WikiDer > Пуассон нүктесінің процесі

Пуассон нүктесінің процесін 0-ден басталатын көрнекі кескіндеме, онда өсу үздіксіз және дербес λ жылдамдықпен жүреді.

Жылы ықтималдық, статистика және байланысты өрістер, а Пуассон нүктесінің процесі түрі болып табылады кездейсоқ математикалық объект тұрады ұпай а кездейсоқ орналасқан математикалық кеңістік.^[1] Пуассон нүктелік процесі көбінесе жай деп аталады Пуассон процесі, бірақ оны а деп те атайды Пуассон кездейсоқ шарасы, Пуассонның кездейсоқ өрісі немесе Пуассон нүктесінің өрісі. Бұл нүктелік процесс ыңғайлы математикалық қасиеттерге ие,^[2] бұл оны жиі анықтауға әкелді Евклид кеңістігі және а ретінде қолданылған математикалық модель сияқты көптеген пәндердегі кездейсоқ көрінетін процестер үшін астрономия,^[3] биология,^[4] экология,^[5] геология,^[6] сейсмология,^[7] физика,^[8] экономика,^[9] кескінді өңдеу,^[10] және телекоммуникация.^[11][12]

Процесс атымен аталды Француз математик Симеон Денис Пуассон қарамастан Пуассон бұл процесті ешқашан зерттеген емес. Оның атауы, егер кейбір кеңістіктегі кездейсоқ нүктелер жиынтығы Пуассон процесін құраса, онда ақырлы өлшем аймағындағы нүктелер саны кездейсоқ шама а Пуассонның таралуы. Процесс бірнеше жағдайларда, соның ішінде радиоактивті ыдырау, телефон қоңырауларының келуі және сақтандыру математикасы бойынша тәжірибелерден тәуелсіз және бірнеше рет ашылды.^[13][14]

Пуассон нүктесінің процесі көбінесе анықталады нақты сызық, мұнда оны а деп санауға болады стохастикалық процесс. Бұл параметрде ол қолданылады, мысалы кезек теориясы^[15] клиенттердің дүкенге келуі, биржадағы телефон қоңыраулары немесе орын алу сияқты кездейсоқ оқиғаларды модельдеу жер сілкінісі, уақытында таратылады. Ішінде ұшақ, нүктелік процесс, а кеңістіктік Пуассон процесі,^[16] а-дағы таратқыштар сияқты шашыраңқы объектілердің орналасуын көрсете алады сымсыз желі,^{[11][17][18][19]} бөлшектер детекторға немесе ормандағы ағаштарға соқтығысу.^[20] Бұл жағдайда процесс көбінесе математикалық модельдерде және кеңістіктік нүктелік процестердің өрістерінде қолданылады,^[21] стохастикалық геометрия,^[1] кеңістіктік статистика ^[21][22] және перколяцияның үздіксіз теориясы.^[23] Пуассон нүктесінің процесін көбірек анықтауға болады реферат кеңістіктер. Қосымшалардан басқа, Пуассон нүктелік процесі өзіндік математикалық зерттеу объектісі болып табылады.^[2] Барлық параметрлерде Пуассон нүктесінің процесі әр нүкте болатын қасиетке ие стохастикалық тәуелсіз процестің барлық басқа нүктелеріне, сондықтан оны кейде а деп атайды таза немесе толығымен кездейсоқ процесс.^[24] Нүктелер ретінде көрінетін құбылыстардың стохастикалық моделі ретінде кең қолданысына қарамастан, процестің тән табиғаты, ол нүктелер арасында жеткілікті күшті өзара әрекеттесу болатын құбылыстарды жеткілікті дәрежеде сипаттамайтындығын білдіреді. Бұл Пуассон нүктелік үдерісімен салынған басқа өзара әрекеттесуді мақсат ететін басқа нүктелік процестердің ұсыныстарын шабыттандырды.^[25]

Нүктелік процесс жалғыз математикалық объектке байланысты, ол контекстке байланысты а болуы мүмкін тұрақты, а жергілікті интеграцияланатын функция немесе, жалпы жағдайда, а Радон өлшемі.^[26] Бірінші жағдайда тұрақты деп аталады ставка немесе қарқындылық, орташа болып табылады тығыздық кеңістіктің кейбір аймағында орналасқан Пуассон процесінің нүктелерінің. Алынған нүктелік процесс а деп аталады біртекті немесе Пуассонның стационарлық процесі.^[27] Екінші жағдайда нүктелік процесс an деп аталады біртекті емес немесе біртекті емес Пуассон нүктесінің процесі, ал нүктелердің орташа тығыздығы Пуассон нүктелік процесінің негізгі кеңістігінің орналасуына байланысты.^[28] Сөз нүкте жиі алынып тасталады,^[29][2] бірақ басқалары бар Пуассон процестері сияқты күрделі математикалық нысандардан тұратын объектілер сызықтар және көпбұрыштар, және мұндай процестер Пуассонның нүктелік процесіне негізделуі мүмкін.^[30]

Анықтамаларға шолу

Параметрге байланысты процесс бірнеше эквивалентті анықтамаларға ие^[31] оның көптеген қолданбалары мен сипаттамалары арқасында әртүрлі жалпылықтың анықтамалары.^[32] Пуассон нүктелік процесін анықтауға, зерттеуге және бір өлшемде қолдануға болады, мысалы, нақты сызықта, оны санау процесі немесе кезектің моделінің бөлігі ретінде түсіндіруге болады;^[33][34] ол рөл атқаратын жазықтық сияқты үлкен өлшемдерде стохастикалық геометрия^[1] және кеңістіктік статистика;^[35] немесе жалпы математикалық кеңістіктерде.^[36] Демек, Пуассонның нүктелік процесін және тұтастай алғанда нүктелік процестерді анықтау және зерттеу үшін қолданылатын нота, терминология және математикалық қаттылық деңгейі контекстке байланысты өзгеріп отырады.^[37]

Осының бәріне қарамастан, Пуассон нүктелік процесі Пуассон нүктелік процесі қолданылатын барлық жағдайларда маңызды рөл атқаратын екі негізгі қасиетке ие - Пуассон қасиеті және тәуелсіздік қасиеті.^[26][38] Екі қасиет логикалық тәуелсіз емес; шын мәнінде, тәуелсіздік нүктелік санақтарды Пуассонға бөлуді білдіреді, бірақ керісінше емес.^[a]

Нүктелік санаулардың пуассонды таралуы

Пуассон нүктелік процесі арқылы сипатталады Пуассонның таралуы. Пуассон үлестірімі - а-ның ықтималдық үлестірімі кездейсоқ шама ${ displaystyle textstyle N}$ (а деп аталады Пуассон кездейсоқ шамасы) ықтималдығы солай ${ displaystyle textstyle N}$ тең ${ displaystyle textstyle n}$ береді:

${ displaystyle P {N = n } = { frac { Lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- Lambda}}$

қайда ${ displaystyle textstyle n!}$ білдіреді ${ displaystyle textstyle n}$ факторлық және параметр ${ displaystyle textstyle Lambda}$ таралу формасын анықтайды. (Шынында, ${ displaystyle textstyle Lambda}$ күтілетін мәнге тең ${ displaystyle textstyle N}$.)

Анықтама бойынша, Пуассон нүктелік процесі процестің астындағы кеңістіктің шектелген аймағындағы нүктелер саны Пуассонмен бөлінген кездейсоқ шама болатын қасиетке ие.^[38]

Толық тәуелсіздік

Жинағын қарастырайық бөлу және астыңғы кеңістіктің шектелген ішкі аймақтары. Анықтама бойынша әр шектелген ішкі аймақтағы Пуассон нүктесі процесінің нүктелерінің саны басқаларға тәуелді болмайды.

Бұл қасиет бірнеше атаулармен белгілі толық кездейсоқтық, толық тәуелсіздік,^[39] немесе тәуелсіз шашырау ^[40][41] және Пуассонның барлық нүктелік процестеріне тән. Басқаша айтқанда, әр түрлі аймақтар мен тұтастай алғанда нүктелер арасында өзара әрекеттестік жоқ,^[42] кейде Пуассон процесін а деп атайды таза немесе толығымен кездейсоқ процесс.^[39]

Пуассон нүктесінің біртекті процесі

Егер Пуассон нүктелік процесінде форманың параметрі болса ${ displaystyle textstyle Lambda = nu lambda}$, қайда ${ displaystyle textstyle nu}$ бұл Лебег өлшемі (яғни жиынтықтарға ұзындықты, ауданды немесе көлемді тағайындайды) және ${ displaystyle textstyle lambda}$ тұрақты, содан кейін нүктелік процесті біртекті немесе стационарлық Пуассон нүктелік процесі деп атайды. Параметр, деп аталады ставка немесе қарқындылық, кейбір шектелген аймақта бар Пуассон нүктелерінің күтілетін (немесе орташа) санымен байланысты,^[43][44] қайда ставка әдетте кеңістіктің бір өлшемі болған кезде қолданылады.^[43] Параметр ${ displaystyle textstyle lambda}$ сияқты кейбір өлшем бірлігі үшін орташа ұпай саны ретінде түсіндіруге болады ұзындығы, аудан, көлем, немесе уақыт, негізінде жатқан математикалық кеңістікке байланысты және оны орташа тығыздық немесе орташа ставка;^[45] қараңыз Терминология.

Санақ процесі ретінде түсіндіріледі

Пуассон нүктесінің біртекті процесі, оң жарты сызықта қарастырылған кезде, а деп анықтауға болады санау процесі, деп белгілеуге болатын стохастикалық процестің түрі ${ displaystyle textstyle {N (t), t geq 0 }}$.^[31][34] Санақ процесі уақытқа дейін болған жалпы оқиғалар мен оқиғалардың санын білдіреді ${ displaystyle textstyle t}$. Санақ процесі - жылдамдығы бар біртекті Пуассонды санау процесі ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ егер ол келесі үш қасиетке ие болса:^[31][34]

• ${ textstyle N (0) = 0;}$
• бар тәуелсіз өсім; және
• кез-келген ұзындықтағы оқиғалардың (немесе нүктелердің) саны ${ textstyle t}$ параметрі бар Пуассон кездейсоқ шамасы (немесе орташа мәні) ${ textstyle lambda t}$.

