық есептеулерде қолданылатын негізгі стохастикалық процесс болып табылады.^[114][115] Бұл сандық қаржыландыруда орталық рөл атқарады,^[116][117] мысалы, ол Black-Scholes – Merton моделінде қолданылады.^[118] Процесс әртүрлі салаларда, соның ішінде жаратылыстану ғылымдарының көпшілігінде, сонымен қатар әлеуметтік ғылымдардың кейбір салаларында, әртүрлі кездейсоқ құбылыстардың математикалық моделі ретінде қолданылады.^{[3][119][120]}

Пуассон процесі

Пуассон процесі - бұл әртүрлі формалар мен анықтамаларға ие стохастикалық процесс.^[121][122] Оны санау үдерісі ретінде анықтауға болады, бұл стохастикалық процесс, ол белгілі бір уақытқа дейінгі нүктелер немесе оқиғалардың кездейсоқ санын білдіреді. Нөлден белгілі бір уақытқа дейінгі аралықта орналасқан процестің нүктелерінің саны - бұл Пуассон кездейсоқ шамасы, ол сол уақытқа және кейбір параметрге тәуелді. Бұл процесте натурал сандар күй кеңістігі ретінде, ал теріс сандар оның индексі ретінде болады. Бұл процесті Пуассонды санау процесі деп те атайды, өйткені оны санау процесінің мысалы ретінде түсіндіруге болады.^[121]

Егер Пуассон процесі бір оң константамен анықталса, онда процесс біртекті Пуассон процесі деп аталады.^[121][123] Біртекті Пуассон процесі - Марков процедуралары және Леви процестері сияқты стохастикалық процестердің маңызды кластарының мүшесі.^[51]

Біртекті Пуассон процесін әр түрлі жолмен анықтауға және жалпылауға болады. Оның индекс жиынтығы нақты сызық болатындай етіп анықтауға болады, және бұл стохастикалық процесті стационарлық Пуассон процесі деп те атайды.^[124][125] Егер Пуассон процесінің параметр тұрақтысы кейбір теріс емес интегралданатын функциямен ауыстырылса ${ displaystyle t}$, нәтижесінде пайда болатын процесс біртекті емес немесе біртекті емес Пуассон процесі деп аталады, мұнда процесс нүктелерінің орташа тығыздығы енді тұрақты болмайды.^[126] Кезек теориясының іргелі процесі ретінде қызмет ететін Пуассон процесі математикалық модельдер үшін маңызды процесс болып табылады, мұнда белгілі бір уақыт терезелерінде кездейсоқ пайда болатын оқиғалар модельдеріне қосымшалар табылған.^[127][128]

Нақты сызық бойынша анықталған Пуассон процесін стохастикалық процесс ретінде түсіндіруге болады,^[51][129] басқа кездейсоқ объектілер арасында.^[130][131] Бірақ содан кейін оны анықтауға болады ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі немесе басқа математикалық кеңістіктер,^[132] мұнда көбінесе стохастикалық процестің орнына кездейсоқ жиын немесе кездейсоқ санау шарасы ретінде түсіндіріледі.^[130][131] Бұл жағдайда Пуассон процесі, оны Пуассон нүктелік процесі деп те атайды, ол қолдану үшін де, теориялық себептер бойынша да ықтималдықтар теориясының маңызды объектілерінің бірі болып табылады.^[24][133] Бірақ Пуассон процесі басқа математикалық кеңістіктерге емес, көбінесе нақты сызықта қарастырылатындығына байланысты көп көңіл бөлінбейтіндігі айтылды.^[133][134]

Анықтамалар

Стохастикалық процесс

Стохастикалық процесс жалпыға анықталған кездейсоқ шамалардың жиынтығы ретінде анықталады ықтималдық кеңістігі ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$, қайда ${ displaystyle Omega}$ Бұл үлгі кеңістігі, ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ Бұл ${ displaystyle sigma}$-алгебра, және ${ displaystyle P}$ Бұл ықтималдық өлшемі; және кейбір жиынтықпен индекстелген кездейсоқ шамалар ${ displaystyle T}$, барлығы бірдей математикалық кеңістіктегі мәндерді қабылдайды ${ displaystyle S}$болуы керек өлшенетін кейбіреулеріне қатысты ${ displaystyle sigma}$-алгебра ${ displaystyle Sigma}$.^[30]

Басқаша айтқанда, берілген ықтималдық кеңістігі үшін ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ және өлшенетін кеңістік ${ displaystyle (S, Sigma)}$, стохастикалық процесс - бұл жиынтығы ${ displaystyle S}$-деп жазылатын кездейсоқ шамалар,^[82]

${ displaystyle {X (t): t in T }.}$

Тарихи тұрғыдан көптеген мәселелерде жаратылыстану ғылымдарының бір нүктесі бар ${ displaystyle t in T}$ уақыттың мағынасы болды, сондықтан ${ displaystyle X (t)}$ уақытта байқалған мәнді білдіретін кездейсоқ шама ${ displaystyle t}$.^[135] Стохастикалық процесті келесі түрде жазуға болады ${ displaystyle {X (t, omega): t in T }}$ бұл шын мәнінде екі айнымалының функциясы екенін көрсету үшін, ${ displaystyle t in T}$ және ${ displaystyle omega in Omega}$.^[30][136]

Стохастикалық процесті қарастырудың басқа тәсілдері бар, жоғарыда келтірілген анықтама дәстүрлі болып саналады.^[70][71] Мысалы, стохастикалық процесті а деп түсіндіруге немесе анықтауға болады ${ displaystyle S ^ {T}}$-бағаланатын кездейсоқ шама, мұндағы ${ displaystyle S ^ {T}}$ барлық мүмкін болатын кеңістік ${ displaystyle S}$- бағаланады функциялары туралы ${ displaystyle t in T}$ бұл карта жиынтықтан ${ displaystyle T}$ кеңістікке ${ displaystyle S}$.^[29][70]

Индекс орнатылды

Жинақ ${ displaystyle T}$ деп аталады индекс орнатылды^[4][53] немесе параметр орнатылды^[30][137] стохастикалық процестің. Көбінесе бұл жиын нақты сызықсияқты натурал сандар немесе интервал, жиынтығын бере алады ${ displaystyle T}$ уақытты түсіндіру.^[1] Осы жиындарға қосымша индекс жиынтығы ${ displaystyle T}$ басқа сызықтық реттелген жиындар немесе одан да көп жалпы математикалық жиындар болуы мүмкін,^[1][56] декарттық жазықтық сияқты ${ displaystyle R ^ {2}}$ немесе ${ displaystyle n}$-элементті евклид кеңістігі ${ displaystyle t in T}$ кеңістіктегі нүктені көрсете алады.^[50][138] Жалпы, индекс жиынтығына тапсырыс берілген кезде стохастикалық процестерге көп нәтижелер мен теоремалар мүмкін болады.^[139]

