WikiDer > Автоковарианс

Autocovariance

Жылы ықтималдықтар теориясы және статистика, берілген стохастикалық процесс, автоковария функциясын білдіреді коварианс процестің өзімен бірге уақыт нүктелерінде. Автоковариант тығыз байланысты автокорреляция қарастырылып отырған процестің.

Стохастикалық процестердің авто-ковариациясы

Анықтама

Кәдімгі белгілермен ${ displaystyle operatorname {E}}$ үшін күту оператор, егер стохастикалық процесс ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ бар білдіреді функциясы ${ displaystyle mu _ {t} = operatorname {E} [X_ {t}]}$ , содан кейін автоковарианс беріледі^[1]^{:б. 162}

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {cov} left [X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {2}} right] = оператор атауы {E} [(X_ {t_ {1}} - mu _ {t_ {1}}) (X_ {t_ {2}} - mu _ {t_ {2}})] = оператор атауы { E} [X_ {t_ {1}} X_ {t_ {2}}] - mu _ {t_ {1}} mu _ {t_ {2}}}

(Теңдеу)

қайда ${ displaystyle t_ {1}}$ және ${ displaystyle t_ {2}}$ уақыттың екі сәті.

Әлсіз стационарлық процестің анықтамасы

Егер ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ Бұл әлсіз стационарлық (WSS) процесс, содан кейін келесі дұрыс:^[1]^{:б. 163}

{ displaystyle mu _ {t_ {1}} = mu _ {t_ {2}} triangleq mu}

барлығына

{ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

және

{ displaystyle operatorname {E} [| X_ {t} | ^ {2}] < infty}

барлығына

{ displaystyle t}

және

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}, 0) triangleq operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}) = оператордың аты {K} _ {XX} ( tau),}

қайда ${ displaystyle tau = t_ {2} -t_ {1}}$ кешігу уақыты немесе сигналдың ауысқан уақыты.

WSS процесінің автоковарианттық функциясы келесі түрде беріледі:^[2]^{:б. 517}

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} ( tau) = operatorname {E} [(X_ {t} - mu _ {t}) (X_ {t- tau} - mu _ {t - tau})] = оператордың аты {E} [X_ {t} X_ {t- tau}] - mu _ {t} mu _ {t- tau}}

(Экв.3)

бұл барабар

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} ( tau) = operatorname {E} [(X_ {t + tau} - mu _ {t + tau}) (X_ {t} - mu _ { t})] = оператордың аты {E} [X_ {t + tau} X_ {t}] - mu ^ {2}}

.

Нормалдау

Бұл кейбір пәндерде жиі кездеседі (мысалы, статистика және уақыт қатарын талдау) уақытқа тәуелді болу үшін автоковарианс функциясын қалыпқа келтіру Пирсон корреляция коэффициенті. Алайда басқа пәндерде (мысалы, инженерлік) қалыпқа келтіру тоқтатылады және «автокорреляция» мен «автоковарианс» терминдері бір-бірінің орнына қолданылады.

Стохастикалық процестің қалыпқа келтірілген авто-корреляциясының анықтамасы болып табылады

{ displaystyle rho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = { frac { оператордың аты {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2})} {{sigma _ {t_ {1}} sigma _ {t_ {2}}}} = { frac { оператордың аты {E} [(X_ {t_ {1}} - mu _ {t_ {1}}) (X_ { t_ {2}} - mu _ {t_ {2}})]} { sigma _ {t_ {1}} sigma _ {t_ {2}}}}}

.

Егер функция ${ displaystyle rho _ {XX}}$ жақсы анықталған, оның мәні ауқымда болуы керек ${ displaystyle [-1,1]}$ , мінсіз корреляцияны көрсететін 1-мен, ал мінсіздігімен −1 корреляцияға қарсы.

WSS процесі үшін бұл анықтама болып табылады

{ displaystyle rho _ {XX} ( tau) = { frac { оператордың аты {K} _ {ХХ} ( tau)} { sigma ^ {2}}} = { frac { оператордың аты {E } [(X_ {t} - mu) (X_ {t + tau} - mu)]} { sigma ^ {2}}}}

.

қайда

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (0) = sigma ^ {2}}

.

Қасиеттері

Симметрия қасиеті

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = { overline { operatorname {K} _ {XX} (t_ {2}, t_ {1})}} }

^[3]^:169-бет

сәйкесінше WSS процесі үшін:

{ displaystyle operatorname {K} _ {XX} ( tau) = { overline { operatorname {K} _ {XX} (- tau)}}}

^[3]^:б.173

Сызықтық сүзу

Сызықтық сүзгіден өткен процестің автоковарианты ${ displaystyle left {Y_ {t} right }}$

{ displaystyle Y_ {t} = sum _ {k = - infty} ^ { infty} a_ {k} X_ {t + k} ,}

болып табылады

{ displaystyle K_ {YY} ( tau) = sum _ {k, l = - infty} ^ { infty} a_ {k} a_ {l} K_ {XX} ( tau + kl). , }

Турбулентті диффузияны есептеу

Автоковариацияны есептеу үшін қолдануға болады турбулентті диффузия.^[4] Ағымдағы турбуленттілік кеңістіктегі және уақыттағы жылдамдықтың ауытқуын тудыруы мүмкін. Осылайша, біз тербелісті сол ауытқулардың статистикасы арқылы анықтай аламыз^{[дәйексөз қажет]}.

