WikiDer > Эйкональдық теңдеу

The эйкональдық теңдеу (бастап.) Грек εἰκών, сурет^[1][2]) Бұл сызықтық емес дербес дифференциалдық теңдеу мәселелерінде кездеседі толқындардың таралуы, қашан толқындық теңдеу көмегімен жуықтайды WKB теориясы. Бұл туынды Максвелл теңдеулері электромагниттік және арасындағы байланысты қамтамасыз етеді физикалық (толқындық) оптика және геометриялық (сәулелік) оптика.

Эйкональдық теңдеу формада болады

${displaystyle | abla u (x) | = {frac {1} {f (x)}}, төрттік хин Омега}$

бағынышты ${displaystyle u | _ {ішінара Омега} = 0}$, қайда ${displaystyle Omega}$ бұл ашық жиынтық ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ бірге тәртіпті шекара, ${displaystyle f (x)}$ оң мәндері бар функция, ${displaystyle abla}$ дегенді білдіреді градиент және ${displaystyle | cdot |}$ болып табылады Евклидтік норма. Мұнда, оң жақта ${displaystyle f (x)}$ әдетте белгілі кіріс ретінде жеткізіледі. Физикалық тұрғыдан, шешім ${displaystyle u (x)}$ бастап жүруге қажетті ең қысқа уақыт шекара ${displaystyle ішінара Омега}$ дейін ${displaystyle x}$ ішінде ${displaystyle Omega,}$ бірге ${displaystyle f (x)}$ жылдамдығы ${displaystyle x}$.

Ерекше жағдайда ${displaystyle f = 1}$, шешім береді қол қойылған қашықтық бастап ${displaystyle ішінара Омега}$.^{[дәйексөз қажет]}

Эйконал теңдеуінің шешіміне жуықтайтын жылдам есептеу алгоритмінің бірі жылдам жүру әдісі.

Физикалық интерпретация

Үздіксіз қысқа жол проблемалары

Эйкональдық теңдеудің шешімі

${displaystyle left | абла u (x) ight | = {frac {1} {f (x)}} {ext {for}} xin Omega subset mathbb {R} ^ {n},}$

${displaystyle u (x) = q (x) {ext {for}} xin ішінара Омега}$

жол жүруге қажетті минималды уақыт деп түсіндіруге болады ${displaystyle x}$ дейін ${displaystyle ішінара Омега}$, қайда ${displaystyle f: {ar {Omega}} o (0, + infty)}$ бұл жылдамдық, және ${displaystyle q: ішінара Омега o [0, + жасырын)}$ шығу уақыты жазасы. (Сонымен қатар, бұл оң жаққа қарай шығу арқылы шығудың минималды шығыны ретінде қарастырылуы мүмкін ${displaystyle C (x) / f (x)}$ және ${displaystyle q}$ шығыс үшін айыппұл.)

Деп болжау арқылы ${displaystyle abla u (x)}$ барлық уақытта бар, оны дәлелдеу оңай ${displaystyle u (x)}$ пайдалану уақытының оңтайлы есебіне сәйкес келеді Беллманның оңтайлылық принципі және Тейлордың кеңеюі.^[3] Өкінішке орай, бұған кепілдік берілмейді ${displaystyle abla u (x)}$ барлық нүктелерде бар, және мұны дәлелдеу үшін жетілдірілген техникалар қажет. Бұл дамуына әкелді тұтқырлық ерітінділері 1980 жж Пьер-Луи Арыстандары және Майкл Г.Крандолл,^[4] және Арыстандар жеңіске жетті Fields Medal қосқан үлесі үшін.