Мемлекеттік кеңістік

The математикалық кеңістік ${ displaystyle S}$ стохастикалық процесті оның деп атайды мемлекеттік кеңістік. Бұл математикалық кеңістікті қолдану арқылы анықтауға болады бүтін сандар, нақты сызықтар, ${ displaystyle n}$-өлшемді Евклид кеңістігі, күрделі жазықтықтар немесе одан да көп абстрактілі математикалық кеңістіктер. Күй кеңістігі стохастикалық процесс қабылдауы мүмкін әр түрлі мәндерді көрсететін элементтердің көмегімен анықталады.^{[1][5][30][53][58]}

Үлгі функциясы

A үлгі функциясы жалғыз нәтиже стохастикалық процестің, сондықтан ол стохастикалық процестің әрбір кездейсоқ шамасының мүмкін болатын жалғыз мәнін алу арқылы қалыптасады.^[30][140] Дәлірек айтқанда, егер ${ displaystyle {X (t, omega): t in T }}$ бұл кез-келген нүкте үшін стохастикалық процесс ${ displaystyle omega in Omega}$, картаға түсіру

${ displaystyle X ( cdot, omega): T rightarrow S,}$

үлгі функциясы деп аталады, а іске асыру, немесе, әсіресе ${ displaystyle T}$ уақыт ретінде түсіндіріледі, а үлгі жолы стохастикалық процестің ${ displaystyle {X (t, omega): t in T }}$.^[52] Бұл тіркелген үшін дегенді білдіреді ${ displaystyle omega in Omega}$, индекс жиынтығын бейнелейтін үлгі функциясы бар ${ displaystyle T}$ мемлекеттік кеңістікке ${ displaystyle S}$.^[30] Стохастикалық процестің үлгі функциясының басқа атауларына кіреді траектория, жол функциясы^[141] немесе жол.^[142]

Өсу

Ан өсім стохастикалық процестің бір стохастикалық процестің екі кездейсоқ шамаларының айырмашылығы. Уақыт деп түсіндіруге болатын индекстері бар стохастикалық процесс үшін өсім - стохастикалық процестің белгілі бір уақыт аралығында қаншалықты өзгеретіндігі. Мысалы, егер ${ displaystyle {X (t): t in T }}$ күй кеңістігі бар стохастикалық процесс ${ displaystyle S}$ және индекс жиынтығы ${ displaystyle T = [0, infty)}$, содан кейін кез-келген екі теріс емес сан үшін ${ displaystyle t_ {1} in [0, infty)}$ және ${ displaystyle t_ {2} in [0, infty)}$ осындай ${ displaystyle t_ {1} leq t_ {2}}$, айырмашылығы ${ displaystyle X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}}$ Бұл ${ displaystyle S}$- өсім ретінде белгілі кездейсоқ шама.^[50][51] Көбейтуге қызығушылық болған кезде, көбінесе мемлекеттік кеңістік ${ displaystyle S}$ нақты сызық немесе натурал сандар, бірақ ол болуы мүмкін ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі немесе сияқты абстрактілі кеңістіктер Банах кеңістігі.^[51]

Қосымша анықтамалар

Заң

Стохастикалық процесс үшін ${ displaystyle X қос нүкте Omega rightarrow S ^ {T}}$ ықтималдық кеңістігінде анықталды ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$, заң стохастикалық процестің ${ displaystyle X}$ ретінде анықталады кескін өлшемі:

${ displaystyle mu = P circ X ^ {- 1},}$

қайда ${ displaystyle P}$ - бұл ықтималдық өлшемі, белгісі ${ displaystyle circ}$ функцияның құрамын және ${ displaystyle X ^ {- 1}}$ - бұл өлшенетін функцияның алдын-ала кескіні немесе ${ displaystyle S ^ {T}}$-бағаланатын кездейсоқ шама ${ displaystyle X}$, қайда ${ displaystyle S ^ {T}}$ барлық мүмкін болатын кеңістік ${ displaystyle S}$-бұл функциялары ${ displaystyle t in T}$, сондықтан стохастикалық процестің заңы - бұл ықтималдық өлшемі.^{[29][70][143][144]}

Өлшенетін ішкі жиын үшін ${ displaystyle B}$ туралы ${ displaystyle S ^ {T}}$, алдын ала кескін ${ displaystyle X}$ береді

${ displaystyle X ^ {- 1} (B) = { omega in Omega: X ( omega) in B },}$

сондықтан а заңы ${ displaystyle X}$ келесі түрде жазылуы мүмкін:^[30]

${ displaystyle mu (B) = P ( { omega in Omega: X ( omega) in B }).}$

Стохастикалық процестің немесе кездейсоқ шаманың заңын тағы деп атайды ықтималдық заңы, ықтималдықтың таралуынемесе тарату.^{[135][143][145][146][147]}

Ықтималдықтардың ақырлы үлестірімдері

Стохастикалық процесс үшін ${ displaystyle X}$ заңмен ${ displaystyle mu}$, оның ақырлы өлшемді үлестірулер ретінде анықталады:

${ displaystyle mu _ {t_ {1}, нүктелер, t_ {n}} = P Circ (X ({t_ {1}}), нүктелер, X ({t_ {n}})) ^ { -1},}$

қайда ${ displaystyle n geq 1}$ бұл санақ саны және әр жиын ${ displaystyle t_ {i}}$ - индекс жиынының бос емес ақырғы жиынтығы ${ displaystyle T}$, сондықтан әрқайсысы ${ displaystyle t_ {i} subset T}$, бұл дегеніміз ${ displaystyle t_ {1}, dots, t_ {n}}$ индекс жиынтығының кез келген ақырғы жиынтығы ${ displaystyle T}$.^[29][148]

Кез-келген өлшенетін ішкі жиын үшін ${ displaystyle C}$ туралы ${ displaystyle n}$-қатысу Декарттық қуат ${ displaystyle S ^ {n} = S times dots times S}$, стохастикалық процестің ақырлы өлшемді үлестірімдері ${ displaystyle X}$ келесі түрде жазылуы мүмкін:^[30]

${ displaystyle mu _ {t_ {1}, нүктелер, t_ {n}} (C) = P { Big (} { big {} omega in Omega: { big (} X_ {) t_ {1}} ( omega), dots, X_ {t_ {n}} ( omega) { big)} in C { big }} { Big)}.}$

Стохастикалық процестің ақырлы өлшемді үлестірімдері консистенция шарттары деп аталатын екі математикалық шартты қанағаттандырады.^[59]

Стационарлық

Стационарлық - бұл стохастикалық процестің барлық кездейсоқ шамалары бірдей бөлінген кезде стохастикалық процесске ие болатын математикалық қасиет. Басқаша айтқанда, егер ${ displaystyle X}$ бұл кез-келген үшін стационарлық стохастикалық процесс ${ displaystyle t in T}$ кездейсоқ шама ${ displaystyle X_ {t}}$ бірдей үлестірімге ие, яғни кез келген жиынтығы үшін ${ displaystyle n}$ индекстің жиынтық мәндері ${ displaystyle t_ {1}, dots, t_ {n}}$, сәйкес ${ displaystyle n}$ кездейсоқ шамалар