Рейнольдстың ыдырауы жылдамдықтың ауытқуын анықтау үшін қолданылады ${ displaystyle u '(x, t)}$ (біз қазір 1D проблемасымен жұмыс істеп жатырмыз делік ${ displaystyle U (x, t)}$ - жылдамдық ${ displaystyle x}$ бағыт):

{ displaystyle U (x, t) = langle U (x, t) rangle + u '(x, t),}

қайда ${ displaystyle U (x, t)}$ - бұл шынайы жылдамдық, және ${ displaystyle langle U (x, t) rangle}$ болып табылады жылдамдықтың күтілетін мәні. Егер біз дұрысын таңдасақ ${ displaystyle langle U (x, t) rangle}$ , турбулентті жылдамдықтың барлық стохастикалық компоненттері қосылады ${ displaystyle u '(x, t)}$ . Анықтау ${ displaystyle langle U (x, t) rangle}$ , кеңістіктегі нүктелерден, уақыт моменттерінен немесе қайталанатын тәжірибелерден жиналатын жылдамдықты өлшеу жиынтығы қажет.

Егер біз турбулентті ағынды алсақ ${ displaystyle langle u'c ' rangle}$ ( ${ displaystyle c '= c- langle c rangle}$ , және c концентрация термині болып табылады) кездейсоқ серуендеу арқылы туындауы мүмкін, біз оны пайдалана аламыз Фиктің диффузия заңдары ағынның турбуленттік мерзімін білдіру үшін:

{ displaystyle J _ {{ text {turbulence}} _ {x}} = langle u'c ' rangle жуық D_ {T_ {x}} { frac { partial langle c rangle} { ішінара х}}.}

Жылдамдықтың автоковарианты ретінде анықталады

{ displaystyle K_ {XX} equiv langle u '(t_ {0}) u' (t_ {0} + tau) rangle}

немесе

{ displaystyle K_ {XX} equiv langle u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) rangle,}

қайда ${ displaystyle tau}$ кешігу уақыты және ${ displaystyle r}$ артта қалушылық.

Турбулентті диффузия ${ displaystyle D_ {T_ {x}}}$ келесі 3 әдісті қолданып есептеуге болады:

Егер бізде а жылдамдығы туралы мәліметтер болса Лагранж траекториясы:
${ displaystyle D_ {T_ {x}} = int _ { tau} ^ { infty} u '(t_ {0}) u' (t_ {0} + tau) , d tau.}$
Егер бізде жылдамдық деректері бір тұрақты болса (Эйлериан) орналасқан жері^{[дәйексөз қажет]}:
${ displaystyle D_ {T_ {x}} шамамен [0.3 pm 0.1] сол жақта [{ frac { langle u'u ' rangle + langle u rangle ^ {2}} { langle u'u ' rangle}} right] int _ { tau} ^ { infty} u' (t_ {0}) u '(t_ {0} + tau) , d tau.}$
Егер жылдамдық туралы екі тұрақты (эвлериялық) жерде ақпарат болса^{[дәйексөз қажет]}:
${ displaystyle D_ {T_ {x}} шамамен [0.4 pm 0.1] сол жақта [{ frac {1} { langle u'u ' rangle}} right] int _ {r} ^ { жарамсыз} u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) , dr,}$
қайда ${ displaystyle r}$ дегеніміз - осы екі тұрақты орынмен бөлінген қашықтық.

Кездейсоқ векторлардың авто-ковариациясы

Сондай-ақ қараңыз

Авторегрессивті процесс
Корреляция
Айқас ковариация
Айқас корреляция
Шудың ковариациясын бағалау (қосымша мысал ретінде)

Әдебиеттер тізімі

^ ^а ^б Хсу, Хвэй (1997). Ықтималдық, кездейсоқ шамалар және кездейсоқ процестер. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.
^ Лапидот, Амос (2009). Сандық коммуникация қоры. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 978-0-521-19395-5.
^ ^а ^б Kun Il Park, ықтималдылық негіздері және стохастикалық процестер коммуникацияға қосымшалар, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
^ Тейлор, Г.И. (1922-01-01). «Үздіксіз қозғалыстардың диффузиясы» (PDF). Лондон математикалық қоғамының еңбектері. s2-20 (1): 196–212. дои:10.1112 / plms / s2-20.1.196. ISSN 1460-244X.

Hoel, P. G. (1984). Математикалық статистика (Бесінші басылым). Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-89045-4.
ДДСҰ-дан автоковариация туралы дәрістер

[HweiHsu-1] а ^б Хсу, Хвэй (1997). Ықтималдық, кездейсоқ шамалар және кездейсоқ процестер. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.

[Lapidoth-2] Лапидот, Амос (2009). Сандық коммуникация қоры. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 978-0-521-19395-5.

[KunIlPark-3] а ^б Kun Il Park, ықтималдылық негіздері және стохастикалық процестер коммуникацияға қосымшалар, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

[4] Тейлор, Г.И. (1922-01-01). «Үздіксіз қозғалыстардың диффузиясы» (PDF). Лондон математикалық қоғамының еңбектері. s2-20 (1): 196–212. дои:10.1112 / plms / s2-20.1.196. ISSN 1460-244X.

[1]

[2]

[3]

[4]

Navigation