Электромагниттік потенциал

Эикональ теңдеуінің физикалық мәні формуламен байланысты

${displaystyle mathbf {E} = -abla V,}$

қайда ${displaystyle mathbf {E}}$ бұл электр өрісінің кернеулігі, және ${displaystyle V}$ электрлік потенциал. Сұйық ағынындағы жылдамдық потенциалы мен жылу беру кезіндегі температураның ұқсас теңдеуі бар. Электромагниттік мысалдағы осы теңдеудің физикалық мәні мынада: аймақтағы кез-келген зарядты түзулерге тік бұрышпен қозғалуға итермелейді^{[түсіндіру қажет]} тұрақты потенциал және күш өрісі бойынша анықталады E векторы және заряд белгісі.

Сәулелік оптика мен электромагниттіліктің мәні мынада: эйконал теңдеуі жоғарыдағы потенциал теңдеуімен бірдей формадағы екінші электромагниттік формуланы береді, мұнда тұрақты потенциал сызығы тұрақты фаза сызығымен алмастырылып, күш сызықтары ауыстырылды. тұрақты фаза сызығынан тік бұрыштардан шыққан қалыпты векторлармен. Бұл қалыпты векторлардың шамасы салыстырмалы өткізгіштік квадрат түбірімен беріледі. Тұрақты фаза сызығын алға қарай келе жатқан жарық толқындарының бірінің шеті деп санауға болады. Қалыпты векторлар деп сәуленің сәулелік оптикаға түскен сәулелері саналады.

Есептеу алгоритмдері

Эикональдық теңдеуді шешудің бірнеше жылдам және тиімді алгоритмдері 1990 жылдардан бастап жасалды. Осы алгоритмдердің көпшілігі бұрын жасалған алгоритмдердің артықшылықтарын пайдаланады ең қысқа жол проблемалары теріс емес ұзындықтағы графиктерде.^[5] Бұл алгоритмдер себептілік физикалық интерпретациямен қамтамасыз етілген және a тор ^[6][7][8][9] немесе тұрақты тор ^[10][11] және шешімді әр дискретті нүктеде есептеңіз.Үшбұрышталған коллекторлардағы экональды еріткіштер болып табылады.^[6][7]

Сетиандікі жылдам жүру әдісі (FMM)^[10][11] Эйконал теңдеуін шешу үшін құрылған алғашқы «жылдам және тиімді» алгоритм болды. Сипаттаманың түпнұсқасы доменнің дискретизациясын жасайды ${displaystyle Omega ішкі жиыны mathbb {R} ^ {n}}$ «белгілі» мәндерден ашылмаған аймақтарға дейін шешімді «жүйеге» келтіріп, логикасын дәл көрсетеді Дайкстра алгоритмі. Егер ${displaystyle Omega}$ дискреттелген және бар ${displaystyle M}$ Meshpoints, содан кейін есептеудің күрделілігі ${displaystyle O (Mlog M)}$ қайда ${displaystyle журналы}$ термин үйінді (әдетте екілік) қолданудан туындайды. FMM-ге бірқатар өзгертулер енгізуге болады, өйткені ол жапсырманы орнату әдісі ретінде жіктеледі. Сонымен қатар, FMM доменді дискретирлейтін жалпы торларда жұмыс істеу үшін жалпыланған.^[6][7][8][9]

Жапсырмаларды түзету әдістері сияқты Bellman - Ford алгоритмі дискреттелген Эйконал теңдеуін шешуге де рұқсат етілген көптеген түрлендірулермен пайдалануға болады (мысалы, «алдымен кішігірім жапсырмалар») ^[5][12] немесе «Үлкен жапсырмалар соңғы» ^[5][13]). Екі кезек әдісі де ойлап табылды^[14] Bellman-Ford алгоритмінің нұсқасы болып табылатын, екі кезектен басқа, жергілікті ақпарат негізінде тор нүктесін қандай кезекке тағайындау керектігін анықтайтын шекті мән қолданылады.