${ displaystyle X_ {t_ {1}}, нүктелер X_ {t_ {n}},}$

бәрінде бірдей ықтималдықтың таралуы. Стационарлық стохастикалық процестің индекс жиыны әдетте уақыт деп түсіндіріледі, сондықтан ол бүтін немесе нақты сызық болуы мүмкін.^[149][150] Бірақ стационарлық ұғымы нүктелік процестер мен кездейсоқ өрістер үшін де бар, мұнда индекс жиынтығы уақыт ретінде түсіндірілмейді.^{[149][151][152]}

Индекс орнатылған кезде ${ displaystyle T}$ уақыт деп түсіндіруге болады, егер стохастикалық процесс стационарлық деп аталады, егер оның ақырғы өлшемді үлестірімдері уақыт аудармасында инвариантты болса. Стохастикалық процестің бұл түрін тұрақты күйде тұрған, бірақ кездейсоқ ауытқуларды сезінетін физикалық жүйені сипаттау үшін қолдануға болады.^[149] Стационарлықтың түйсігі - уақыт өткен сайын стационарлық стохастикалық процестің таралуы өзгеріссіз қалады.^[153] Кездейсоқ шамалар тізбегі кездейсоқ шамалар бірдей бөлінген жағдайда ғана стационарлық стохастикалық процесті құрайды.^[149]

Жоғарыда келтірілген стационарлық анықтамамен стохастикалық процесс кейде қатаң стационарлық деп аталады, бірақ стационарлықтың басқа түрлері бар. Мұның бір мысалы - дискретті немесе үздіксіз стохастикалық процесс ${ displaystyle X}$ кең мағынада стационарлық деп аталады, содан кейін процесс ${ displaystyle X}$ барлығы үшін соңғы екінші сәт бар ${ displaystyle t in T}$ және екі кездейсоқ шаманың ковариациясы ${ displaystyle X_ {t}}$ және ${ displaystyle X_ {t + h}}$ тек санына байланысты ${ displaystyle h}$ барлығына ${ displaystyle t in T}$.^[153][154] Хинчин байланысты ұғымын енгізді кең мағынада стационарлық, оның ішінде басқа атаулары бар ковариациялық стационарлық немесе кең мағынада стационарлық.^[154][155]

Сүзу

A сүзу - бұл ықтималдық кеңістігіне қатысты анықталған сигма-алгебралардың реттілігі және кейбіреулері бар индекс жиынтығы жалпы тапсырыс қатынас, мысалы, нақты сандардың кейбір жиынтығы болатын индекс жиынтығында. Ресми түрде, егер стохастикалық процесте жалпы тәртіппен индекс орнатылған болса, онда сүзу болады ${ displaystyle {{ mathcal {F}} _ {t} } _ {t in T}}$, ықтималдық кеңістігінде ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ - бұл сигма-алгебралар отбасы ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {s} subseteq { mathcal {F}} _ {t} subseteq { mathcal {F}}}$ барлығына ${ displaystyle s leq t}$, қайда ${ displaystyle t, s in T}$ және ${ displaystyle leq}$ индекс жиынтығының жалпы ретін білдіреді ${ displaystyle T}$.^[53] Фильтрация ұғымымен стохастикалық процестегі ақпарат көлемін зерттеуге болады ${ displaystyle X_ {t}}$ кезінде ${ displaystyle t in T}$, оны уақыт деп түсіндіруге болады ${ displaystyle t}$.^[53][156] Фильтрацияның түйсігі ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$ уақыт сияқты ${ displaystyle t}$ өту туралы көбірек ақпарат ${ displaystyle X_ {t}}$ белгілі немесе қол жетімді, ол түсірілген ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$, нәтижесінде бөлімдері жақсырақ және жұқа болады ${ displaystyle Omega}$.^[157][158]

Модификация

A модификация стохастикалық процестің тағы бір стохастикалық процесі, ол бастапқы стохастикалық процеспен тығыз байланысты. Дәлірек айтқанда, стохастикалық процесс ${ displaystyle X}$ бірдей индекс жиынтығы бар ${ displaystyle T}$, кеңістікті орнатыңыз ${ displaystyle S}$және ықтималдық кеңістігі ${ displaystyle ( Omega, { cal {F}}, P)}$ тағы бір стохастикалық процесс ретінде ${ displaystyle Y}$ модификациясы деп аталады ${ displaystyle Y}$ егер бәрі үшін болса ${ displaystyle t in T}$ келесісі

${ displaystyle P (X_ {t} = Y_ {t}) = 1,}$

ұстайды. Бір-бірінің модификациясы болып табылатын екі стохастикалық процестің ақырғы өлшемдік заңы бірдей^[159] және олар айтылады стохастикалық эквивалентті немесе балама.^[160]

Модификацияның орнына термин нұсқасы сонымен қатар қолданылады,^{[151][161][162][163]} дегенмен кейбір авторлар екі стохастикалық процестің ақырлы өлшемді үлестірімдері бірдей болған кезде терминдік терминді қолданады, бірақ олар әр түрлі ықтималдық кеңістіктерінде анықталуы мүмкін, сондықтан бір-бірінің модификациясы болып табылатын екі үдеріс те екінші мағынасында бір-бірінің нұсқалары болып табылады , бірақ керісінше емес.^[164][143]

Егер үздіксіз бағаланған стохастикалық процесс оның өсуімен белгілі бір момент шарттарын қанағаттандырса, онда Колмогоровтың үздіксіздік теоремасы бұл процестің ықтималдықпен үздіксіз іріктеме жолдары бар модификациясы бар, сондықтан стохастикалық процестің үздіксіз модификациясы немесе нұсқасы бар дейді.^{[162][163][165]} Теореманы кездейсоқ өрістерге жалпылауға болады, сондықтан индекс жиынтығы болады ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі^[166] сонымен бірге стохастикалық процестерге метрикалық кеңістіктер олардың мемлекеттік кеңістігі ретінде.^[167]

Айырмашылығы жоқ

Екі стохастикалық процесс ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle Y}$ бірдей ықтималдық кеңістігінде анықталды ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ бірдей индекспен ${ displaystyle T}$ және кеңістікті орнатыңыз ${ displaystyle S}$ деп айтылады айырмашылығы жоқ егер келесі

${ displaystyle P (X_ {t} = Y_ {t} { text {барлығы үшін}} t in T) = 1,}$

ұстайды.^[143][159] Егер екі ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle Y}$ бір-бірінің модификациясы болып табылады және сөзсіз үздіксіз болады ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle Y}$ айырмашылығы жоқ.^[168]