Соңғы қасиет мыналарды білдіреді:

${ displaystyle mathbb {E} [N (t)] = lambda t.}$

Басқа сөзбен айтқанда, кездейсоқ шаманың ықтималдығы ${ textstyle N (t)}$ тең ${ textstyle n}$ береді:

${ displaystyle mathbb {P} {N (t) = n } = { frac {( lambda t) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda t}.}$

Пуассонды санау процесін санау процесінің оқиғалары арасындағы уақыт айырмашылықтары орташа мәнге ие экспоненциалды айнымалылар деп көрсетумен де анықтауға болады. ${ displaystyle textstyle 1 / lambda}$.^[46] Оқиғалар немесе келу арасындағы уақыт айырмашылықтары белгілі келу ^[47] немесе өзара үйлесімділік рет.^[46]

Нақты сызықтағы нүктелік процесс ретінде түсіндіріледі

Ретінде түсіндіріледі нүктелік процесс, Пуассон нүктесінің процесін анықтауға болады нақты сызық интервалдағы процестің нүктелерінің санын қарастыру арқылы ${ displaystyle textstyle (a, b]}$. Параметрі бар нақты сызықтағы біртекті Пуассон нүктелік процесі үшін ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, бұл кездейсоқ ұпай санының ықтималдығы, осында жазылған ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$, кейбіріне тең санау саны ${ displaystyle textstyle n}$ береді:^[48]

${ displaystyle P {N (a, b] = n } = { frac {[ lambda (b-a)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda (b-a)},}$

Натурал сан үшін ${ displaystyle textstyle k}$, біртекті Пуассон нүктесінің процесі ақырлы өлшемді үлестірімге ие:^[48]

${ displaystyle P {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, dots, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {[ lambda (b_ {i} -a_ {i})] ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} e ^ {- lambda (b_ {i} -a__ i i))} ,}$

нақты сандар қайда ${ displaystyle textstyle a_ {i}$.

Басқа сөздермен айтқанда, ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ - орташа мәні бар Пуассон кездейсоқ шамасы ${ displaystyle textstyle lambda (b-a)}$, қайда ${ displaystyle textstyle a leq b}$. Сонымен қатар, кез-келген екі аралықтағы нүктелер саны, айталық, ${ displaystyle textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}$ және ${ displaystyle textstyle (a_ {2}, b_ {2}]}$ бір-біріне тәуелді емес, және бұл дисконтталған аралықтардың кез келген ақырғы санына таралады.^[48] Кезек теориясының контекстінде бар нүктені (аралықта) ретінде қарастыруға болады іс-шара, бірақ бұл сөзден өзгеше іс-шара ықтималдықтар теориясы мағынасында.^[b] Бұдан шығатыны ${ displaystyle textstyle lambda}$ күтілетін саны болып табылады Келу уақыт бірлігінде пайда болады.^[34]

Негізгі қасиеттері

Алдыңғы анықтамада жалпы Пуассонның нүктелік процестері бөлетін екі маңызды ерекшелігі бар:^[48][26]

• әрбір ақырғы аралықтағы келу саны Пуассон үлестіріміне ие;
• аралықтағы келу саны тәуелсіз кездейсоқ шамалар.

Сонымен қатар, оның тек біртекті Пуассон нүктелік процесімен байланысты үшінші ерекшелігі бар:^[49]

• әр интервалдағы келгендер санының Пуассонға бөлінуі ${ displaystyle textstyle (a + t, b + t]}$ тек интервал ұзындығына байланысты ${ displaystyle textstyle b-a}$.

Басқаша айтқанда, кез-келген ақырғы үшін ${ displaystyle textstyle t> 0}$, кездейсоқ шама ${ displaystyle textstyle N (a + t, b + t]}$ тәуелді емес ${ displaystyle textstyle t}$, сондықтан оны стационарлық Пуассон процесі деп те атайды.^[48]

Үлкен сандар заңы

Саны ${ displaystyle textstyle lambda (b_ {i} -a_ {i})}$ деп күтуге немесе түсіндіруге болады орташа аралықта пайда болатын нүктелер саны ${ displaystyle textstyle (a_ {i}, b_ {i}]}$, атап айтқанда:

${ displaystyle E {N (a_ {i}, b_ {i}] } = lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

қайда ${ displaystyle textstyle E}$ дегенді білдіреді күту оператор. Басқаша айтқанда, параметр ${ displaystyle textstyle lambda}$ Пуассон процесі сәйкес келеді тығыздық ұпай Сонымен қатар, біртекті Пуассон нүктелік процесі үлкен сандар заңының өзіндік формасын ұстанады.^[50] Нақтырақ айтқанда, ықтималдықпен:

${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} { frac {N (t)} {t}} = lambda,}$

қайда ${ displaystyle textstyle lim}$ дегенді білдіреді шектеу функциясының және ${ displaystyle lambda}$ уақыт бірлігінде болған күтілетін келу саны.

Жадсыз мүлік

Нақты сызықтағы нүктелік процестің қатарынан екі нүктесінің арақашықтығы an болады экспоненциалды кездейсоқ шама параметрімен ${ displaystyle textstyle lambda}$ (немесе баламалы, орташа ${ displaystyle textstyle 1 / lambda}$). Бұл нүктелерде бар екенін білдіреді есте жоқ қасиет: шектеулі аралықта болатын бір нүктенің болуы басқа нүктелердің ықтималдығына (таралуына) әсер етпейді,^[51][52] бірақ Пуассон процесі үлкен өлшемді кеңістікте анықталған кезде бұл қасиеттің табиғи баламасы болмайды.^[53]

Реттілік пен қарапайымдылық

Кейде қозғалмайтын өсіммен нүктелік процесс деп аталады тәртіпті^[54] немесе тұрақты егер:^[55]

${ displaystyle P {N (t, t + delta]> 1 } = o ( delta),}$

қайда аз-о белгілері пайдаланылуда. Нүктелік процесс а деп аталады қарапайым нүктелік процесс оның екі нүктесінің кез-келгенінің бірдей жағдайда, негізгі кеңістікте сәйкес келу ықтималдығы нөлге тең болғанда. Жалпы нақты сызықтағы нүктелік процестер үшін тәртіптің қасиеті процестің қарапайым екендігін білдіреді,^[56] бұл біртекті Пуассон нүктелік процесіне қатысты.^[57]

Мартингаланың сипаттамасы

Нақты сызықта біртекті Пуассон нүктелік процесінің теориясымен байланысы бар мартингалдар келесі сипаттама арқылы: нүктелік процесс - бұл біртектес Пуассон нүктелік процесі, егер болса және ол

${ displaystyle N (- infty, t] -t,}$

Мартингал.^[58]

Басқа процестермен байланыс

Нақты сызықта Пуассон процесі үздіксіз уақыттың бір түрі болып табылады Марков процесі а ретінде белгілі туу процесі, ерекше жағдай туылу - өлім процесі (тек туу және нөлдік өліммен).^[59][60] Бар күрделі процестер Марковтың меншігі, сияқты Марковтың келу процестері, онда Пуассон процесі ерекше жағдай болып анықталды.^[46]

Жартылай сызықпен шектелген

Егер біртекті Пуассон процесі тек жарты сызықта қарастырылса ${ displaystyle textstyle [0, infty)}$, бұл кезде болуы мүмкін ${ displaystyle textstyle t}$ уақытты білдіреді^[31] содан кейін алынған процесс аударма кезінде шынымен инвариантты емес.^[53] Бұл жағдайда Пуассон процесі стационарлықтың кейбір анықтамаларына сәйкес стационарлық болмайды.^[27]

Қолданбалар

Кездейсоқ және тәуелсіз болып көрінетін оқиғаларды модельдеу мақсатында біртекті Пуассон процесінің нақты сызықта қолданылуы көп болды. Оның негізгі рөлі бар кезек теориясы, бұл белгілі бір құбылыстардың кездейсоқ келуі мен кетуін бейнелейтін қолайлы стохастикалық модельдерді жасау ықтималдығы өрісі.^[15][46] Мысалы, келіп түскен және қызмет көрсетілетін клиенттерді немесе телефон станциясына келетін телефон қоңырауларын кезек теориясының әдістерімен зерттеуге болады.

Жалпылау

Нақты сызықтағы біртекті Пуассон процесі нүктелердің кездейсоқ сандарын санауға арналған қарапайым стохастикалық процестердің бірі болып саналады.^[61][62] Бұл процесті бірнеше тәсілдермен жалпылауға болады. Мүмкін болатын жалпылаудың бірі - стохастикалық процесті а деп аталатын экспоненциалды үлестіруден басқа үлестірімдерге дейін аралық уақыттың үлестірілуін кеңейту. жаңарту процесі. Тағы бір жалпылау - жазықтық сияқты үлкен өлшемді кеңістіктерде Пуассон нүктесінің процесін анықтау.^[63]

Пуассон кеңістігінің нүктелік процесі

A кеңістіктік Пуассон процесі - жазықтықта анықталған Пуассон нүктелік процесі ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {2}}$.^[58][64] Оның математикалық анықтамасы үшін алдымен шектелген, ашық немесе жабық (немесе дәлірек айтсақ, Борель өлшенеді) аймақ ${ displaystyle textstyle B}$ ұшақтың. Нүктелік процестің нүктелер саны ${ displaystyle textstyle N}$ осы аймақта бар ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {2}}$ деп белгіленетін кездейсоқ шама ${ displaystyle textstyle N (B)}$. Егер нүктелер параметрі бар біртекті Пуассон процесіне жататын болса ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, содан кейін ${ displaystyle textstyle n}$ бар нүктелер ${ displaystyle textstyle B}$ береді:

${ displaystyle P {N (B) = n } = { frac {( lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda | B |}}$

қайда ${ displaystyle textstyle | B |}$ ауданын білдіреді ${ displaystyle textstyle B}$.