Сияқты сыпыру алгоритмдері жылдам сыпыру әдісі (FSM)^[15] сәйкес болған кезде Эйконал теңдеулерін шешуде тиімділігі жоғары тән қисықтар бағытты жиі өзгертпеңіз.^[5] Бұл алгоритмдер этикеткаларды түзетеді, бірақ кезек немесе үйінді қолданбайды, керісінше тор нүктелерінің жаңартылуы үшін әр түрлі тапсырыстарды тағайындайды және конвергенцияға дейін осы бұйрықтар арқылы қайталанады. Желілік нүктелерді «құлыптау» сияқты кейбір жетілдірулер енгізілді^[14] тазарту кезінде, егер ол жаңартуды алмаса, бірақ жоғары тазартылған торларда және жоғары өлшемді кеңістіктерде әр тораптан өтуге тура келетін үлкен шығындар әлі де бар. Доменді ыдыратуға және әр ыдыратылған ішкі жиында сыпыруды жүргізуге тырысатын параллель әдістер енгізілді. Чжаоның параллель орындалуы доменді ыдыратады ${displaystyle n}$-өлшемді ішкі жиындар, содан кейін әр ішкі жиында жеке FSM іске қосылады.^[16] Декстрикстің параллель орындалуы сонымен қатар доменді ыдыратады, бірақ әрбір жеке сыпыруды параллельдейді, осылайша процессорлар тор нүктелерін жаңартуға жауап береді. ${displaystyle (n-1)}$-өлшемді гиперплан барлық домен толық сыпырылғанша.^[17]

Гибридті әдістер сонымен қатар FMM тиімділігі FSM қарапайымдылығымен пайдаланылатын енгізілді. Мысалы, Heap Cell Method (HCM) доменді ұяшықтарға ыдыратады және ұяшық-доменде FMM орындайды және «ұяшық» жаңартылған сайын FSM сол ұяшықта орналасқан жергілікті тор нүктесі-доменінде орындалады.^[5] HCM параллельді нұсқасы да жасалды.^[18]

Санды жуықтау

Қарапайымдылық үшін деп ойлаңыз ${displaystyle Omega}$ аралықтары бар біркелкі торға бөлінеді ${displaystyle h}$.

Декарттық тордағы 2D жуықтау

Тор нүктесі деп есептейік ${displaystyle x_ {ij}}$ мәні бар ${displaystyle U_ {ij} = U (x_ {ij}) u (x_ {ij})}$. Ішінара туындыларды жуықтаудың бірінші ретті схемасы болып табылады

${displaystyle максималды сол жақ (D_ {ij} ^ {- x} U, -D_ {ij} ^ {+ x} U, 0ight) ^ {2} + ең көп сол жақ (D_ {ij} ^ {- y} U, - D_ {ij} ^ {+ y} U, 0ight) ^ {2} = {frac {1} {f_ {ij} ^ {2}}}}$

қайда

${displaystyle u_ {x} (x_ {ij}) шамамен D_ {ij} ^ {pm x} U = {frac {U_ {ipm 1, j} -U_ {ij}} {pm h}} quad {ext {and }} квадрат u_ {y} (x_ {ij}) шамамен D_ {ij} ^ {pm y} U = {frac {U_ {i, jpm 1} -U_ {ij}} {pm h}}.}$

Бұл дискретизацияның дәйекті, монотонды және себептік қасиеттеріне байланысты^[5] егер мұны көрсету оңай болса ${displaystyle U_ {H} = мин (U_ {i-1, j}, U_ {i + 1, j})}$ және ${displaystyle U_ {V} = мин (U_ {i, j-1}, U_ {i, j + 1})}$ және ${displaystyle | U_ {H} -U_ {V} | leq h / f_ {ij}}$ содан кейін

${displaystyle сол жақ ({frac {U_ {ij} -U_ {H}} {h}} ight) ^ {2} + сол жақ ({frac {U_ {ij} -U_ {V}} {h}} ight) ^ {2} = {frac {1} {f_ {ij} ^ {2}}}}$