Бөліну

Бөліну - бұл ықтималдық өлшеміне қатысты индексі негізінде стохастикалық процестің қасиеті. Сипат стохастикалық процестердің функционалдары немесе есептелмейтін индекстері бар кездейсоқ өрістер кездейсоқ шамаларды құра алатындай етіп қабылданады. Стохастикалық процестің бөлінетін болуы үшін, басқа шарттардан басқа, оның индекс жиынтығы а болуы керек бөлінетін кеңістік,^[b] бұл индекс жиынтығының есептелетін тығыз ішкі жиынтығын білдіреді.^[151][169]

Дәлірек айтқанда, нақты бағаланған үздіксіз стохастикалық процесс ${ displaystyle X}$ ықтималдық кеңістігі бар ${ displaystyle ( Omega, { cal {F}}, P)}$ егер оның индексі орнатылған болса, оны бөлуге болады ${ displaystyle T}$ тығыз есептелетін ішкі жиыны бар ${ displaystyle U subset T}$ және жиынтығы бар ${ displaystyle Omega _ {0} subset Omega}$ нөлдік ықтималдық, сондықтан ${ displaystyle P ( Omega _ {0}) = 0}$, әрбір ашық жиынтыққа арналған ${ displaystyle G subset T}$ және барлық жабық жиынтық ${ displaystyle F subset textstyle R = (- infty, infty)}$, екі оқиға ${ displaystyle {X_ {t} in F { text {for all}} t in G cap U }}$ және ${ displaystyle {X_ {t} in F { text {for all}} t in G }}$ ішінен бір-бірінен көп дегенде ерекшеленеді ${ displaystyle Omega _ {0}}$.^{[170][171][172]}Бөлінетіндіктің анықтамасы^[c] басқа индекс жиынтығы мен күй кеңістігі үшін де мәлімделуі мүмкін,^[175] мысалы, кездейсоқ өрістер жағдайында, онда индекс жиынтығы мен күй кеңістігі болуы мүмкін ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі.^[32][151]

Стохастикалық процестің бөлінгіштік ұғымы енгізілді Джозеф Дуб,^[169]. Бөлінудің негізгі идеясы - индекс жиынтығының есептелетін нүктелерінің жиынтығын стохастикалық процестің қасиеттерін анықтауда.^[173] Есептелетін индексі бар кез-келген стохастикалық процесс бөлінгіштік шарттарына сәйкес келеді, сондықтан дискретті уақыттағы стохастикалық процестер әрқашан бөлінетін болып табылады.^[176] Doob теоремасы, кейде Doob-ның бөлінгіштік теоремасы деп аталады, кез-келген нақты бағаланған үздіксіз уақыт стохастикалық процесінің бөлінетін модификациясы бар дейді.^{[169][171][177]} Бұл теореманың нұсқалары нақты сызықтан басқа индекстер жиыны мен күй кеңістігі бар жалпы стохастикалық процестер үшін де бар.^[137]

Тәуелсіздік

Екі стохастикалық процесс ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle Y}$ бірдей ықтималдық кеңістігінде анықталды ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ бірдей индекспен ${ displaystyle T}$ деп айтылады тәуелсіз егер бәрі үшін болса ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ және дәуірлердің әр таңдауы үшін ${ displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {n} in T}$, кездейсоқ векторлар ${ displaystyle сол жақ (X (t_ {1}), ldots, X (t_ {n}) оң)}$ және ${ displaystyle сол жақ (Y (t_ {1}), ldots, Y (t_ {n}) оң)}$ тәуелсіз.^{[178]:б. 515}

Корреляциясыздық

Екі стохастикалық процесс ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ және ${ displaystyle left {Y_ {t} right }}$ деп аталады байланысты емес егер олардың кросс-ковариациясы болса ${ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {E} left [ left (X (t_ {1}) ) - mu _ {X} (t_ {1}) оң) сол (Y (t_ {2}) - mu _ {Y} (t_ {2}) оң) оң]}$ барлық уақытта нөлге тең.^{[179]:б. 142} Ресми түрде:

${ displaystyle сол {X_ {t} оң }, сол {Y_ {t} оң } { мәтін {байланыссыз}} quad iff quad оператордың аты {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 quad for all t_ {1}, t_ {2}}$.

Тәуелсіздік байланыссыздықты білдіреді

Егер екі стохастикалық процесс болса ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle Y}$ тәуелсіз, демек, олар өзара байланысты емес.^{[179]:б. 151}

Ортогоналдылық

Екі стохастикалық процесс ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ және ${ displaystyle left {Y_ {t} right }}$ деп аталады ортогоналды егер олардың өзара байланысы болса ${ displaystyle operatorname {R} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {E} [X (t_ {1}) { overline { Y (t_ {2})}}]}$ барлық уақытта нөлге тең.^{[179]:б. 142} Ресми түрде:

${ displaystyle left {X_ {t} right }, left {Y_ {t} right } { text {ortogonal}} quad iff quad operatorname {R} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 quad for all t_ {1}, t_ {2}}$.

Скороход кеңістігі

A Скороход кеңістігі, сондай-ақ ретінде жазылған Skorohod кеңістігі, дегеніміз - сол шектермен оң-үздіксіз болатын барлық функциялардың математикалық кеңістігі, мысалы нақты сызықтың кейбір аралығында анықталады. ${ displaystyle [0,1]}$ немесе ${ displaystyle [0, infty)}$, және нақты сызықта немесе кейбір метрикалық кеңістікте мәндер алыңыз.^{[180][181][182]} Мұндай функциялар француз өрнегінің қысқартылуына негізделген càdlàg немесе кадлаг функциялары деп аталады жалғастыру à droite, limite à gauche, функциялары сол жақ шектерімен оң-үздіксіз болғандықтан.^[180][183] Skorokhod функционалдық кеңістігі Анатолий Скороход,^[182] әрпімен жиі белгіленеді ${ displaystyle D}$,^{[180][181][182][183]} сондықтан функция кеңістігін кеңістік деп те атайды ${ displaystyle D}$.^{[180][184][185]} Бұл функция кеңістігінің белгіленуіне барлық càdlàg функциялары анықталатын интервал кіруі мүмкін, сондықтан, мысалы ${ displaystyle D [0,1]}$ -де анықталған càdlàg функцияларының кеңістігін білдіреді бірлік аралығы ${ displaystyle [0,1]}$.^{[183][185][186]}

Стохастикалық процестер теориясында Скороход функциялар кеңістігі жиі қолданылады, өйткені көбінесе үздіксіз уақыт стохастикалық процестердің іріктеме функциялары Скороход кеңістігіне жатады деп болжаған.^[182][184] Мұндай кеңістіктерде Винер процесінің үлгі функцияларына сәйкес келетін үздіксіз функциялар бар. Бірақ кеңістіктің үзілістерге ие функциялары да бар, демек, Пуассон процесі (нақты сызық бойынша) сияқты секірулермен стохастикалық процестердің таңдамалы функциялары да осы кеңістіктің мүшелері болып табылады.^[185][187]

