WikiDer > Ерекше матрица

Жылы математика, an ерікті матрица Бұл матрица бұл өзіндік кері. Яғни, матрицаға көбейту A болып табылады инволюция егер және егер болса A² = Мен. Ерекше матрицалар барлығы шаршы түбірлер туралы сәйкестік матрицасы. Бұл кез-келген фактінің салдары бірыңғай емес матрица оның кері санына көбейтілген - сәйкестілік.^[1]

Мысалдар

2 × 2 нақты матрица ${displaystyle {egin {pmatrix} a & b c & -aend {pmatrix}}}$ шартты түрде болады ${displaystyle a ^ {2} + bc = 1.}$^[2]

The Паули матрицалары M (2, C) -де:

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {1} = sigma _ {x} & = {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}} sigma _ {2} = sigma _ {y} & = {egin {pmatrix } 0 & -i i & 0end {pmatrix}} sigma _ {3} = sigma _ {z} & = {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1end {pmatrix}}, соңы {тураланған}}}$

Үш кластың бірі қарапайым матрица еріксіз, атап айтқанда қатар-ауыстыру элементарлы матрицасы. Жолды немесе бағанды ​​−1-ге көбейтуді ұсынатын элементар матрицаның басқа класының ерекше жағдайы да ерікті болып табылады; бұл іс жүзінде а матрица қолтаңбасы, бұлардың барлығы еріксіз.

Ерекше матрицалардың кейбір қарапайым мысалдары төменде көрсетілген.

${displaystyle {egin {array} {cc} mathbf {I} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {pmatrix}}; & mathbf {I} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {pmatrix}} mathbf {R} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0end {pmatrix}}; & mathbf {R} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0end {pmatrix}} mathbf {S} = {egin {pmatrix} + 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1end {pmatrix}}; & mathbf {S} ^ {- 1} = {egin {pmatrix} + 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 соңы {pmatrix}} end {массив}}}$

қайда

Мен болып табылады сәйкестік матрицасы (бұл өте маңызды емес);

R бір-бірімен алмастырылған қатарлары бар сәйкестік матрицасы;

S Бұл матрица қолтаңбасы.

Кез келген блок-диагональды матрицалар еріксіз матрицалардан жасалған блоктардың сызықтық тәуелсіздігі нәтижесінде еріксіз болады.

Симметрия

Еріксіз матрица, ол да симметриялы болып табылады ортогональ матрица, демек, изометрия (сақтайтын сызықтық түрлендіру Евклидтік қашықтық). Керісінше, кез-келген ортогональды матрица симметриялы болады.^[3]Мұның ерекше жағдайы ретінде, әрқайсысы рефлексия матрицасы еріксіз.

Қасиеттері

The анықтауыш кез-келген өрістегі еріксіз матрицаның ± 1 құрайды.^[4]

Егер A болып табылады n × n матрица, содан кейін A егер ½ (A + Мен) болып табылады идемпотентті. Бұл қатынас а биекция еріксіз матрицалар мен идемпотентті матрицалар арасында.^[4]

Егер A бұл М-да ерікті матрица (n, ℝ), а матрицалық алгебра үстінен нақты сандар, содан кейін субальгебра {х Мен + ж A: х, у ∈ ℝ} жасаған A изоморфты болып табылады сплит-комплекс сандар.

Егер A және B бір-бірімен жүретін екі еріксіз матрица AB еріксіз болып табылады.

Егер A - бұл ерікті матрица, содан кейін әрбір бүтін қуат A еріксіз. Шынында, Aⁿ тең болады A егер n тақ және Мен егер n тең.

Сондай-ақ қараңыз

• Аффиндік инволюция

Әдебиеттер тізімі