білдіреді

${displaystyle U_ {ij} = {frac {U_ {H} + U_ {V}} {2}} + {frac {1} {2}} {sqrt {(U_ {H} + U_ {V}) ^ { 2} -2 солға (U_ {H} ^ {2} + U_ {V} ^ {2} - {frac {h ^ {2}} {f_ {ij} ^ {2}}} түн)}}.}$

Бұл шешім әрқашан болғанша болады ${displaystyle | U_ {H} -U_ {V} | leq {sqrt {2}} h / f_ {ij}}$ қанағаттандырылған және екеуінен де үлкен, ${displaystyle U_ {H}}$ және ${displaystyle U_ {V}}$, әзірше ${displaystyle | U_ {H} -U_ {V} | leq h / f_ {ij}}$ . Егер ${displaystyle | U_ {H} -U_ {V} | geq h / f_ {ij}}$, төменгі өлшемді жаңарту ішінара туындыларының бірі болып табылады ${displaystyle 0}$:

${displaystyle U_ {ij} = min (U_ {H}, U_ {V}) + {frac {h} {f_ {ij}}}.}$

n-Декарттық тордағы жуықтау

Тор нүктесі деп есептейік ${displaystyle x}$ мәні бар ${displaystyle U = U (x) u (x)}$. Сияқты қадамдарды қайталау ${displaystyle n = 2}$ бөлшек туындыларды жуықтау үшін бірінші ретті схеманы қолдана аламыз. Келіңіздер ${displaystyle U_ {i}}$ ішіндегі көршілердің минимумы болуы керек ${displaystyle pm mathbf {e} _ {i}}$ бағыттар, қайда ${displaystyle mathbf {e} _ {i}}$ Бұл стандартты бірлік векторы. Жақындау ол кезде болады

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} сол жақта ({frac {U-U_ {j}} {h}} ight) ^ {2} = {frac {1} {f_ {i} ^ {2} }}.}$

Осы квадрат теңдеуді үшін шешу ${displaystyle U}$ кірістілік:

${displaystyle U = {frac {1} {n}} sum _ {j = 1} ^ {n} U_ {j} + {frac {1} {n}} {sqrt {left (sum _ {j = 1}) ^ {n} U_ {j} ight) ^ {2} -nleft (қосынды _ {j = 1} ^ {n} U_ {j} ^ {2} - {frac {h ^ {2}} {f_ {i } ^ {2}}} түн)}}.}$

Егер квадрат түбірдегі дискриминант теріс болса, онда төменгі өлшемді жаңарту керек (яғни ішінара туындылардың бірі ${displaystyle 0}$).

Егер ${displaystyle n = 2}$ содан кейін бір өлшемді жаңартуды орындаңыз

${displaystyle U = {frac {h} {f_ {i}}} + min _ {j = 1, ldots, n} U_ {j}.}$

Егер ${displaystyle ngeq 3}$ содан кейін орындау ${displaystyle n-1}$ мәндерді қолдана отырып өлшемді жаңарту ${displaystyle {U_ {1}, ldots, U_ {n}} setminus {U_ {i}}}$ әрқайсысы үшін ${displaystyle i = 1, ldots, n}$ және ең кішісін таңдаңыз.