Жүйелілік

Стохастикалық процестердің математикалық құрылысы тұрғысында термин жүйелілік ықтимал құрылыс мәселелерін шешу үшін стохастикалық процестің белгілі бір шарттарын талқылау және қабылдау кезінде қолданылады.^[188][189] Мысалы, есептелмейтін индекс жиынтығымен стохастикалық процестерді зерттеу үшін стохастикалық процесс іріктеу функциялары үздіксіз болу сияқты заңдылықтың қандай-да бір түрін ұстанады деп ұйғарылады.^[190][191]

Басқа мысалдар

Марков процестері мен тізбектері

Марков процестері - дәстүрлі түрде стохастикалық процестер дискретті немесе үздіксіз уақыт, бұл Марков процесінің келесі мәні ағымдағы мәнге байланысты дегенді білдіретін, бірақ ол стохастикалық процестің алдыңғы мәндерінен шартты түрде тәуелсіз дегенді білдіретін Марков қасиетіне ие. Басқаша айтқанда, процестің келешектегі мінез-құлқы стохастикалық тұрғыдан процестің қазіргі жағдайын ескере отырып, оның бұрынғы мінез-құлқына тәуелді емес.^[192][193]

Броундық қозғалыс процесі және Пуассон процесі (бір өлшемде) - бұл екеуі де Марков процестерінің мысалдары^[194] үздіксіз уақытта, ал кездейсоқ серуендер бүтін сандарда және құмар ойыншылардың қирауы мәселе - бұл дискретті уақыттағы Марков процестерінің мысалдары.^[195][196]

Марков тізбегі - бұл дискретті Марков процесінің түрі мемлекеттік кеңістік немесе дискретті индекс жиынтығы (көбінесе уақытты білдіреді), бірақ Марков тізбегінің нақты анықтамасы әр түрлі болады.^[197] Мысалы, екеуінде де Марков тізбегін Марков процесі ретінде анықтау кең таралған дискретті немесе үздіксіз уақыт есептелетін күй кеңістігімен (осылайша уақыт сипатына қарамастан),^{[198][199][200][201]} сонымен қатар Марков тізбегін есептелетін немесе үздіксіз күй кеңістігінде (осылайша күй кеңістігіне қарамастан) дискретті уақытқа ие деп анықтау әдеттегідей болды.^[197] Марков тізбегінің бірінші анықтамасы, оның дискретті уақыты болса, енді екінші анықтамаға ұқсас зерттеушілер қолданғанына қарамастан, қазір қолдануға бейім деген пікірлер айтылды. Джозеф Дуб және Кай-лай Чун.^[202]

Марков процестері стохастикалық процестердің маңызды класын құрайды және көптеген салаларда қолданыста болады.^[41][203] Мысалы, олар жалпы стохастикалық модельдеу әдісінің негізі болып табылады Марков тізбегі Монте-Карло, ол кездейсоқ объектілерді нақты ықтималдық үлестірімдері бар модельдеу үшін қолданылады және қолданбаны тапты Байес статистикасы.^[204][205]

Марков қасиетінің тұжырымдамасы бастапқыда үздіксіз және дискретті уақыттағы стохастикалық процестерге арналған, бірақ қасиет басқа индекстер жиынтығына бейімделген. ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі, нәтижесінде кездейсоқ шамалар жиналады, бұл кездейсоқ Марков өрістері деп аталады.^{[206][207][208]}

Мартингал

Мартингал - бұл әр сәтте ағымдық мән мен процестің барлық өткен мәндерін ескере отырып, болашақтағы әрбір мәннің шартты күтуі ағымдағы мәнге тең болатын қасиеті бар дискретті немесе үздіксіз стохастикалық процесс. Дискретті уақытта, егер бұл қасиет келесі мәнге ие болса, онда ол барлық болашақ мәндерге ие болады. The exact mathematical definition of a martingale requires two other conditions coupled with the mathematical concept of a filtration, which is related to the intuition of increasing available information as time passes. Martingales are usually defined to be real-valued,^{[209][210][156]} but they can also be complex-valued^[211] or even more general.^[212]

A symmetric random walk and a Wiener process (with zero drift) are both examples of martingales, respectively, in discrete and continuous time.^[209][210] Үшін жүйелі туралы тәуелсіз және бірдей бөлінген кездейсоқ шамалар ${displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},dots }$ with zero mean, the stochastic process formed from the successive partial sums ${displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},dots }$ is a discrete-time martingale.^[213] In this aspect, discrete-time martingales generalize the idea of partial sums of independent random variables.^[214]

Martingales can also be created from stochastic processes by applying some suitable transformations, which is the case for the homogeneous Poisson process (on the real line) resulting in a martingale called the compensated Poisson process.^[210] Martingales can also be built from other martingales.^[213] For example, there are martingales based on the martingale the Wiener process, forming continuous-time martingales.^[209][215]

Martingales mathematically formalize the idea of a fair game,^[216] and they were originally developed to show that it is not possible to win a fair game.^[217] But now they are used in many areas of probability, which is one of the main reasons for studying them.^{[156][217][218]} Many problems in probability have been solved by finding a martingale in the problem and studying it.^[219] Martingales will converge, given some conditions on their moments, so they are often used to derive convergence results, due largely to martingale convergence theorems.^{[214][220][221]}

Martingales have many applications in statistics, but it has been remarked that its use and application are not as widespread as it could be in the field of statistics, particularly statistical inference.^[222] They have found applications in areas in probability theory such as queueing theory and Palm calculus^[223] and other fields such as economics^[224] және қаржы.^[19]

Леви процесі

Lévy processes are types of stochastic processes that can be considered as generalizations of random walks in continuous time.^[51][225] These processes have many applications in fields such as finance, fluid mechanics, physics and biology.^[226][227] The main defining characteristics of these processes are their stationarity and independence properties, so they were known as processes with stationary and independent increments. In other words, a stochastic process ${ displaystyle X}$ is a Lévy process if for ${ displaystyle n}$ non-negatives numbers, ${displaystyle 0leq t_{1}leq dots leq t_{n}}$, the corresponding ${ displaystyle n-1}$ өсім

${displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},dots ,X_{t_{n-1}}-X_{t_{n}},}$

are all independent of each other, and the distribution of each increment only depends on the difference in time.^[51]

A Lévy process can be defined such that its state space is some abstract mathematical space, such as a Банах кеңістігі, but the processes are often defined so that they take values in Euclidean space. The index set is the non-negative numbers, so ${displaystyle I=[0,infty )}$, which gives the interpretation of time. Important stochastic processes such as the Wiener process, the homogeneous Poisson process (in one dimension), and subordinators are all Lévy processes.^[51][225]

Кездейсоқ өріс

A random field is a collection of random variables indexed by a ${ displaystyle n}$-dimensional Euclidean space or some manifold. In general, a random field can be considered an example of a stochastic or random process, where the index set is not necessarily a subset of the real line.^[32] But there is a convention that an indexed collection of random variables is called a random field when the index has two or more dimensions.^[5][30][228] If the specific definition of a stochastic process requires the index set to be a subset of the real line, then the random field can be considered as a generalization of stochastic process.^[229]