Шекті бүтін сан үшін ${ displaystyle textstyle k geq 1}$, біз біртекті Пуассон нүктелік процесінің ақырлы өлшемді үлестірілуін алдымен бөлінбейтін, шектелген Борель жиынтығын (өлшенетін) жиынтығын қарастыра отырып бере аламыз. ${ displaystyle textstyle B_ {1}, нүктелер, B_ {k}}$. Нүктелік процестің нүктелерінің саны ${ displaystyle textstyle N}$ бар ${ displaystyle textstyle B_ {i}}$ деп жазуға болады ${ displaystyle textstyle N (B_ {i})}$. Содан кейін параметрі бар біртекті Пуассон нүктелік процесі ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ ақырлы өлшемді үлестіруге ие:^[65]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, нүктелер, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- lambda | B_ {i} |}.}$

Қолданбалар

Бір статистикалық зерттеуге сәйкес, Австралия қаласындағы ұялы немесе ұялы телефондардың базалық станциялары СиднейЖоғарыда көрсетілген, біртектес Пуассон нүктелік процесінің іске асырылуына ұқсайды, ал әлемнің көптеген басқа қалаларында олар қажет емес және басқа нүктелік процестер қажет.^[66]

Пуассонның кеңістіктегі нүктелік процесі ерекше көрінеді кеңістіктік статистика,^[21][22] стохастикалық геометрия, және перколяцияның үздіксіз теориясы.^[23] Бұл нүктелік процесс әр түрлі физикалық ғылымдарда қолданылады, мысалы, альфа бөлшектері үшін жасалған модель. Соңғы жылдары ол белгілі бір сымсыз байланыс желілерінің кеңістіктік конфигурацияларын модельдеу үшін жиі қолданылады.^[17][18][19] Мысалы, ұялы немесе ұялы телефон желілеріне арналған модельдер әзірленді, мұнда телефон станциясының базалық станциялар деп аталатын таратқыштары біртекті Пуассон нүктелік процесіне сәйкес орналастырылған.

Жоғары өлшемдерде анықталған

Бұрынғы біртекті Пуассон нүктелік процесі аудан түсінігін (үлкен өлшемді) көлеммен ауыстыру арқылы бірден жоғары өлшемдерге таралады. Шектелген аймақ үшін ${ displaystyle textstyle B}$ Евклид кеңістігінің ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, егер нүктелер параметрімен біртекті Пуассон процесін құраса ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, содан кейін ${ displaystyle textstyle n}$ бар нүктелер ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {d}}$ береді:

${ displaystyle P {N (B) = n } = { frac {( lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda | B |}}$

қайда ${ displaystyle textstyle | B |}$ енді ${ displaystyle textstyle d}$- өлшемді көлемі ${ displaystyle textstyle B}$. Сонымен қатар, Borel жиынтығының жиынтығы жоқ ${ displaystyle textstyle B_ {1}, dots, B_ {k} subset { textbf {R}} ^ {d}}$, рұқсат етіңіз ${ displaystyle textstyle N (B_ {i})}$ нүктелерінің санын белгілеңіз ${ displaystyle textstyle N}$ бар ${ displaystyle textstyle B_ {i}}$. Содан кейін параметрі бар біртекті Пуассон нүктесінің процесі ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ ақырлы өлшемді үлестіруге ие:^[67]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, нүктелер, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- lambda | B_ {i} |}.}$

Пуассон нүктесінің біртектес процестері оның параметрі арқылы негізгі кеңістіктің орналасуына тәуелді емес ${ displaystyle textstyle lambda}$Бұл стационарлық процесті (аударуға инвариантты) және изотропты (айналуға инвариантты) стохастикалық процесті білдіреді.^[27] Бір өлшемді жағдайға ұқсас, біртекті нүктелік процесс кейбір шектелген ішкі жиынымен шектелген ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, содан кейін стационарлықтың кейбір анықтамаларына байланысты процесс енді стационарлық болмайды.^[27][53]

Ұпайлар біркелкі бөлінеді

Егер біртекті нүктелік үдеріс нақты сызықта қандай да бір құбылыстың пайда болуының математикалық моделі ретінде анықталса, онда оның осы құбылыстардың немесе оқиғалардың нақты сызықтағы позициялары (көбінесе уақыт деп түсіндіріледі) біркелкі үлестірілетін сипаттамасы бар. Нақтырақ айтқанда, егер оқиға уақыт аралығында пайда болса (осы процеске сәйкес) ${ displaystyle textstyle (a, b]}$ қайда ${ displaystyle textstyle a leq b}$, онда оның орналасуы сол аралықта анықталған біртекті кездейсоқ шама болады.^[65] Сонымен, біртекті нүктелік процесті кейде деп те атайды бірыңғай Пуассон нүктесінің процесі (қараңыз) Терминология). Бұл біртектілік қасиеті декарттық координатаның үлкен өлшемдеріне таралады, бірақ, мысалы, полярлық координаттарда емес.^[68][69]

Пуассон нүктесінің біртекті емес процесі

Нақты сызық бойынша біртекті емес Пуассон нүктелік процесінің графигі. Оқиғалар уақытқа тәуелді жылдамдықпен қара кресттермен белгіленген ${ displaystyle lambda (t)}$ қызылмен белгіленген функциямен беріледі.

The біртекті емес немесе біртекті емес Пуассон нүктесінің процесі (қараңыз Терминология) - бұл Пуассон процесі анықталған негізгі кеңістіктегі орналасуға тәуелді функция ретінде орнатылған Пуассон параметрі бар Пуассон нүктелік процесі. Евклид кеңістігі үшін ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, бұған жергілікті интеграцияланатын оң функцияны енгізу арқылы қол жеткізіледі ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$, қайда ${ displaystyle textstyle x}$ Бұл ${ displaystyle textstyle d}$-де орналасқан өлшемді нүкте ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, кез келген шектелген аймақ үшін ${ displaystyle textstyle B}$ (${ displaystyle textstyle d}$-өлшемді) көлемдік интеграл ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$ аймақ бойынша ${ displaystyle textstyle B}$ ақырлы. Басқаша айтқанда, егер бұл интеграл, деп белгіленсе ${ displaystyle textstyle Lambda (B)}$, бұл:^[44]

${ displaystyle Lambda (B) = int _ {B} lambda (x) , mathrm {d} x < infty,}$

қайда ${ displaystyle textstyle { mathrm {d} x}}$ Бұл (${ displaystyle textstyle d}$-өлшемді) көлемдік элемент,^[c] содан кейін кез-келген жиынтық жиынтығы үшін шектелген Борель өлшенеді жиынтықтар ${ displaystyle textstyle B_ {1}, нүктелер, B_ {k}}$, (интенсивтілігі) функциясы бар біртекті емес Пуассон процесі ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$ ақырлы өлшемді үлестіруге ие:^[67]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, dots, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( Lambda ( B_ {i})) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- Lambda (B_ {i})}.}$

Сонымен қатар, ${ displaystyle textstyle Lambda (B)}$ шекаралас аймақта орналасқан Пуассон процесінің нүктелерінің күтілетін саны деп түсіндіреді ${ displaystyle textstyle B}$, атап айтқанда

${ displaystyle Lambda (B) = E [N (B)].}$

Нақты сызықта анықталған

Нақты сызықта біртекті емес немесе біртектес емес Пуассон нүктелік процесінде бір өлшемді интегралмен берілген орташа өлшем болады. Екі нақты сандар үшін ${ displaystyle textstyle a}$ және ${ displaystyle textstyle b}$, қайда ${ displaystyle textstyle a leq b}$, деп белгілейді ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ интенсивті функциясы бар біртекті емес Пуассон процесінің сандық нүктелері ${ displaystyle textstyle lambda (t)}$ аралығында пайда болады ${ displaystyle textstyle (a, b]}$. Ықтималдығы ${ displaystyle textstyle n}$ жоғарыдағы аралықта бар нүктелер ${ displaystyle textstyle (a, b]}$ береді:

${ displaystyle P {N (a, b] = n } = { frac {[ Lambda (a, b)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- Lambda (a, b) )}.}$

мұндағы орташа немесе қарқындылық өлшемі:

${ displaystyle Lambda (a, b) = int _ {a} ^ {b} lambda (t) , mathrm {d} t,}$

бұл кездейсоқ шама дегенді білдіреді ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ - орташа мәні бар Пуассон кездейсоқ шамасы ${ displaystyle textstyle E {N (a, b] } = Lambda (a, b)}$.

Бір өлшемді параметрдің ерекшелігі, біртекті емес Пуассон процесін біртекті күйге айналдыруға болады. монотонды трансформация немесе картаға түсіруге болады, оған кері мәнге қол жеткізіледі ${ displaystyle textstyle Lambda}$.^[70][71]

Санақ процесін түсіндіру

Пуассон нүктесінің біртекті емес процесі, оң жарты сызықта қарастырылған кезде, кейде санау процесі ретінде де анықталады. Осы интерпретациямен кейде жазылатын процесс ${ displaystyle textstyle {N (t), t geq 0 }}$, уақытқа дейін болған оқиғалар мен оқиғалардың жалпы санын білдіреді ${ displaystyle textstyle t}$. Санақ процесі, егер ол төрт қасиетке ие болса, біртекті емес Пуассонды санау процесі деп аталады:^[34][72]

• ${ displaystyle textstyle N (0) = 0;}$
• бар тәуелсіз өсім;
• ${ displaystyle textstyle P {N (t + h) -N (t) = 1 } = lambda (t) h + o (h);}$ және
• ${ displaystyle textstyle P {N (t + h) -N (t) geq 2 } = o (h),}$

қайда ${ displaystyle textstyle o (h)}$ асимптотикалық немесе аз-о белгілері үшін ${ displaystyle textstyle o (h) / h rightarrow 0}$ сияқты ${ displaystyle textstyle h rightarrow 0}$.Отқа төзімділікпен жүретін нүктелік процестерде (мысалы, жүйке шипалы пойыздары) 4 қасиетінің күштірек нұсқасы қолданылады:^[73] ${ displaystyle P (N (t + h) -N (t) geq 2) = o (h ^ {2})})$.