Математикалық сипаттама

Бұл бөлімде бірнеше мәселелер бар. Өтінемін көмектесіңіз оны жақсарту немесе осы мәселелерді талқылау талқылау беті. (Бұл шаблон хабарламаларын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл бөлім сияқты жазылады зерттеу жұмысы немесе ғылыми журнал қолдануы мүмкін шамадан тыс техникалық шарттар немесе жазылмауы мүмкін энциклопедиялық мақала сияқты. өтінемін оны жақсартуға көмектесу оны қайта жазу арқылы энциклопедиялық стиль. (Маусым 2016) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл бөлім оқырмандардың көпшілігінің түсінуіне тым техникалық болуы мүмкін. өтінемін оны жақсартуға көмектесу дейін оны мамандар емес адамдарға түсінікті етіңіз, техникалық мәліметтерді жоймай. (Маусым 2016) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл бөлімде жалпы тізімі бар сілтемелер, бірақ бұл негізінен тексерілмеген болып қалады, өйткені ол сәйкесінше жетіспейді кірістірілген дәйексөздер. Көмектесіңізші жақсарту осы бөлім таныстыру дәлірек дәйексөздер. (Маусым 2016) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл бөлім болуы мүмкін өзіндік зерттеу. өтінемін оны жақсарту арқылы тексеру жасалған және толықтырылған талаптар кірістірілген дәйексөздер. Тек түпнұсқа зерттеулерден тұратын мәлімдемелер алынып тасталуы керек. (Маусым 2016) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Эйконал теңдеуі формалардың бірі болып табылады

${displaystyle H (x, abla u (x)) = 0}$

${displaystyle u (0, x ') = u_ {0} (x'), {ext {for}} x = (x_ {1}, x ')}$

Ұшақ ${displaystyle x = (0, x ')}$ туралы ойлау арқылы бастапқы шарт ретінде қарастыруға болады ${displaystyle x_ {1}}$ сияқты ${displaystyle t.}$ Біз теңдеуді осы жазықтықтың ішкі жиынтығында немесе қисық бетінде айқын түрлендірулермен шеше аламыз.

Эйконал теңдеуі көрсетілген геометриялық оптика, бұл шешімдерді зерттеу тәсілі толқындық теңдеу ${displaystyle c ^ {2} | abla _ {x} u | ^ {2} = | жартылай _ {t} u | ^ {2}}$, қайда ${displaystyle c (x)}$ және ${displaystyle u (x, t)}$. Геометриялық оптикада эвкональдық теңдеу толқындардың фазалық фронттарын сипаттайды. «Бастапқы» мәліметтер бойынша ақылға қонымды гипотеза бойынша, эикондық теңдеу жергілікті шешімді қабылдайды, бірақ жаһандық тегіс шешім (мысалы, геометриялық оптика жағдайындағы барлық уақытқа арналған шешім) мүмкін емес. Себеп сол каустика дамуы мүмкін. Геометриялық оптика жағдайында бұл толқындық фронттар қиылысатынын білдіреді.

Біз эикональдық теңдеуді сипаттама әдісін қолдана отырып шеше аламыз. Біреу «сипаттамалық емес» гипотеза қоюы керек ${displaystyle ішінара _ {p_ {1}} H (x, p) eq 0}$ бастапқы гипервизия бойымен ${displaystyle x = (0, x ')}$, қайда H = H(х,б) және б = (б₁,...,б_n) - ∇ ауыстырылатын айнымалысен. Мұнда х = (х₁,...,х_n) = (т,х′).

Біріншіден, мәселені шешіңіз ${displaystyle H (x, xi (x)) = 0}$, ${displaystyle xi (x) = abla u (x), xin H}$. Бұл қисықтарды анықтау арқылы жүзеге асырылады (және мәндері ${displaystyle xi}$ сол қисықтарда)

${displaystyle {нүкте {x}} (-тер) = abla _ {xi} H (x (s), xi (s)), ;;;; {dot {xi}} (s) = - abla _ {x} H (x (s), xi (s)).}$

${displaystyle x (0) = x_ {0}, ;;;; xi (x (0)) = abla u (x (0)).}$ Бізде шешім болмас бұрын да ескеріңіз ${displaystyle u}$, Біз білеміз ${displaystyle abla u (x)}$ үшін ${displaystyle x = (0, x ')}$ үшін біздің теңдеуімізге байланысты ${displaystyle H}$.