Нүктелік процесс

A point process is a collection of points randomly located on some mathematical space such as the real line, ${ displaystyle n}$-dimensional Euclidean space, or more abstract spaces. Кейде термин нүктелік процесс is not preferred, as historically the word процесс denoted an evolution of some system in time, so a point process is also called a random point field.^[230] There are different interpretations of a point process, such a random counting measure or a random set.^[231][232] Some authors regard a point process and stochastic process as two different objects such that a point process is a random object that arises from or is associated with a stochastic process,^[233][234] though it has been remarked that the difference between point processes and stochastic processes is not clear.^[234]

Other authors consider a point process as a stochastic process, where the process is indexed by sets of the underlying space^[d] on which it is defined, such as the real line or ${ displaystyle n}$-dimensional Euclidean space.^[237][238] Other stochastic processes such as renewal and counting processes are studied in the theory of point processes.^[239][240]

Тарих

Early probability theory

Probability theory has its origins in games of chance, which have a long history, with some games being played thousands of years ago,^[241][242] but very little analysis on them was done in terms of probability.^[241][243] The year 1654 is often considered the birth of probability theory when French mathematicians Pierre Fermat және Блез Паскаль had a written correspondence on probability, motivated by a gambling problem.^{[241][244][245]} But there was earlier mathematical work done on the probability of gambling games such as Либер де Людо Алея арқылы Героламо Кардано, written in the 16th century but posthumously published later in 1663.^[241][246]

After Cardano, Якоб Бернулли^[e] жазды Ars Conjectandi, which is considered a significant event in the history of probability theory.^[241] Bernoulli's book was published, also posthumously, in 1713 and inspired many mathematicians to study probability.^{[241][248][249]} But despite some renowned mathematicians contributing to probability theory, such as Пьер-Симон Лаплас, Авраам де Моивр, Карл Гаусс, Симеон Пуассон және Pafnuty Chebyshev,^[250][251] most of the mathematical community^[f] did not consider probability theory to be part of mathematics until the 20th century.^{[250][252][253][254]}

Статистикалық механика

In the physical sciences, scientists developed in the 19th century the discipline of статистикалық механика, where physical systems, such as containers filled with gases, can be regarded or treated mathematically as collections of many moving particles. Although there were attempts to incorporate randomness into statistical physics by some scientists, such as Рудольф Клаузиус, most of the work had little or no randomness.^[255][256]This changed in 1859 when Джеймс Клерк Максвелл contributed significantly to the field, more specifically, to the kinetic theory of gases, by presenting work where he assumed the gas particles move in random directions at random velocities.^[257][258] The kinetic theory of gases and statistical physics continued to be developed in the second half of the 19th century, with work done chiefly by Clausius, Людвиг Больцман және Джосия Гиббс, which would later have an influence on Альберт Эйнштейн's mathematical model for Броундық қозғалыс.^[259]

Measure theory and probability theory

At Халықаралық математиктердің конгресі жылы Париж in 1900, Дэвид Хилберт presented a list of математикалық есептер, where his sixth problem asked for a mathematical treatment of physics and probability involving аксиомалар.^[251] Around the start of the 20th century, mathematicians developed measure theory, a branch of mathematics for studying integrals of mathematical functions, where two of the founders were French mathematicians, Henri Lebesgue және Émile Borel. In 1925 another French mathematician Пол Леви published the first probability book that used ideas from measure theory.^[251]

In 1920s fundamental contributions to probability theory were made in the Soviet Union by mathematicians such as Сергей Бернштейн, Александр Хинчин,^[g] және Andrei Kolmogorov.^[254] Kolmogorov published in 1929 his first attempt at presenting a mathematical foundation, based on measure theory, for probability theory.^[260] In the early 1930s Khinchin and Kolmogorov set up probability seminars, which were attended by researchers such as Eugene Slutsky және Николай Смирнов,^[261] and Khinchin gave the first mathematical definition of a stochastic process as a set of random variables indexed by the real line.^[65][262][h]

Birth of modern probability theory

In 1933 Andrei Kolmogorov published in German, his book on the foundations of probability theory titled Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung,^[мен] where Kolmogorov used measure theory to develop an axiomatic framework for probability theory. The publication of this book is now widely considered to be the birth of modern probability theory, when the theories of probability and stochastic processes became parts of mathematics.^[251][254]

After the publication of Kolmogorov's book, further fundamental work on probability theory and stochastic processes was done by Khinchin and Kolmogorov as well as other mathematicians such as Joseph Doob, Уильям Феллер, Морис Фречет, Пол Леви, Wolfgang Doeblin, және Харальд Крамер.^[251][254]Decades later Cramér referred to the 1930s as the "heroic period of mathematical probability theory".^[254] Екінші дүниежүзілік соғыс greatly interrupted the development of probability theory, causing, for example, the migration of Feller from Швеция дейін Америка Құрама Штаттары^[254] and the death of Doeblin, considered now a pioneer in stochastic processes.^[264]

Математик Joseph Doob did early work on the theory of stochastic processes, making fundamental contributions, particularly in the theory of martingales.^[265][263] Оның кітабы Стохастикалық процестер is considered highly influential in the field of probability theory.^[266]

Stochastic processes after World War II

After World War II the study of probability theory and stochastic processes gained more attention from mathematicians, with significant contributions made in many areas of probability and mathematics as well as the creation of new areas.^[254][267] 1940 жылдардан бастап, Kiyosi Itô published papers developing the field of stochastic calculus, which involves stochastic интегралдар және стохастикалық дифференциалдық теңдеулер based on the Wiener or Brownian motion process.^[268]

Also starting in the 1940s, connections were made between stochastic processes, particularly martingales, and the mathematical field of potential theory, with early ideas by Сидзуо Какутани and then later work by Joseph Doob.^[267] Further work, considered pioneering, was done by Gilbert Hunt in the 1950s, connecting Markov processes and potential theory, which had a significant effect on the theory of Lévy processes and led to more interest in studying Markov processes with methods developed by Itô.^{[23][269][270]}

In 1953 Doob published his book Стохастикалық процестер, which had a strong influence on the theory of stochastic processes and stressed the importance of measure theory in probability.^[267][266] Doob also chiefly developed the theory of martingales, with later substantial contributions by Пол-Андре Мейер. Earlier work had been carried out by Сергей Бернштейн, Пол Леви және Jean Ville, the latter adopting the term martingale for the stochastic process.^[271][272] Methods from the theory of martingales became popular for solving various probability problems. Techniques and theory were developed to study Markov processes and then applied to martingales. Conversely, methods from the theory of martingales were established to treat Markov processes.^[267]

