Жылы басқару теориясы , күй-ауысу матрицасы көбейтіндісі күй векторымен болатын матрица х { displaystyle x} т 0 { displaystyle t_ {0}} х { displaystyle x} т { displaystyle t}
Сызықтық жүйелік шешімдер
Күйдің ауысу матрицасы жалпыға шешім табу үшін қолданылады мемлекеттік-ғарыштық көрініс а сызықтық жүйе келесі формада
х ˙ ( т ) = A ( т ) х ( т ) + B ( т ) сен ( т ) , х ( т 0 ) = х 0 { displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {B} (t) mathbf {u} (t) ), ; mathbf {x} (t_ {0}) = mathbf {x} _ {0}} қайда х ( т ) { displaystyle mathbf {x} (t)} сен ( т ) { displaystyle mathbf {u} (t)} A ( т ) { displaystyle mathbf {A} (t)} B ( т ) { displaystyle mathbf {B} (t)} матрица функциялары , және х 0 { displaystyle mathbf {x} _ {0}} т 0 { displaystyle t_ {0}} Φ ( т , τ ) { displaystyle mathbf { Phi} (t, tau)} [1] [2]
х ( т ) = Φ ( т , т 0 ) х ( т 0 ) + ∫ т 0 т Φ ( т , τ ) B ( τ ) сен ( τ ) г. τ { displaystyle mathbf {x} (t) = mathbf { Phi} (t, t_ {0}) mathbf {x} (t_ {0}) + int _ {t_ {0}} ^ {t } mathbf { Phi} (t, tau) mathbf {B} ( tau) mathbf {u} ( tau) d tau} Бірінші термин ретінде белгілі нөлдік жауап және екінші термин белгілі нөлдік күйдегі жауап .
Peano-Baker сериясы
Ең жалпы өтпелі матрицаны Пеано-Бейкер сериясы келтіреді
Φ ( т , τ ) = Мен + ∫ τ т A ( σ 1 ) г. σ 1 + ∫ τ т A ( σ 1 ) ∫ τ σ 1 A ( σ 2 ) г. σ 2 г. σ 1 + ∫ τ т A ( σ 1 ) ∫ τ σ 1 A ( σ 2 ) ∫ τ σ 2 A ( σ 3 ) г. σ 3 г. σ 2 г. σ 1 + . . . { displaystyle mathbf { Phi} (t, tau) = mathbf {I} + int _ { tau} ^ {t} mathbf {A} ( sigma _ {1}) , d sigma _ {1} + int _ { tau} ^ {t} mathbf {A} ( sigma _ {1}) int _ { tau} ^ { sigma _ {1}} mathbf {A } ( sigma _ {2}) , d sigma _ {2} , d sigma _ {1} + int _ { tau} ^ {t} mathbf {A} ( sigma _ {1 }) int _ { tau} ^ { sigma _ {1}} mathbf {A} ( sigma _ {2}) int _ { tau} ^ { sigma _ {2}} mathbf { A} ( sigma _ {3}) , d sigma _ {3} , d sigma _ {2} , d sigma _ {1} + ...} қайда Мен { displaystyle mathbf {I}} сәйкестік матрицасы . Бұл матрица бар және ерекше шешімге біркелкі және абсолютті түрде жинақталады.[2]
Басқа қасиеттері
Мемлекеттік өтпелі матрица Φ { displaystyle mathbf { Phi}}
1. Ол үздіксіз және үздіксіз туындылары бар.
2, ол ешқашан дара болмайды; Ақиқатында Φ − 1 ( т , τ ) = Φ ( τ , т ) { displaystyle mathbf { Phi} ^ {- 1} (t, tau) = mathbf { Phi} ( tau, t)} Φ − 1 ( т , τ ) Φ ( т , τ ) = Мен { displaystyle mathbf { Phi} ^ {- 1} (t, tau) mathbf { Phi} (t, tau) = I} Мен { displaystyle I}
3. Φ ( т , т ) = Мен { displaystyle mathbf { Phi} (t, t) = I} т { displaystyle t} [3]
4. Φ ( т 2 , т 1 ) Φ ( т 1 , т 0 ) = Φ ( т 2 , т 0 ) { displaystyle mathbf { Phi} (t_ {2}, t_ {1}) mathbf { Phi} (t_ {1}, t_ {0}) = mathbf { Phi} (t_ {2}, t_ {0})} т 0 ≤ т 1 ≤ т 2 { displaystyle t_ {0} leq t_ {1} leq t_ {2}}
5. Ол дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады ∂ Φ ( т , т 0 ) ∂ т = A ( т ) Φ ( т , т 0 ) { displaystyle { frac { жарым-жартылай mathbf { Phi} (t, t_ {0})} { ішінара t}} = mathbf {A} (t) mathbf { Phi} (t, t_ { 0})} Φ ( т 0 , т 0 ) = Мен { displaystyle mathbf { Phi} (t_ {0}, t_ {0}) = I}
6. Мемлекет-ауысу матрицасы Φ ( т , τ ) { displaystyle mathbf { Phi} (t, tau)}
Φ ( т , τ ) ≡ U ( т ) U − 1 ( τ ) { displaystyle mathbf { Phi} (t, tau) equiv mathbf {U} (t) mathbf {U} ^ {- 1} ( tau)} қайда n × n { displaystyle n times n} U ( т ) { displaystyle mathbf {U} (t)} негізгі шешім матрицасы бұл қанағаттандырады
U ˙ ( т ) = A ( т ) U ( т ) { displaystyle { dot { mathbf {U}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {U} (t)} U ( т 0 ) = Мен { displaystyle mathbf {U} (t_ {0}) = I} 7. Мемлекет берілген х ( τ ) { displaystyle mathbf {x} ( tau)} τ { displaystyle tau} т { displaystyle t}
х ( т ) = Φ ( т , τ ) х ( τ ) { displaystyle mathbf {x} (t) = mathbf { Phi} (t, tau) mathbf {x} ( tau)} Мемлекет-өтпелі матрицаны бағалау
Ішінде уақыт өзгермейтін жағдайда, біз анықтай аламыз Φ { displaystyle mathbf { Phi}} матрица экспоненциалды , сияқты Φ ( т , т 0 ) = e A ( т − т 0 ) { displaystyle mathbf { Phi} (t, t_ {0}) = e ^ { mathbf {A} (t-t_ {0})}}
Ішінде уақыт нұсқасы жағдай, күй-ауысу матрицасы Φ ( т , т 0 ) { displaystyle mathbf { Phi} (t, t_ {0})} сен ˙ ( т ) = A ( т ) сен ( т ) { displaystyle { dot { mathbf {u}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {u} (t)} сен ( т 0 ) { displaystyle mathbf {u} (t_ {0})} [ 1 , 0 , … , 0 ] Т { displaystyle [1, 0, ldots, 0] ^ {T}} [ 0 , 1 , … , 0 ] Т { displaystyle [0, 1, ldots, 0] ^ {T}} [ 0 , 0 , … , 1 ] Т { displaystyle [0, 0, ldots, 1] ^ {T}} n { displaystyle n} Φ ( т , т 0 ) { displaystyle mathbf { Phi} (t, t_ {0})} Φ ( т , τ ) = Φ ( т , т 0 ) Φ ( τ , т 0 ) − 1 { displaystyle mathbf { Phi} (t, tau) = mathbf { Phi} (t, t_ {0}) mathbf { Phi} ( tau, t_ {0}) ^ {- 1} } т 0 ≤ τ ≤ т { displaystyle t_ {0} leq tau leq t}
Сондай-ақ қараңыз
Әдебиеттер тізімі
^ Бааке, Майкл; Schlaegel, Ulrike (2011). «Peano Baker сериясы». Стеклов атындағы математика институтының еңбектері . 275 : 155–159. ^ а б Rugh, Wilson (1996). Сызықтық жүйе теориясы . Жоғарғы седла өзені, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-441205-2 ^ Брокетт, Роджер В. (1970). Соңғы өлшемді сызықтық жүйелер . Джон Вили және ұлдары. ISBN 978-0-471-10585-5 Әрі қарай оқу
![{ displaystyle [1, 0, ldots, 0] ^ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3580cffe2bd91c872d764504aed41994da942d50)
![{ displaystyle [0, 1, ldots, 0] ^ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501377442a7e92022254de32e0cd25192ac734ac)
![{ displaystyle [0, 0, ldots, 1] ^ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ffe0074f9f159b8c6daa47484f6d55d1a4923e)