Бұл теңдеулерде қандай да бір интервалға шешім болатындығы ${displaystyle 0leq s$ стандартты ODE теоремаларынан шығады (сипаттамалық емес гипотезаны қолдана отырып). Бұл қисықтар ан ашық жиынтық ұшақтың айналасында ${displaystyle x = (0, x ')}$. Осылайша қисықтар мәнін анықтайды ${displaystyle xi}$ біздің бастапқы жазықтық туралы ашық жиынтықта. Осындай анықталғаннан кейін, тізбектегі ережені қолдану оңай ${displaystyle ішінара _ {s} H (x (s), xi (s)) = 0}$, демек ${displaystyle H = 0}$ осы қисықтар бойымен

Біз өз шешімімізді алғымыз келеді ${displaystyle u}$ қанағаттандыру ${displaystyle abla u = xi}$, дәлірек айтқанда, әрқайсысы үшін ${displaystyle s}$, ${displaystyle (abla u) (x (s)) = xi (x (s)).}$ Мұны кез-келген шешім үшін бір минутқа қабылдауға болады ${displaystyle u (x)}$ бізде болуы керек

${displaystyle {frac {d} {ds}} u (x (s)) = abla u (x (s)) cdot {nuqta {x}} (s) = xi cdot {frac {ішінара H} {ішінара xi} },}$

сондықтан

${displaystyle u (x (t)) = u (x (0)) + int _ {0} ^ {t} xi (x (s)) cdot {dot {x}} (s), ds.}$

Басқаша айтқанда, шешім ${displaystyle u}$ анықталған теңдеу арқылы бастапқы жазықтықтың маңында беріледі. Алайда, әр түрлі жолдардан бастап ${displaystyle x (t)}$, әр түрлі бастапқы нүктелерден бастап қиылысуы мүмкін, шешім көп мәнге ие болуы мүмкін, сол кезде біз каустиканы дамыттық.Бізде де бар ( ${displaystyle u}$ шешім)

${displaystyle xi (x (t)) = xi (x (0)) - int _ {0} ^ {t} abla _ {x} H (x (s), xi (x (s))), ds. }$

Мұны көрсету керек ${displaystyle xi}$, біз бастапқы жазықтықтың маңында анықтадық, бұл кейбір функцияның градиенті ${displaystyle u}$. Бұл егер біз векторлық өрісті көрсететін болсақ ${displaystyle xi}$ бұралмайды. Анықтамасындағы бірінші терминді қарастырайық ${displaystyle xi}$. Бұл термин, ${displaystyle xi (x (0)) = abla u (x (0))})$ бұл функцияның градиенті болғандықтан, қисықсыз. Басқа мерзімге келетін болсақ, біз атап өтеміз

${displaystyle {frac {ішінара ^ {2}} {ішінара x_ {k}, ішінара x_ {j}}} H = {frac {ішінара ^ {2}} {ішінара x_ {j}, ішінара x_ {k}}} Х.}$

Нәтиже шығады.

Қолданбалар

• Нақты қолдану болып табылады радиотолқынның атмосферадағы әлсіреуін есептеу.
• Табу көлеңкеден алынған пішін компьютерлік көріністе.
• Геометриялық оптика
• Үздіксіз қысқа жол проблемалары
• Кескінді сегментациялау
• Зымыранның қатты отын дәнінің пішінін зерттеу

Сондай-ақ қараңыз

• Гамильтон-Якоби-Беллман теңдеуі
• Гамильтон - Якоби теңдеуі
• Ферма принципі

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Париж, Д. Т .; Херд, Ф. К. (1969). Негізгі электромагниттік теория. McGraw-Hill. 383–385 бб. ISBN 0-07-048470-8.
• Арнольд, В.И. (2004). Жартылай дифференциалдық теңдеулер туралы дәрістер (2-ші басылым). Спрингер. 2-3 бет. ISBN 3-540-40448-1.

Сыртқы сілтемелер

• Сызықтық эйконал теңдеуі
• Генрих Брунстың «Das Eikonal» ағылшын тіліне аудармасы