Other fields of probability were developed and used to study stochastic processes, with one main approach being the theory of large deviations.^[267] The theory has many applications in statistical physics, among other fields, and has core ideas going back to at least the 1930s. Later in the 1960s and 1970s fundamental work was done by Alexander Wentzell in the Soviet Union and Monroe D. Donsker және Srinivasa Varadhan in the United States of America,^[273] which would later result in Varadhan winning the 2007 Abel Prize.^[274] In the 1990s and 2000s the theories of Schramm – Loewner эволюциясы^[275] және rough paths^[143] were introduced and developed to study stochastic processes and other mathematical objects in probability theory, which respectively resulted in Fields Medals марапатталады Венделин Вернер^[276] in 2008 and to Мартин Хайрер 2014 жылы.^[277]

The theory of stochastic processes still continues to be a focus of research, with yearly international conferences on the topic of stochastic processes.^[47][226]

Discoveries of specific stochastic processes

Although Khinchin gave mathematical definitions of stochastic processes in the 1930s,^[65][262] specific stochastic processes had already been discovered in different settings, such as the Brownian motion process and the Poisson process.^[23][26] Some families of stochastic processes such as point processes or renewal processes have long and complex histories, stretching back centuries.^[278]

Бернулли процесі

The Bernoulli process, which can serve as a mathematical model for flipping a biased coin, is possibly the first stochastic process to have been studied.^[83] The process is a sequence of independent Bernoulli trials,^[84] which are named after Jackob Bernoulli who used them to study games of chance, including probability problems proposed and studied earlier by Christiaan Huygens.^[279] Bernoulli's work, including the Bernoulli process, were published in his book Ars Conjectandi 1713 жылы.^[280]

Кездейсоқ серуендер

In 1905 Карл Пирсон терминін ойлап тапты кездейсоқ серуендеу while posing a problem describing a random walk on the plane, which was motivated by an application in biology, but such problems involving random walks had already been studied in other fields. Certain gambling problems that were studied centuries earlier can be considered as problems involving random walks.^[91][280] For example, the problem known as the Құмар ойыншылардың күйреуі is based on a simple random walk,^[196][281] and is an example of a random walk with absorbing barriers.^[244][282] Pascal, Fermat and Huyens all gave numerical solutions to this problem without detailing their methods,^[283] and then more detailed solutions were presented by Jakob Bernoulli and Авраам де Моивр.^[284]

For random walks in ${ displaystyle n}$-dimensional integer торлар, Джордж Поля published in 1919 and 1921 work, where he studied the probability of a symmetric random walk returning to a previous position in the lattice. Pólya showed that a symmetric random walk, which has an equal probability to advance in any direction in the lattice, will return to a previous position in the lattice an infinite number of times with probability one in one and two dimensions, but with probability zero in three or higher dimensions.^[285][286]

Wiener процесі

The Wiener процесі or Brownian motion process has its origins in different fields including statistics, finance and physics.^[23] 1880 жылы, Thorvald Thiele wrote a paper on the method of least squares, where he used the process to study the errors of a model in time-series analysis.^{[287][288][289]} The work is now considered as an early discovery of the statistical method known as Калман сүзгісі, but the work was largely overlooked. It is thought that the ideas in Thiele's paper were too advanced to have been understood by the broader mathematical and statistical community at the time.^[289]

Норберт Винер gave the first mathematical proof of the existence of the Wiener process. This mathematical object had appeared previously in the work of Thorvald Thiele, Луи Бахелье, және Альберт Эйнштейн.^[23]

Француз математигі Луи Бахелье used a Wiener process in his 1900 thesis^[290][291] in order to model price changes on the Париж Бурс, а қор биржасы,^[292] without knowing the work of Thiele.^[23] It has been speculated that Bachelier drew ideas from the random walk model of Jules Regnault, but Bachelier did not cite him,^[293] and Bachelier's thesis is now considered pioneering in the field of financial mathematics.^[292][293]

It is commonly thought that Bachelier's work gained little attention and was forgotten for decades until it was rediscovered in the 1950s by the Леонард Саваж, and then become more popular after Bachelier's thesis was translated into English in 1964. But the work was never forgotten in the mathematical community, as Bachelier published a book in 1912 detailing his ideas,^[293] which was cited by mathematicians including Doob, Feller^[293] and Kolmogorov.^[23] The book continued to be cited, but then starting in the 1960s the original thesis by Bachelier began to be cited more than his book when economists started citing Bachelier's work.^[293]

In 1905 Альберт Эйнштейн published a paper where he studied the physical observation of Brownian motion or movement to explain the seemingly random movements of particles in liquids by using ideas from the kinetic theory of gases. Einstein derived a дифференциалдық теңдеу, ретінде белгілі диффузиялық теңдеу, for describing the probability of finding a particle in a certain region of space. Shortly after Einstein's first paper on Brownian movement, Мариан Смолуховский published work where he cited Einstein, but wrote that he had independently derived the equivalent results by using a different method.^[294]

Einstein's work, as well as experimental results obtained by Жан Перрин, later inspired Norbert Wiener in the 1920s^[295] to use a type of measure theory, developed by Percy Daniell, and Fourier analysis to prove the existence of the Wiener process as a mathematical object.^[23]

Пуассон процесі

The Poisson process is named after Симеон Пуассон, due to its definition involving the Пуассонның таралуы, but Poisson never studied the process.^[24][296] There are a number of claims for early uses or discoveries of the Poissonprocess.^[24][26]At the beginning of the 20th century the Poisson process would arise independently in different situations.^[24][26]In Sweden 1903, Filip Lundberg жарияланған тезис containing work, now considered fundamental and pioneering, where he proposed to model insurance claims with a homogeneous Poisson process.^[297][298]

Another discovery occurred in Дания in 1909 when А.К. Эрланг derived the Poisson distribution when developing a mathematical model for the number of incoming phone calls in a finite time interval. Erlang was not at the time aware of Poisson's earlier work and assumed that the number phone calls arriving in each interval of time were independent to each other. He then found the limiting case, which is effectively recasting the Poisson distribution as a limit of the binomial distribution.^[24]

1910 жылы Эрнест Резерфорд және Hans Geiger published experimental results on counting alpha particles. Motivated by their work, Гарри Бейтман studied the counting problem and derived Poisson probabilities as a solution to a family of differential equations, resulting in the independent discovery of the Poisson process.^[24] After this time there were many studies and applications of the Poisson process, but its early history is complicated, which has been explained by the various applications of the process in numerous fields by biologists, ecologists, engineers and various physical scientists.^[24]

Марков процестері

Markov processes and Markov chains are named after Андрей Марков who studied Markov chains in the early 20th century.^[299] Markov was interested in studying an extension of independent random sequences.^[299] In his first paper on Markov chains, published in 1906, Markov showed that under certain conditions the average outcomes of the Markov chain would converge to a fixed vector of values, so proving a үлкен сандардың әлсіз заңы without the independence assumption,^{[6][300][301][302]} which had been commonly regarded as a requirement for such mathematical laws to hold.^[302] Markov later used Markov chains to study the distribution of vowels in Евгений Онегин, жазылған Александр Пушкин, and proved a орталық шек теоремасы for such chains.^[6][300]