Жоғарыдағы қасиеттер мұны білдіреді ${ displaystyle textstyle N (t + h) -N (t)}$ параметрі бар Пуассон кездейсоқ шамасы (немесе орташа мәні)

${ displaystyle E [N (t + h) -N (t)] = int _ {t} ^ {t + h} lambda (s) , ds,}$

бұл білдіреді

${ displaystyle E [N (h)] = int _ {0} ^ {h} lambda (s) , ds.}$

Пуассон кеңістігі

Жазықтықта анықталған біртекті емес Пуассон процесі ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {2}}$ а деп аталады кеңістіктік Пуассон процесі^[16] Ол интенсивтік функциясымен анықталады және оның қарқындылығы белгілі бір аймақ бойынша оның интенсивтік функциясының беттік интегралын орындау арқылы алынады.^[20][74] Мысалы, оның қарқындылығы функциясы (декарттық координаталардың функциясы ретінде) ${ textstyle x}$ және ${ displaystyle textstyle y}$) бола алады

${ displaystyle lambda (x, y) = e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})},}$

сондықтан сәйкес қарқындылық өлшемі беттік интегралмен беріледі

${ displaystyle Lambda (B) = int _ {B} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} , mathrm {d} x , mathrm {d} y, }$

қайда ${ displaystyle textstyle B}$ жазықтықтағы кейбір шектелген аймақ ${ textstyle mathbb {R} ^ {2}}$.

Жоғары өлшемдерде

Ұшақта, ${ textstyle Lambda (B)}$ ішінде болған кезде беттік интегралға сәйкес келеді ${ textstyle mathbb {R} ^ {d}}$ интеграл а (${ textstyle d}$-өлшемді) көлемдік интеграл.

Қолданбалар

Нақты сызықты уақыт деп түсіндіргенде, біртекті емес процесс санау өрістерінде және кезек теориясында қолданылады.^[72][75] Біртекті емес Пуассон нүктелік процесі ұсынылған немесе көрінетін құбылыстардың мысалдары:

• Голдар футбол ойында.^[76]
• Электр тізбегіндегі ақаулар^[77]

Жазықтықта Пуассон нүктелік процесі стохастикалық геометрияның сабақтас пәндерінде маңызды^[1][35] және кеңістіктік статистика.^[21][22] Осы нүктелік процестің қарқындылық өлшемі астыңғы кеңістіктің орналасуына тәуелді, демек, оны кейбір аймақтарға байланысты өзгеріп тұратын тығыздықтағы құбылыстарды модельдеу үшін қолдануға болады. Басқаша айтқанда, құбылыстарды орналасуға байланысты тығыздыққа ие нүктелер ретінде ұсынуға болады.^[20] Бұл процестер әр түрлі пәндерде қолданылған және мұхиттардағы лосось пен теңіз биттерін зерттеу,^[78] орман шаруашылығы,^[5] және іздеу проблемалары.^[79]

Қарқындылық функциясын түсіндіру

Пуассон қарқындылығы функциясы ${ textstyle lambda (x)}$ түсінігі бар, интуитивті деп саналады,^[20] дыбыс элементімен ${ textstyle mathrm {d} x}$ шексіз мағынада: ${ textstyle lambda (x) , mathrm {d} x}$ - көлемі бар кеңістік аймағында бар Пуассон нүктесі процесінің нүктесінің шексіз ықтималдығы ${ textstyle mathrm {d} x}$ орналасқан ${ textstyle x}$.^[20]

Мысалы, нақты сызықтағы біртекті Пуассон нүктелік процесі берілгенде, еннің кішігірім интервалында процестің жалғыз нүктесін табу ықтималдығы ${ textstyle delta}$ шамамен ${ textstyle lambda delta x}$. Шын мәнінде, мұндай интуиция - Пуассон нүктелік процесі кейде қалай енгізіліп, оның таралуы.^[80][42][81]

Қарапайым нүктелік процесс

Егер Пуассон нүктелік процесінде интенсивтілік өлшемі болса, ол жергілікті ақырлы және диффузиялық (немесе атомдық емес) болса, онда бұл қарапайым нүктелік процесс. Қарапайым нүктелік процесс үшін нүктенің ықтималдық ықтималдығы бір нүктеде немесе базалық (күй) кеңістіктегі жерде немесе нөлге тең болады. Бұл Пуассон нүктесінің процесінің ықтималдықпен бір, екі (немесе одан да көп) нүктесі негізгі кеңістікте орналасуымен сәйкес келмейтіндігін білдіреді.^[82][18][83]

Модельдеу

Компьютерде Пуассон нүктелік процесін имитациялау, әдетте, модельдеу деп аталатын кеңістіктің шектелген аймағында жасалады терезе, және екі қадамды қажет етеді: сәйкесінше кездейсоқ нүктелер санын құру, содан кейін нүктелерді кездейсоқ түрде орналастыру. Бұл екі қадам да имитацияланатын нақты Пуассон нүктесінің процесіне байланысты.^[84][85]

1-қадам: Ұпай саны

Ұпай саны ${ textstyle N}$ терезеде, мұнда көрсетілген ${ textstyle W}$, модельдеу керек, ол (жалған) көмегімен жасалады -кездейсоқ санды құру Пуассон кездейсоқ шамаларын модельдеуге қабілетті функция.

Біртекті жағдай

Тұрақтылығы бар біртекті жағдай үшін ${ textstyle lambda}$, Пуассон кездейсоқ шамасының орташа мәні ${ textstyle N}$ орнатылған ${ textstyle lambda | W |}$ қайда ${ textstyle | W |}$ ұзындығы, ауданы немесе (${ textstyle d}$-өлшемді) көлемі ${ textstyle W}$.

Біртекті емес жағдай

Біртекті емес жағдай үшін, ${ textstyle lambda | W |}$ ауыстырылады (${ textstyle d}$-өлшемді) көлемдік интеграл

${ displaystyle Lambda (W) = int _ {W} lambda (x) , mathrm {d} x}$

2-қадам: Ұпайларды орналастыру

Екінші саты кездейсоқ орналастыруды қажет етеді ${ displaystyle textstyle N}$ терезедегі сілтемелер ${ displaystyle textstyle W}$.

Біртекті жағдай

Бір өлшемдегі біртекті жағдай үшін барлық нүктелер терезеге немесе интервалға біркелкі және тәуелсіз орналастырылған ${ displaystyle textstyle W}$. Декарттық координаттар жүйесіндегі үлкен өлшемдер үшін әр координат терезеге біркелкі және тәуелсіз орналастырылған ${ displaystyle textstyle W}$. Егер терезе декарттық кеңістіктің кіші кеңістігі болмаса (мысалы, бірлік сфераның ішінде немесе бірлік сфераның бетінде), онда нүктелер біркелкі орналастырылмайды ${ displaystyle textstyle W}$және координаталардың сәйкесінше өзгеруі қажет (декарттан).^[84]

Біртекті емес жағдай

Біртекті емес үшін, интенсивтілік функциясының сипатына байланысты бірнеше түрлі әдістерді қолдануға болады ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$.^[84] Егер қарқындылық функциясы жеткілікті қарапайым болса, онда нүктелердің тәуелсіз және кездейсоқ біркелкі емес (декарттық немесе басқа) координаталарын құруға болады. Мысалы, Пуассон нүктесінің процесін дөңгелек терезеде модельдеуді изотропты қарқындылық функциясы үшін жасауға болады (полярлық координаттарда ${ displaystyle textstyle r}$ және ${ displaystyle textstyle theta}$), бұл айналмалы нұсқаға тәуелді немесе тәуелді емес ${ displaystyle textstyle theta}$ бірақ тәуелді ${ displaystyle textstyle r}$, in айнымалысының өзгеруі бойынша ${ displaystyle textstyle r}$ егер қарқындылық функциясы жеткілікті қарапайым болса.^[84]

Интенсивтіліктің күрделірек функциялары үшін қабылдау-қабылдамау әдісіол тек белгілі бір кездейсоқ нүктелерді пайдаланудан (немесе «қабылдаудан») және басқа ұпайларды пайдаланудан (немесе «қабылдамаудан») тұрады:^[86]

${ displaystyle { frac { lambda (x_ {i})} { Lambda (W)}} = { frac { lambda (x_ {i})} { int _ {W} lambda (x) , mathrm {d} x.}}}$

қайда ${ displaystyle textstyle x_ {i}}$ қабылдау немесе қабылдамау үшін қарастырылатын мәселе.

Жалпы Пуассон нүктелік процесі

Пуассон нүктелік процесін одан әрі жалпылауға болады, кейде деп аталады жалпы Пуассон нүктелік процесі^[20][87] немесе жалпы Пуассон процесі^[74] радон өлшемін қолдану арқылы ${ displaystyle textstyle Lambda}$, бұл жергілікті шектеулі шара. Жалпы, бұл радондық шара ${ displaystyle textstyle Lambda}$ атомдық болуы мүмкін, демек Пуассон нүктелік процесінің бірнеше нүктелері негізгі кеңістіктің бірдей орналасуында болуы мүмкін. Бұл жағдайда нүктелер саны ${ displaystyle textstyle x}$ - орташа мәні бар Пуассон кездейсоқ шамасы ${ displaystyle textstyle Lambda ({x})}$.^[87] Бірақ кейде керісінше деп болжанады, сондықтан Радон өлшейді ${ displaystyle textstyle Lambda}$ болып табылады диффузиялық немесе атомдық емес.^[20]

Нүктелік процесс ${ displaystyle textstyle {N}}$ қарқындылығы бар жалпы Пуассон нүктелік процесі ${ displaystyle textstyle Lambda}$ егер ол келесі екі қасиетке ие болса:^[20]

• шектелген Борель жиынтығындағы нүктелер саны ${ displaystyle textstyle B}$ - орташа мәні бар Пуассон кездейсоқ шамасы ${ displaystyle textstyle Lambda (B)}$. Басқаша айтқанда, орналасқан нүктелердің жалпы санын белгілеңіз ${ displaystyle textstyle B}$ арқылы ${ displaystyle textstyle {N} (B)}$, содан кейін кездейсоқ шаманың ықтималдығы ${ displaystyle textstyle {N} (B)}$ тең ${ displaystyle textstyle n}$ береді:

${ displaystyle P {{N} (B) = n } = { frac {( Lambda (B)) ^ {n}} {n!}} e ^ {- Lambda (B)}}$

• ұпай саны ${ displaystyle textstyle n}$ Борель формаларын белгілейді ${ displaystyle textstyle n}$ тәуелсіз кездейсоқ шамалар.

Радон өлшемі ${ displaystyle textstyle Lambda}$ нүктелердің болжамды саны ретінде өзінің бұрынғы интерпретациясын сақтайды ${ displaystyle textstyle {N}}$ шектелген аймақта орналасқан ${ displaystyle textstyle B}$, атап айтқанда

${ displaystyle Lambda (B) = E [{N} (B)].}$

Сонымен қатар, егер ${ displaystyle textstyle Lambda}$ тығыздығы болатындай абсолютті үздіксіз (бұл Радон-Никодим тығыздығы немесе туынды) Лебег шарасына қатысты, содан кейін барлық Борель жиынтықтары үшін ${ displaystyle textstyle B}$ оны былай жазуға болады:

${ displaystyle Lambda (B) = int _ {B} lambda (x) , mathrm {d} x,}$

тығыздық қайда ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$ басқа терминдермен қатар, қарқындылық функциясы ретінде белгілі.

Тарих

Пуассонның таралуы

Пуассонның атауына қарамастан, француз математигі оны ашқан да, зерттеген де жоқ Симеон Денис Пуассон; атау мысал ретінде келтірілген Стиглер заңы.^[13][14] Бұл атау оның Пуассонның таралуы, Пуассонның шектеулі жағдайы ретінде алынған биномдық тарату.^[88] Бұл сипаттайды ықтималдық қосындысының ${ displaystyle textstyle n}$ Бернулли сынақтары ықтималдықпен ${ displaystyle textstyle p}$, often likened to the number of heads (or tails) after ${ displaystyle textstyle n}$ біржақты аударады of a coin with the probability of a head (or tail) occurring being ${displaystyle extstyle p}$. For some positive constant ${displaystyle extstyle Lambda >0}$, сияқты ${ displaystyle textstyle n}$ increases towards infinity and ${displaystyle extstyle p}$ decreases towards zero such that the product ${displaystyle extstyle np=Lambda }$ is fixed, the Poisson distribution more closely approximates that of the binomial.^[89]

Poisson derived the Poisson distribution, published in 1841, by examining the binomial distribution in the шектеу туралы ${displaystyle extstyle p}$ (to zero) and ${ displaystyle textstyle n}$ (to infinity). It only appears once in all of Poisson's work,^[90] and the result was not well known during his time. Over the following years a number of people used the distribution without citing Poisson, including Филипп Людвиг фон Зайдель және Эрнст Аббе.^[91][13] Соңында 19 ғасыр, Ладислаус Борткевич would study the distribution again in a different setting (citing Poisson), using the distribution with real data to study the number of deaths from horse kicks in the Пруссия әскері.^[88][92]

Ашу

There are a number of claims for early uses or discoveries of the Poisson point process.^[13][14] Мысалға, Джон Мишель in 1767, a decade before Poisson was born, was interested in the probability a star being within a certain region of another star under the assumption that the stars were "scattered by mere chance", and studied an example consisting of the six brightest жұлдыздар ішінде Плеиадалар, without deriving the Poisson distribution. This work inspired Саймон Ньюком to study the problem and to calculate the Poisson distribution as an approximation for the binomial distribution in 1860.^[14]

At the beginning of the 20th century the Poisson process (in one dimension) would arise independently in different situations.^[13][14] In Sweden 1903, Filip Lundberg жарияланған тезис containing work, now considered fundamental and pioneering, where he proposed to model insurance claims with a homogeneous Poisson process.^[93][94]

Жылы Дания in 1909 another discovery occurred when А.К. Эрланг derived the Poisson distribution when developing a mathematical model for the number of incoming phone calls in a finite time interval. Erlang was not at the time aware of Poisson's earlier work and assumed that the number phone calls arriving in each interval of time were independent to each other. He then found the limiting case, which is effectively recasting the Poisson distribution as a limit of the binomial distribution.^[13]

1910 жылы Эрнест Резерфорд және Ганс Гейгер published experimental results on counting alpha particles. Their experimental work had mathematical contributions from Harry Bateman, who derived Poisson probabilities as a solution to a family of differential equations, though the solution had been derived earlier, resulting in the independent discovery of the Poisson process.^[13] After this time there were many studies and applications of the Poisson process, but its early history is complicated, which has been explained by the various applications of the process in numerous fields by biologists, ecologists, engineers and various physical scientists.^[13]

Ерте өтінімдер

The years after 1909 led to a number of studies and applications of the Poisson point process, however, its early history is complex, which has been explained by the various applications of the process in numerous fields by биологтар, экологтар, инженерлер and others working in the физика ғылымдары. The early results were published in different languages and in different settings, with no standard terminology and notation used.^[13] For example, in 1922 Швед химик және Нобель сыйлығының лауреаты Теодор Сведберг proposed a model in which a spatial Poisson point process is the underlying process in order to study how plants are distributed in plant communities.^[95] A number of mathematicians started studying the process in the early 1930s, and important contributions were made by Андрей Колмогоров, Уильям Феллер және Aleksandr Khinchin,^[13] басқалардың арасында.^[96] Өрісінде teletraffic engineering, mathematicians and statisticians studied and used Poisson and other point processes.^[97]

History of terms

Швед Конни Палм in his 1943 диссертация studied the Poisson and other point processes in the one-dimensional setting by examining them in terms of the statistical or stochastic dependence between the points in time.^[98][97] In his work exists the first known recorded use of the term нүктелік процестер сияқты Punktprozesse неміс тілінде.^[98][14]

Оған сенеді ^[13] that William Feller was the first in print to refer to it as the Пуассон процесі in a 1940 paper. Although the Swede Ove Lundberg used the term Пуассон процесі in his 1940 PhD dissertation,^[14] in which Feller was acknowledged as an influence,^[99] it has been claimed that Feller coined the term before 1940.^[89] It has been remarked that both Feller and Lundberg used the term as though it were well-known, implying it was already in spoken use by then.^[14] Feller worked from 1936 to 1939 alongside Харальд Крамер кезінде Стокгольм университеті, where Lundberg was a PhD student under Cramér who did not use the term Пуассон процесі in a book by him, finished in 1936, but did in subsequent editions, which his has led to the speculation that the term Пуассон процесі was coined sometime between 1936 and 1939 at the Stockholm University.^[14]

Терминология

The terminology of point process theory in general has been criticized for being too varied.^[14] In addition to the word нүкте often being omitted,^[63][2] the homogeneous Poisson (point) process is also called a стационарлық Poisson (point) process,^[48] Сонымен қатар бірыңғай Poisson (point) process.^[43] The inhomogeneous Poisson point process, as well as being called nonhomogeneous,^[48] is also referred to as the non-stationary Poisson process.^[72][100]

Термин нүктелік процесс has been criticized, as the term процесс can suggest over time and space, so random point field,^[101] resulting in the terms Poisson random point field немесе Poisson point field being also used.^[102] A point process is considered, and sometimes called, a random counting measure,^[103] hence the Poisson point process is also referred to as a Poisson random measure,^[104] a term used in the study of Lévy processes,^[104][105] but some choose to use the two terms for Poisson points processes defined on two different underlying spaces.^[106]

The underlying mathematical space of the Poisson point process is called a carrier space,^[107][108] немесе state space, though the latter term has a different meaning in the context of stochastic processes. Нүктелік процестердің контекстінде «мемлекеттік кеңістік» термині нақты сызық сияқты нүктелік процесс анықталған кеңістікті,^[109][110] which corresponds to the index set^[111] or parameter set^[112] in stochastic process terminology.

The measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ деп аталады қарқындылық өлшемі,^[113] mean measure,^[38] немесе parameter measure,^[67] as there are no standard terms.^[38] Егер ${displaystyle extstyle Lambda }$ has a derivative or density, denoted by ${displaystyle extstyle lambda (x)}$, is called the intensity function of the Poisson point process.^[20] For the homogeneous Poisson point process, the derivative of the intensity measure is simply a constant ${displaystyle extstyle lambda >0}$, which can be referred to as the ставка,usually when the underlying space is the real line, or the қарқындылық.^[43] Ол сондай-ақ деп аталады mean rate немесе mean density^[114] немесе ставка .^[34] Үшін ${displaystyle extstyle lambda =1}$, the corresponding process is sometimes referred to as the standard Poisson (point) process.^{[44][58][115]}

The extent of the Poisson point process is sometimes called the экспозиция.^[116][117]

Ескерту

The notation of the Poisson point process depends on its setting and the field it is being applied in. For example, on the real line, the Poisson process, both homogeneous or inhomogeneous, is sometimes interpreted as a counting process, and the notation ${displaystyle extstyle {N(t),tgeq 0}}$ is used to represent the Poisson process.^[31][34]

Another reason for varying notation is due to the theory of point processes, which has a couple of mathematical interpretations. For example, a simple Poisson point process may be considered as a random set, which suggests the notation ${displaystyle extstyle xin {N}}$, бұл дегеніміз ${displaystyle extstyle x}$ is a random point belonging to or being an element of the Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$. Another, more general, interpretation is to consider a Poisson or any other point process as a random counting measure, so one can write the number of points of a Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$ being found or located in some (Borel measurable) region ${displaystyle extstyle B}$ сияқты ${displaystyle extstyle {N}(B)}$, which is a random variable. These different interpretations results in notation being used from mathematical fields such as measure theory and set theory.^[118]

For general point processes, sometimes a subscript on the point symbol, for example ${displaystyle extstyle x}$, is included so one writes (with set notation) ${displaystyle extstyle x_{i}in {N}}$ орнына ${displaystyle extstyle xin {N}}$, және ${displaystyle extstyle x}$ can be used for the dummy variable in integral expressions such as Campbell's theorem, instead of denoting random points.^[18] Sometimes an uppercase letter denotes the point process, while a lowercase denotes a point from the process, so, for example, the point ${displaystyle extstyle x}$ немесе ${displaystyle extstyle x_{i}}$ belongs to or is a point of the point process ${ displaystyle textstyle X}$, and be written with set notation as ${displaystyle extstyle xin X}$ немесе ${displaystyle extstyle x_{i}in X}$.^[110]

Furthermore, the set theory and integral or measure theory notation can be used interchangeably. For example, for a point process ${ displaystyle textstyle N}$ defined on the Euclidean state space ${displaystyle extstyle {{ extbf {R}}^{d}}}$ and a (measurable) function ${displaystyle extstyle f}$ қосулы ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ , өрнек

${displaystyle int _{{ extbf {R}}^{d}}f(x),mathrm {d} N(x)=sum limits _{x_{i}in N}f(x_{i}),}$

demonstrates two different ways to write a summation over a point process (see also Campbell's theorem (probability)). More specifically, the integral notation on the left-hand side is interpreting the point process as a random counting measure while the sum on the right-hand side suggests a random set interpretation.^[118]

Functionals and moment measures

In probability theory, operations are applied to random variables for different purposes. Sometimes these operations are regular expectations that produce the average or variance of a random variable. Others, such as characteristic functions (or Laplace transforms) of a random variable can be used to uniquely identify or characterize random variables and prove results like the central limit theorem.^[119] In the theory of point processes there exist analogous mathematical tools which usually exist in the forms of measures and functionals instead of moments and functions respectively.^[120][121]

Laplace functionals

For a Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$ with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$, Laplace functional береді:^[18]

${displaystyle L_{N}(f)=e^{-int _{{ extbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)})Lambda (mathrm {d} x)},}$

${displaystyle L_{N}(f)=e^{-lambda int _{{ extbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)}),mathrm {d} x}.}$

Бір нұсқасы Campbell's theorem involves the Laplace functional of the Poisson point process.

Probability generating functionals

The probability generating function of non-negative integer-valued random variable leads to the probability generating functional being defined analogously with respect to any non-negative bounded function ${displaystyle extstyle v}$ қосулы ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ осындай ${displaystyle extstyle 0leq v(x)leq 1}$. For a point process ${displaystyle extstyle {N}}$ the probability generating functional is defined as:^[122]

${displaystyle G(v)=Eleft[prod _{xin N}v(x) ight]}$

where the product is performed for all the points in ${displaystyle extstyle {N}}$. If the intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ туралы ${displaystyle extstyle {N}}$ is locally finite, then the ${displaystyle extstyle G}$ is well-defined for any measurable function ${ displaystyle textstyle u}$ қосулы ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$. For a Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ the generating functional is given by:

${displaystyle G(v)=e^{-int _{{ extbf {R}}^{d}}[1-v(x)],Lambda (mathrm {d} x)},}$

which in the homogeneous case reduces to

${displaystyle G(v)=e^{-lambda int _{{ extbf {R}}^{d}}[1-v(x)],mathrm {d} x}.}$

Moment measure

For a general Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ бірінші moment measure is its intensity measure:^[18][19]

${displaystyle M^{1}(B)=Lambda (B),}$

which for a homogeneous Poisson point process with тұрақты қарқындылық ${displaystyle extstyle lambda }$ білдіреді:

${displaystyle M^{1}(B)=lambda |B|,}$

қайда ${displaystyle extstyle |B|}$ is the length, area or volume (or more generally, the Лебег шарасы) of ${displaystyle extstyle B}$.

The Mecke equation

The Mecke equation characterizes the Poisson point process. Келіңіздер ${displaystyle mathbb {N} _{sigma }}$ be the space of all ${ displaystyle sigma}$-finite measures on some general space ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$. A point process ${ displaystyle eta}$ қарқындылықпен ${ displaystyle lambda}$ қосулы ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ is a Poisson point process if and only if for all measurable functions ${displaystyle f:{mathcal {Q}} imes mathbb {N} _{sigma } o mathbb {R} _{+}}$ the following holds

${displaystyle operatorname {E} left[int f(x,eta )eta (mathrm {d} x) ight]=int operatorname {E} left[f(x,eta +delta _{x}) ight]lambda (mathrm {d} x)}$

Толығырақ ақпаратты мына жерден қараңыз ^[123].

Factorial moment measure

For a general Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ The ${ displaystyle textstyle n}$-шы factorial moment measure is given by the expression:^[124]

${displaystyle M^{(n)}(B_{1} imes cdots imes B_{n})=prod _{i=1}^{n}[Lambda (B_{i})],}$

қайда ${displaystyle extstyle Lambda }$ is the intensity measure or first moment measure of ${displaystyle extstyle {N}}$, which for some Borel set ${displaystyle extstyle B}$ арқылы беріледі

${displaystyle Lambda (B)=M^{1}(B)=E[N(B)].}$

For a homogeneous Poisson point process the ${ displaystyle textstyle n}$-th factorial moment measure is simply:^[18][19]

${displaystyle M^{(n)}(B_{1} imes cdots imes B_{n})=lambda ^{n}prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

қайда ${displaystyle extstyle |B_{i}|}$ is the length, area, or volume (or more generally, the Лебег шарасы) of ${displaystyle extstyle B_{i}}$. Сонымен қатар ${ displaystyle textstyle n}$-th factorial moment density is:^[124]

${displaystyle mu ^{(n)}(x_{1},dots ,x_{n})=lambda ^{n}.}$

Avoidance function

The avoidance function ^[69] немесе void probability ^[118] ${displaystyle extstyle v}$ of a point process ${displaystyle extstyle {N}}$ is defined in relation to some set ${displaystyle extstyle B}$, which is a subset of the underlying space ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, as the probability of no points of ${displaystyle extstyle {N}}$ бар ${displaystyle extstyle B}$. Дәлірек айтсақ,^[125] for a test set ${displaystyle extstyle B}$, the avoidance function is given by:

${displaystyle v(B)=P({N}(B)=0).}$

For a general Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$ with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$, its avoidance function is given by:

${displaystyle v(B)=e^{-Lambda (B)}}$

Rényi's theorem

Simple point processes are completely characterized by their void probabilities.^[126] In other words, complete information of a simple point process is captured entirely in its void probabilities, and two simple point processes have the same void probabilities if and if only if they are the same point processes. The case for Poisson process is sometimes known as Rényi's theorem, which is named after Альфред Рении who discovered the result for the case of a homogeneous point process in one-dimension.^[127]

In one form,^[127] the Rényi's theorem says for a diffuse (or non-atomic) Radon measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ қосулы ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ and a set ${displaystyle extstyle A}$ is a finite union of rectangles (so not Borel^[d]) that if ${displaystyle extstyle {N}}$ is a countable subset of ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ осылай:

${displaystyle P({N}(A)=0)=v(A)=e^{-Lambda (A)}}$

содан кейін ${displaystyle extstyle {N}}$ is a Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$.

Point process operations

Mathematical operations can be performed on point processes in order to get new point processes and develop new mathematical models for the locations of certain objects. One example of an operation is known as thinning which entails deleting or removing the points of some point process according to a rule, creating a new process with the remaining points (the deleted points also form a point process).^[129]

Жіңішке

For the Poisson process, the independent ${displaystyle extstyle p(x)}$-thinning operations results in another Poisson point process. More specifically, a ${displaystyle extstyle p(x)}$-thinning operation applied to a Poisson point process with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda }$ gives a point process of removed points that is also Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}_{p}}$ with intensity measure ${displaystyle extstyle Lambda _{p}}$, which for a bounded Borel set ${displaystyle extstyle B}$ береді:

${displaystyle Lambda _{p}(B)=int _{B}p(x),Lambda (mathrm {d} x)}$

This thinning result of the Poisson point process is sometimes known as Prekopa's theorem.^[130] Furthermore, after randomly thinning a Poisson point process, the kept or remaining points also form a Poisson point process, which has the intensity measure

${displaystyle Lambda _{p}(B)=int _{B}(1-p(x)),Lambda (mathrm {d} x).}$

The two separate Poisson point processes formed respectively from the removed and kept points are stochastically independent of each other.^[129] In other words, if a region is known to contain ${ displaystyle textstyle n}$ kept points (from the original Poisson point process), then this will have no influence on the random number of removed points in the same region. This ability to randomly create two independent Poisson point processes from one is sometimes known as бөлу ^[131][132] the Poisson point process.

Суперпозиция

If there is a countable collection of point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$, then their superposition, or, in set theory language, their union, which is^[133]

${displaystyle {N}=igcup _{i=1}^{infty }{N}_{i},}$

also forms a point process. In other words, any points located in any of the point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$ will also be located in the superposition of these point processes ${displaystyle extstyle {N}}$.

Superposition theorem

The superposition theorem of the Poisson point process says that the superposition of independent Poisson point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$ with mean measures ${displaystyle extstyle Lambda _{1},Lambda _{2},dots }$ will also be a Poisson point process with mean measure^[134][89]

${displaystyle Lambda =sum _{i=1}^{infty }Lambda _{i}.}$

In other words, the union of two (or countably more) Poisson processes is another Poisson process. Егер нүкте болса ${ textstyle x}$ is sampled from a countable ${ textstyle n}$ union of Poisson processes, then the probability that the point ${displaystyle extstyle x}$ тиесілі ${ extstyle j}$th Poisson process ${ extstyle N_{j}}$ береді:

${displaystyle P(xin N_{j})={frac {Lambda _{j}}{sum _{i=1}^{n}Lambda _{i}}}.}$

For two homogeneous Poisson processes with intensities ${ extstyle lambda _{1},lambda _{2}dots }$, the two previous expressions reduce to

${displaystyle lambda =sum _{i=1}^{infty }lambda _{i},}$

және

${displaystyle P(xin {N}_{j})={frac {lambda _{j}}{sum _{i=1}^{n}lambda _{i}}}.}$

Кластерлеу

The operation clustering is performed when each point ${displaystyle extstyle x}$ of some point process ${displaystyle extstyle {N}}$ is replaced by another (possibly different) point process. If the original process ${displaystyle extstyle {N}}$ is a Poisson point process, then the resulting process ${displaystyle extstyle {N}_{c}}$ is called a Poisson cluster point process.

Random displacement

A mathematical model may require randomly moving points of a point process to other locations on the underlying mathematical space, which gives rise to a point process operation known as displacement ^[135] or translation.^[136] The Poisson point process has been used to model, for example, the movement of plants between generations, owing to the displacement theorem,^[135] which loosely says that the random independent displacement of points of a Poisson point process (on the same underlying space) forms another Poisson point process.

Displacement theorem

One version of the displacement theorem^[135] involves a Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}}$ қосулы ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ with intensity function ${displaystyle extstyle lambda (x)}$. It is then assumed the points of ${displaystyle extstyle {N}}$ are randomly displaced somewhere else in ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ so that each point's displacement is independent and that the displacement of a point formerly at ${displaystyle extstyle x}$ is a random vector with a probability density ${displaystyle extstyle ho (x,cdot )}$.^[e] Then the new point process ${displaystyle extstyle {N}_{D}}$ is also a Poisson point process with intensity function

${displaystyle lambda _{D}(y)=int _{{ extbf {R}}^{d}}lambda (x) ho (x,y),mathrm {d} x.}$

If the Poisson process is homogeneous with ${displaystyle extstyle lambda (x)=lambda >0}$ және егер ${displaystyle ho (x,y)}$ функциясы болып табылады ${displaystyle y-x}$, содан кейін

${displaystyle lambda _{D}(y)=lambda .}$

In other words, after each random and independent displacement of points, the original Poisson point process still exists.

The displacement theorem can be extended such that the Poisson points are randomly displaced from one Euclidean space ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ to another Euclidean space ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d '}}$, қайда ${ displaystyle textstyle d ' geq 1}$ міндетті түрде тең емес ${ displaystyle textstyle d}$.^[18]

Картаға түсіру

Пайдалы деп саналатын тағы бір қасиет - Пуассон нүктесінің процесін негізгі кеңістіктен екінші кеңістікке бейнелеу мүмкіндігі.^[137]

Картаға түсіру теоремасы

Егер картаға түсіру (немесе түрлендіру) кейбір шарттарды ұстанатын болса, онда пайда болған (немесе түрлендірілген) нүктелер жиынтығы да Пуассон нүктесінің процесін құрайды және бұл нәтиже кейде «деп аталады картаға түсіру теоремасы.^[137][138] Теорема Пуассон нүктелік процесін орташа өлшеммен қамтиды ${ displaystyle textstyle Lambda}$ кейбір кеңістікте. Егер нүктелердің орналасуы кейбір функцияға сәйкес басқа кеңістікке сәйкес келсе (яғни нүктелік процесс өзгерсе), онда алынған нүктелік процесс сонымен қатар Пуассон нүктелік процесс болады, бірақ орташа өлшемі басқа ${ displaystyle textstyle Lambda '}$.

Нақтырақ айтқанда, (Borel өлшенетін) функциясын қарастыруға болады ${ displaystyle textstyle f}$ нүктелік процесті бейнелейді ${ displaystyle textstyle {N}}$ қарқындылық өлшемімен ${ displaystyle textstyle Lambda}$ бір кеңістіктен ${ displaystyle textstyle S}$, басқа кеңістікке ${ displaystyle textstyle T}$ жаңа нүкте процесі болатындай етіп ${ displaystyle textstyle {N} '}$ қарқындылық өлшемі бар:

${ displaystyle Lambda (B) '= Lambda (f ^ {- 1} (B))}$

атомсыз, қайда ${ displaystyle textstyle B}$ бұл Borel жиынтығы және ${ displaystyle textstyle f ^ {- 1}}$ функцияның кері мәнін білдіреді ${ displaystyle textstyle f}$. Егер ${ displaystyle textstyle {N}}$ бұл Пуассон нүктесі процесі, содан кейін жаңа процесс ${ displaystyle textstyle {N} '}$ сонымен қатар интенсивтілік өлшемімен Пуассон нүктелік процесі ${ displaystyle textstyle Lambda '}$.

Пуассон нүктелік процестерімен жуықтау

Пуассон процесінің тартымдылығы кейде Пуассон емес нүктелік процесті Пуассонмен жақындастыру ыңғайлы болатындығын білдіреді. Жалпы мақсат - кейбір нүктелік процестің екі нүктесінің санын және әр нүктенің орналасуын Пуассон нүктелік процесі бойынша жуықтау.^[139] Бейресми немесе қатаң түрде кездейсоқ оқиғалардың немесе құбылыстардың пайда болуын Пуассон нүктелік процестерімен жақындату үшін қолдануға болатын бірқатар әдістер бар. Неғұрлым қатаң әдістерге Пуассон мен Пуассон емес нүктелік процестер арасындағы ықтималдық көрсеткіштерінің жоғарғы шектерін алу кіреді, ал басқа әдістерді формальды емес эвристика дәлелдейді.^[140]

Эвристикалық

Кездейсоқ оқиғаларды немесе құбылыстарды Пуассон процестерімен жуықтаудың бір әдісі деп аталады шоғырланған эвристикалық.^[141] Жалпы эвристикалық немесе принципке Пуассон нүктелік процесін (немесе Пуассонның таралуын) кейбір стохастикалық процестің сирек немесе ықтималды деп саналатын оқиғаларын жуықтау үшін қолдану жатады. Кейбір жағдайларда бұл сирек оқиғалар тәуелсіз болуға жақын, сондықтан Пуассон нүктесінің процесін қолдануға болады. Оқиғалар тәуелсіз болмаса, бірақ кластерлерде пайда болуға бейім немесе үйінділер, егер бұл шоғырлар шамамен бір-біріне тәуелді болмайтындай анықталса, онда пайда болатын шоғырлар саны Пуассон кездейсоқ шамасына жақын болады ^[140] және үйінділердің орналасуы Пуассон процесіне жақын болады.^[141]

Штейн әдісі

Штейн әдісі сияқты кездейсоқ шамаларды жуықтау үшін бастапқыда жасалған математикалық әдіс Гаусс және Poisson айнымалылары, олар нүктелік процестерге де қолданылды. Стейн әдісін жоғарғы шектерді шығару үшін пайдалануға болады ықтималдық көрсеткіштері, бұл кездейсоқ екі математикалық объектінің стохастикалық тұрғыдан қалай өзгеретінін сандық бағалауға мүмкіндік береді.^[139][142] Сияқты ықтималдық көрсеткіштерінен жоғары жалпы вариация және Вассерштейн арақашықтық алынған.^[139]

Зерттеушілер Штейн әдісін Пуассон нүктелік процестеріне бірнеше тәсілдермен қолданды,^[139] пайдалану сияқты Пальма есептеу.^[108] Штайн әдісіне негізделген әдістер белгілі бір әсерді жоғарғы шекарада айқындау үшін жасалған нүктелік процесс операциялары жұқару және суперпозиция сияқты.^[143][144] Штайн әдісі сонымен қатар Пуассонның және басқа сияқты процестердің метрикаларына жоғарғы шекараларды алу үшін қолданылды Кокс нүктесінің процесі, бұл кездейсоқ қарқындылық өлшемі бар Пуассон процесі.^[139]

Пуассон нүктелік процесінің конвергенциясы

Жалпы, операция жалпы нүктелік процеске қолданылған кезде, нәтижесінде пайда болатын процесс әдетте Пуассон нүктелік процесс емес. Мысалы, егер Пуассоннан басқа нүктелік процестің нүктелері кездейсоқ және дербес орын ауыстыратын болса, онда процесс міндетті түрде Пуассонның нүктелік процесі болмайды. Алайда, белгілі бір математикалық шарттарда бастапқы нүктелік процесс үшін де, кездейсоқ ығысу үшін де шектік теоремалар арқылы көрсетілген, егер нүктелік процестің нүктелері кездейсоқ және тәуелсіз түрде бірнеше рет орын ауыстырса, онда нүктенің ақырғы үлестірімі процесс Пуассон нүктесінің процесіне жақындайды (әлсіз).^[145]

Ұқсас конвергенция нәтижелері жұқару және суперпозиция операциялары үшін жасалған^[145] нүктелік процестердегі мұндай қайталанатын операциялар белгілі бір жағдайда қарқындылық өлшемін сәйкес қайта қалпына келтіруді қамтамасыз ететін белгілі бір жағдайда процестің Пуассондық нүктелік процестерге айналуына әкелуі мүмкін екенін көрсететін (әйтпесе алынған нүктелік процестердің интенсивтік өлшемінің мәндері нөлге жақындаған немесе шексіздік). Мұндай конвергенция жұмысы Пальма-Хинчин деп аталатын нәтижелермен тікелей байланысты^[f] жұмысынан бастау алатын теңдеулер Конни Палм және Александр Хинчин,^[147] және неге Пуассон процесін әртүрлі кездейсоқ құбылыстардың математикалық моделі ретінде қолдануға болатындығын түсіндіруге көмектеседі.^[145]

Пуассонның нүктелік процестерін жалпылау

Пуассон нүктесінің процесін, мысалы, оның интенсивтік өлшемін өзгерту немесе жалпы математикалық кеңістікте анықтау арқылы жалпылауға болады. Бұл жалпылауды математикалық тұрғыдан зерттеуге болады, сонымен қатар физикалық құбылыстарды математикалық модельдеу немесе бейнелеу үшін қолдануға болады.

Пуассон типіндегі кездейсоқ шаралар

The Пуассон типіндегі кездейсоқ шаралар (PT) - бұл үш кеңістіктік санау шаралары, олар ішкі кеңістікпен шектелген, яғни астында жабық Нүктелік_өңдеу_операциясы # Жіңішке. Бұл кездейсоқ өлшемдер аралас биномдық процесс және үлестірімділік өзіндік ұқсастық қасиетін бөлісу Пуассон кездейсоқ шарасы. Олар осы қасиетке ие және қосуға болатын канондық теріс емес дәрежелік тарату отбасының жалғыз мүшелері Пуассонның таралуы, биномдық теріс таралу, және биномдық тарату. Пуассон кездейсоқ өлшемі бөлінген ішкі кеңістіктерге тәуелсіз, ал қалған PT кездейсоқ өлшемдері (теріс биномдық және биномдық) оң және теріс ковариацияларға ие. PT кездейсоқ шаралары талқыланады^[148] және қамтиды Пуассон кездейсоқ шарасы, теріс биномдық кездейсоқ шара және биномдық кездейсоқ шара.

Пуассон нүктесінің процестері жалпы кеңістіктерде

Математикалық модельдер үшін Пуассон нүктесінің процесі көбінесе Евклид кеңістігінде анықталады,^[1][38] бірақ абстрактілі кеңістіктерге жалпыланған және кездейсоқ шараларды зерттеуде іргелі рөл атқарады,^[149][150] бұл ықтималдықтар теориясы, өлшемдер теориясы және топология сияқты математикалық өрістерді түсінуді қажет етеді.^[151]

Жалпы, қашықтық ұғымы қосымшалар үшін практикалық қызығушылық туғызады, ал топологиялық құрылым Пальмалардың үлестірілуі үшін қажет, яғни нүктелік процестер әдетте метрикалық математикалық кеңістіктерде анықталады.^[152] Сонымен қатар, нүктелік процестің жүзеге асуын санау шарасы ретінде қарастыруға болады, сондықтан нүктелік процестер - кездейсоқ санау шаралары деп аталатын кездейсоқ өлшемдердің түрлері.^[115] Бұл тұрғыда Пуассон және басқа нүктелік процестер жергілікті ықшам есептелетін екінші Хаусдорф кеңістігінде зерттелген.^[153]

Кокс нүктесінің процесі

A Кокс нүктесінің процесі, Кокс процесі немесе екі есе стохастикалық Пуассон процесі - Пуассон нүктесінің процесін оның қарқындылығын өлшеу арқылы қорыту ${ displaystyle textstyle Lambda}$ сонымен қатар кездейсоқ және Пуассон процесіне тәуелді болмау. Процесс атымен аталды Дэвид Кокс оны 1955 жылы енгізген, бірақ кездейсоқ қарқындылығы бар басқа Пуассон процестерін бұрын Люсиен Ле Кам және Морис Куенуэльдер дербес енгізген.^[14] Қарқындылық өлшемі кездейсоқ шаманың немесе кездейсоқ өрістің іске асырылуы болуы мүмкін. Мысалы, егер логарифм қарқындылық өлшемі - а Гаусстың кездейсоқ өрісі, содан кейін алынған процесс а деп аталады Гаусстық Кокс процесін тіркеу.^[154] Тұтастай алғанда, қарқындылық өлшемдері - бұл жағымсыз жергілікті шектеулі кездейсоқ өлшемді жүзеге асыру. Кокс нүктесінің процестері а кластерлеу математикалық тұрғыдан Пуассон нүктелік процестерге қарағанда үлкенірек болатын нүктелер. Кокс процестерінің жалпылығы мен тартымдылығы олардың кеңістіктік статистика сияқты салаларда модель ретінде қолданылуына әкелді^[155] және сымсыз желілер.^[19]

Пуассонның нүктелік процесі белгіленген

Белгіленген нүктелік үдеріс, онда уақытты жиі бейнелейтін оң нақты сызықта анықталады. Кездейсоқ белгілер күй кеңістігінде мәндерді қабылдайды ${ displaystyle S}$ ретінде белгілі кеңістікті белгілеу. Кез келген осындай белгіленген нүктелік процесс кеңістіктегі белгіленбеген нүктелік процесс ретінде түсіндірілуі мүмкін ${ displaystyle [0, infty] times S}$. Белгілеу теоремасы егер бастапқы белгіленбеген нүктелік процесс Пуассондық нүктелік процесс болса және белгілер стохастикалық тәуелсіз болса, онда белгіленген нүктелік процесс сонымен қатар Пуассондық нүктелік процесс болып табылады ${ displaystyle [0, infty] times S}$. Егер Пуассон нүктесінің процесі біртекті болса, онда олқылықтар болады ${ displaystyle tau _ {i}}$ диаграммада экспоненциалды үлестірімнен алынған.

Берілген нүктелік процесс үшін нүктелік процестің әрбір кездейсоқ нүктесінде а деп аталатын кездейсоқ математикалық объект болуы мүмкін белгі, оған кездейсоқ тағайындалған. Бұл белгілер бүтін сандар, нақты сандар, түзулер, геометриялық нысандар немесе басқа нүктелік процестер сияқты алуан түрлі болуы мүмкін.^[156][157] Нүктелік процестің нүктесінен және оған сәйкес белгіден тұратын жұпты белгіленген нүкте деп атайды, ал барлық белгіленген нүктелер а құрайды белгіленген нүктелік процесс.^[158] Көбінесе кездейсоқ белгілер бір-біріне тәуелді емес және бірдей үлестірілген деп есептеледі, бірақ нүктенің белгісі оның сәйкес нүктесінің негізгі (күй) кеңістікте орналасуына тәуелді бола алады.^[159] Егер нүктелік процестің негізі Пуассонның нүктелік процесі болса, онда алынған нүктелік процесі а Пуассон нүктесінің процесі белгіленген.^[160]

Таңбалау теоремасы

Егер кейбіреулерінде жалпы нүктелік процесс анықталса математикалық кеңістік және кездейсоқ белгілер басқа математикалық кеңістікте анықталады, содан кейін белгіленген нүктелік процесс Декарттық өнім осы екі кеңістіктің Тәуелсіз және бірдей үлестірілген белгілері бар белгіленген Пуассон нүктелік процесі үшін белгілеу теоремасы ^[159][161] бұл белгіленген нүктелік процесс сонымен қатар екі математикалық кеңістіктің жоғарыда аталған декарттық көбейтіндісінде анықталған (белгісіз) Пуассон нүктелік процесі болып табылады, бұл жалпы нүктелік процестерге сәйкес келмейді.

Пуассонның қосылыс процесі

The Пуассон нүктелік процесі немесе Пуассон процесі кейбір негізгі кеңістікте анықталған Пуассон нүктелік процесінің әр нүктесіне кездейсоқ мәндер немесе салмақ қосу арқылы пайда болады, сондықтан процесс белгіленген Пуассон нүктелік процестен құрылады, мұнда белгілер жиынтықты құрайды тәуелсіз және бірдей бөлінген теріс емес кездейсоқ шамалар. Басқаша айтқанда, бастапқы Пуассон процесінің әрбір нүктесі үшін тәуелсіз және бірдей үлестірілген теріс емес кездейсоқ шама болады, содан кейін Пуассон процесінің орналасқан нүктелеріне сәйкес келетін барлық кездейсоқ шамалардың қосындысынан құрама Пуассон процесі құрылады. негізгі математикалық кеңістіктің кейбір аймағында.^[162]

Егер Пуассон нүктелік процесстен пайда болған белгіленген Пуассон нүктелік процесі болса ${ displaystyle textstyle N}$ (мысалы, анықталған ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$) және тәуелсіз және бірдей үлестірілген теріс емес белгілер жиынтығы ${ displaystyle textstyle {M_ {i} }}$ әрбір нүкте үшін ${ displaystyle textstyle x_ {i}}$ Пуассон процесінің ${ displaystyle textstyle N}$ теріс емес кездейсоқ шама бар ${ displaystyle textstyle M_ {i}}$, нәтижесінде пайда болатын Пуассон процесі:^[163]

${ displaystyle C (B) = sum _ {i = 1} ^ {N (B)} M_ {i},}$

қайда ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {d}}$ бұл Borel өлшенетін жиынтығы.

Егер жалпы кездейсоқ шамалар болса ${ displaystyle textstyle {M_ {i} }}$ мәндерді қабылдаңыз, мысалы, ${ displaystyle textstyle d}$-өлшемді эвклид кеңістігі ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, нәтижесінде пайда болған Пуассон процесі а Леви процесі егер ол біртектес Пойнт процесінен пайда болса ${ displaystyle textstyle N}$ теріс емес сандар бойынша анықталды ${ displaystyle textstyle [0, infty)}$.^[164]

Қарқындылық функцияларының экспоненциалды тегістелуімен сәтсіздік процесі

Қарқындылық функцияларының экспоненциалды тегістелуімен (FP-ESI) сәтсіздік процесі біртекті емес Пуассон процесінің жалғасы болып табылады. FP-ESI қарқындылығы функциясы - бұл оқиғалардың пайда болу нүктелеріндегі қарқындылық функцияларын экспоненциалды тегістеу функциясы және модельдер деректер жиынтығына сәйкес келген кезде 8 нақты сәтсіздік деректер жиынтығында басқа тоғыз стохастикалық процестерден асып түседі,^[165] мұндағы модель өнімділігі AIC өлшемімен өлшенеді (Akaike ақпараттық критерийі) және BIC (Байес ақпараттық критерийі).

Сондай-ақ қараңыз

• Буль моделі (ықтималдықтар теориясы)
• Перколяцияның үздіксіз теориясы
• Пуассон процесі
• Кокс процесі
• Нүктелік процесс
• Стохастикалық геометрия
• Сымсыз желілердің стохастикалық геометриялық модельдері
• Марковтың келу процестері

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

Ерекше