In 1912 Poincaré studied Markov chains on finite groups with an aim to study card shuffling. Other early uses of Markov chains include a diffusion model, introduced by Пауыл және Tatyana Ehrenfest in 1907, and a branching process, introduced by Фрэнсис Галтон және Генри Уильям Уотсон in 1873, preceding the work of Markov.^[300][301] After the work of Galton and Watson, it was later revealed that their branching process had been independently discovered and studied around three decades earlier by Ирени-Жюль Биенайме.^[303] 1928 жылдан бастап, Морис Фречет became interested in Markov chains, eventually resulting in him publishing in 1938 a detailed study on Markov chains.^[300][304]

Andrei Kolmogorov developed in a 1931 paper a large part of the early theory of continuous-time Markov processes.^[254][260] Kolmogorov was partly inspired by Louis Bachelier's 1900 work on fluctuations in the stock market as well as Норберт Винер's work on Einstein's model of Brownian movement.^[260][305] He introduced and studied a particular set of Markov processes known as diffusion processes, where he derived a set of differential equations describing the processes.^[260][306] Independent of Kolmogorov's work, Сидней Чэпмен derived in a 1928 paper an equation, now called the Чапман - Колмогоров теңдеуі, in a less mathematically rigorous way than Kolmogorov, while studying Brownian movement.^[307] The differential equations are now called the Kolmogorov equations^[308] or the Kolmogorov–Chapman equations.^[309] Other mathematicians who contributed significantly to the foundations of Markov processes include William Feller, starting in the 1930s, and then later Eugene Dynkin, starting in the 1950s.^[254]

Леви процестері

Lévy processes such as the Wiener process and the Poisson process (on the real line) are named after Paul Lévy who started studying them in the 1930s,^[226] but they have connections to infinitely divisible distributions going back to the 1920s.^[225] In a 1932 paper Kolmogorov derived a сипаттамалық функция for random variables associated with Lévy processes. This result was later derived under more general conditions by Lévy in 1934, and then Khinchin independently gave an alternative form for this characteristic function in 1937.^[254][310] In addition to Lévy, Khinchin and Kolomogrov, early fundamental contributions to the theory of Lévy processes were made by Бруно де Финетти және Kiyosi Itô.^[225]

Mathematical construction

In mathematics, constructions of mathematical objects are needed, which is also the case for stochastic processes, to prove that they exist mathematically.^[59] There are two main approaches for constructing a stochastic process. One approach involves considering a measurable space of functions, defining a suitable measurable mapping from a probability space to this measurable space of functions, and then deriving the corresponding finite-dimensional distributions.^[311]

Another approach involves defining a collection of random variables to have specific finite-dimensional distributions, and then using Kolmogorov's existence theorem^[j] to prove a corresponding stochastic process exists.^[59][311] This theorem, which is an existence theorem for measures on infinite product spaces,^[315] егер кез-келген ақырлы үлестіру екі шартты қанағаттандырса, дейді консистенция шарттары, содан кейін сол өлшемді үлестірулермен стохастикалық процесс жүреді.^[59]

Құрылыс мәселелері

Үздіксіз стохастикалық процестерді құру кезінде дискретті уақыттық процестерде кездеспейтін индекстердің есептелмейтін жиынтықтарына байланысты белгілі бір математикалық қиындықтар туындайды.^[60][61] Бір ақиқат - бірдей ақырлы үлестірімдермен бірнеше стохастикалық процестің болуы мүмкін. Мысалы, Пуассон процесінің сол жақтағы үздіксіз модификациясы да, оң жақтағы үздіксіз модификациясы да ақырлы өлшемді үлестірулерге ие.^[316] Бұл дегеніміз, стохастикалық процестің таралуы міндетті түрде стохастикалық процестің іріктеу функцияларының қасиеттерін көрсетпейді.^[311][317]

Тағы бір мәселе, индекс жиынтығының есептелмейтін санына сүйенетін үздіксіз процестің функционалдары өлшенбеуі мүмкін, сондықтан кейбір оқиғалардың ықтималдығы дұрыс анықталмаған болуы мүмкін.^[169] Мысалы, стохастикалық процестің немесе кездейсоқ өрістің супремумы міндетті түрде нақты анықталған кездейсоқ шама емес.^[32][61] Үздіксіз стохастикалық процесс үшін ${ displaystyle X}$, индекстің көптеген нүктелерінің санына тәуелді басқа сипаттамалар ${ displaystyle T}$ қамтиды:^[169]

• стохастикалық процестің үлгі функциясы ${ displaystyle X}$ Бұл үздіксіз функция туралы ${ displaystyle t in T}$;
• стохастикалық процестің үлгі функциясы ${ displaystyle X}$ Бұл шектелген функция туралы ${ displaystyle t in T}$; және
• стохастикалық процестің үлгі функциясы ${ displaystyle X}$ болып табылады өсіп келе жатқан функция туралы ${ displaystyle t in T}$.

Осы екі қиындықты жеңу үшін әртүрлі болжамдар мен тәсілдер мүмкін.^[71]

Құрылыс мәселелерін шешу

Стохастикалық процестердің математикалық құрылыс мәселелерін болдырмаудың бір тәсілі Джозеф Дуб, стохастикалық процесс бөлінетін деп болжау болып табылады.^[318] Бөлінгіштік шексіз өлшемді үлестірімдердің іріктеу функциясының қасиеттерін индекстегі жиынтықтың тығыз есептелетін нүктелер жиынтығында олардың мәндерімен мәні бойынша анықталуын талап ету арқылы қамтамасыз етеді.^[319] Сонымен қатар, егер стохастикалық процесс бөлінетін болса, онда индекстің көптеген нүктелерінің функционалдары өлшенеді және олардың ықтималдығын зерттеуге болады.^[169][319]

Басқа тәсіл қолданылуы мүмкін, бастапқыда әзірленген Анатолий Скороход және Андрей Колмогоров,^[320] үздіксіз стохастикалық процесс үшін кез-келген метрикалық кеңістік өзінің жай кеңістігі ретінде. Осындай стохастикалық процесті құру үшін стохастикалық процестің таңдамалы функциялары кейбір қолайлы функциялар кеңістігіне жатады деп ұйғарылады, бұл әдетте сол жақ шектері бар барлық оң-үздіксіз функциялардан тұратын Скороход кеңістігі. Бұл тәсіл енді бөлінгіштік болжамына қарағанда көбірек қолданылады,^[71][265] бірақ осы тәсілге негізделген осындай стохастикалық процесс автоматты түрде бөлінетін болады.^[321]

Аз қолданылғанымен, бөлінгіштік туралы болжам жалпы болып саналады, өйткені әрбір стохастикалық процестің бөлінетін нұсқасы бар.^[265] Ол Скороход кеңістігінде стохастикалық процесті құру мүмкін болмаған кезде де қолданылады.^[174] Мысалы, кездейсоқ шамалардың жиынтығы нақты сызықтан басқа жиындармен индекстелетін кездейсоқ өрістерді құру және зерттеу кезінде бөлінгіштік қабылданады. ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклид кеңістігі.^[32][322]

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі