WikiDer > Стокс ағынының функциясы

А айналасындағы ағындар сфера жылы осимметриялық Стоктар ағады. At терминалдық жылдамдық The тарту күші F_г. күшті теңестіреді F_ж объектіні қозғау.

Жылы сұйықтық динамикасы, Стокс ағынының функциясы сипаттау үшін қолданылады оңтайландыру және ағынның жылдамдығы үш өлшемді қысылмайтын ағын бірге осимметрия. Стокс ағыны функциясының тұрақты мәні бар бет а streamtubeбарлық жерде тангенциалды ағын жылдамдығы векторларына. Әрі қарай көлем ағын бұл ағын түтігінің ішінде тұрақты, ал ағынның барлық сызықтары осы бетте орналасқан. The жылдамдық өрісі Стокс ағынының функциясымен байланысты электромагниттік- ол нөлге ие алшақтық. Бұл ағын функциясы құрметіне аталған Джордж Габриэль Стокс.

Цилиндрлік координаттар

Цилиндрлік координаталармен кескінделген нүкте.

Қарастырайық цилиндрлік координаттар жүйесі ( ρ , φ , з ), бірге з- айналасында қысылмайтын ағын осимметриялы болатын сызықты көрсетіңіз, φ The азимуттық бұрыш және ρ дейінгі қашықтық з–Аксис. Содан кейін ағын жылдамдығының компоненттері сен_ρ және сен_з Стокс ағыны функциясы арқылы көрсетілуі мүмкін ${ displaystyle Psi}$ автор:^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} u _ { rho} & = - { frac {1} { rho}} , { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай z}}, u_ { z} & = + { frac {1} { rho}} , { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай rho}}. соңы {тураланған}}}$

Азимуттық жылдамдық компоненті сен_φ ағынның қызметіне байланысты емес. Аксиметрияның арқасында жылдамдықтың барлық үш компоненті (сен_ρ , сен_φ , сен_з ) тек тәуелді ρ және з және азимутта емес φ.

Көлемдік ағын, тұрақты мәнмен шектелген бет арқылы ψ Стокс ағынының функциясы, тең 2π ψ.

Сфералық координаттар

Сфералық координаттар жүйесін қолданып салынған нүкте

Жылы сфералық координаттар ( р , θ , φ ), р болып табылады радиалды қашықтық бастап шығу тегі, θ болып табылады зенит бұрышы және φ болып табылады азимуттық бұрыш. Осимметриялық ағынмен θ = 0 айналу симметрия осі, ағынды сипаттайтын шамалар қайтадан азимутқа тәуелді емес φ. Ағын жылдамдығының компоненттері сен_р және сен_θ Стокс ағынының функциясымен байланысты ${ displaystyle Psi}$ арқылы:^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} u_ {r} & = + { frac {1} {r ^ {2} , sin theta}} , { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай theta}}, u _ { theta} & = - { frac {1} {r , sin theta}} , { frac { жарым-жартылай Psi} { ішінара r}}. соңы {тураланған}}}$

Тағы да азимуттық жылдамдық компоненті сен_φ Стокс ағыны функциясының функциясы емес ψ. Тұрақты бетімен шектелген ағын түтігі арқылы көлем ағыны ψ, тең 2π ψ, бұрынғыдай.

Қуырлық

The құйын ретінде анықталады:

${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = nabla times { boldsymbol {u}} = nabla times nabla times { boldsymbol { psi}}}$, қайда ${ displaystyle { boldsymbol { psi}} = - { frac { Psi} {r sin theta}} { boldsymbol { hat { phi}}},}$

бірге ${ displaystyle { boldsymbol { hat { phi}}}}$ The бірлік векторы ішінде ${ displaystyle phi ,}$- бағыт.

Құйындылықты шығару ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ Стокс ағыны функциясын қолдану

Анықталғандай құйынды қарастырыңыз ${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = nabla times { boldsymbol {u}}.}$ Анықтамасынан сфералық координаттарда бұралу: ${ displaystyle { begin {aligned} omega _ {r} & = {1 over r sin theta} left ({ partial over qism theta} left (u _ { phi} sin theta right) - { ішіндегі u _ { theta} over partial phi} right) { boldsymbol { hat {r}}}, omega _ { theta} & = {1 r} сол жақтан ({1 артық sin theta} { жартылай u_ {r} артық жартылай phi} - { жартылай артық жартылай r} сол (ru _ { phi} оң) оң) { boldsymbol { hat { theta}}}, omega _ { phi} & = {1 over r} сол ({ жарым-жартылай артық жартылай r} сол (ru_ { theta} right) - { ішінара u_ {r} артық жартылай theta} оң) { boldsymbol { hat { phi}}}. end {aligned}}}$ Алдымен назар аударыңыз ${ displaystyle r}$ және ${ displaystyle theta}$ компоненттер 0-ге тең. Екіншіден алмастырғыш ${ displaystyle u_ {r}}$ және ${ displaystyle u _ { theta}}$ ішіне ${ displaystyle omega _ { phi}.}$ Нәтижесі: ${ displaystyle { begin {aligned} omega _ {r} & = 0, omega _ { theta} & = 0, omega _ { phi} & = {1 over r} солға ({ жартылай артық жартылай r} солға (r солға (- { frac {1} {r sin theta}} { frac { жартылай Psi} { жартылай r}} оңға ) оң) - { жартылай артық жартылай тета} сол ({ frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { ішінара Psi} { жартылай тета }} оң) оң). соңы {тураланған}}}$ Келесі алгебра орындалады: ${ displaystyle { begin {aligned} omega _ { phi} & = {1 over r} сол (- { frac {1} { sin theta}}} солға ({ жартылай артық « жартылай r} солға ({ frac { жартылай Psi} { жартылай r}} оңға) оңға) - { frac {1} {r ^ {2}}} { жартылай артық жартылай theta} солға ({ frac {1} { sin theta}} { frac { ішінара Psi} { жартылай тета}} оңға) оңға) & = {1 r} үстінде солға (- { frac {1} { sin theta}} солға ({ frac { жартылай ^ {2} Psi} { жартылай r ^ {2}}} оңға) - { frac { sin theta} {r ^ {2} sin theta}} { ішінара артық жартылай theta} сол ({ frac {1} { sin theta}} { frac { ішінара Psi} { Partial theta}} right) right) & = - { frac {1} {r sin theta}} left ({ frac { partial ^ {2} Psi) } { ішінара r ^ {2}}} + { frac { sin theta} {r ^ {2}}} { ішінара артық жартылай theta} солға ({ frac {1} {) sin theta}} { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай theta}} оң) оңға). соңы {тураланған}}}$

Нәтижесінде, есептеуден құйындылық векторы тең болады:

${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = { begin {pmatrix} 0 [1ex] 0 [1ex] displaystyle - { frac {1} {r sin theta}}} left ( { frac { ішіндегі ^ {2} Psi} { жартылай r ^ {2}}} + { frac { sin theta} {r ^ {2}}} { жартылай артық жартылай тета } солға ({ frac {1} { sin theta}} { frac { ішінара Psi} { жартылай тета}} оңға) оңға) соңы {pmatrix}}.}$

Цилиндрлікпен салыстыру

Цилиндрлік және сфералық координаттар жүйесі өзара байланысты

${ displaystyle z = r , cos theta ,}$   және   ${ displaystyle rho = r , sin theta. ,}$

Қарама-қарсы белгісі бар балама анықтама

Жалпы түсіндіргендей ағын функциясы мақала, қарама-қарсы белгілер конвенциясын қолданатын анықтамалар - Стокс ағынының функциясы мен ағынның жылдамдығы арасындағы тәуелділік үшін де қолданылады.^[3]

Нөлдік алшақтық

Цилиндрлік координаттарда алшақтық жылдамдық өрісінің сен айналады:^[4]

${ displaystyle { begin {aligned} nabla cdot { boldsymbol {u}} & = { frac {1} { rho}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай rho}} { Bigl (} rho , u _ { rho} { Bigr)} + ​​{ frac { жартылай u_ {z}} { жартылай z}} & = { frac {1} { rho}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай rho}} солға (- { frac { жартылай Psi} { жартылай z}} оңға) + { frac { жартылай} { жартылай z}} солға ({ frac {1} { rho}} { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай rho}} оңға) = 0, соңы {тураланған}}}$

қысылмайтын ағынды күткендей.

Ал сфералық координаттарда:^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} nabla cdot { boldsymbol {u}} & = { frac {1} {r , sin theta}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай тета }} (u _ { theta} , sin theta) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай r}} { Bigl (} r ^ {2} , u_ {r} { Bigr)} & = { frac {1} {r , sin theta}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай theta}} сол жақта (- { frac {1} {r}} { frac { жарым-жартылай Psi} { ішінара r}} оң) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { жартылай} { жартылай r}} солға ({ frac {1} { sin theta}} { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай theta}} оңға) = 0. соңы {тураланған }}}$

Ағындық сызықтар тұрақты ағын функциясының қисықтары ретінде

Есептеулерден белгілі болғаны градиент вектор ${ displaystyle nabla Psi}$ қисыққа қалыпты ${ displaystyle Psi = C}$ (мысалы, қараңыз) Деңгей жиынтығы # Деңгей градиентке қарсы жиынтықтар). Егер бұл барлық жерде көрсетілген болса ${ displaystyle { boldsymbol {u}} cdot nabla Psi = 0,}$ формуласын пайдаланып ${ displaystyle { boldsymbol {u}}}$ жөнінде ${ displaystyle Psi,}$ содан кейін бұл деңгей қисықтарын дәлелдейді ${ displaystyle Psi}$ ұтымды болып табылады.

Цилиндрлік координаттар

Цилиндрлік координаттарда,

${ displaystyle nabla Psi = { жарым-жартылай Psi артық жартылай rho} { boldsymbol {e}} _ { rho} + { жарым-жартылай Psi артық жартылай z} { boldsymbol {e} } _ {z}}$.

және

${ displaystyle { boldsymbol {u}} = u _ { rho} { boldsymbol {e}} _ { rho} + u_ {z} { boldsymbol {e}} _ {z} = - {1 over rho} { жарым-жартылай Psi артық жартылай z} { boldsymbol {e}} _ { rho} + {1 over rho} { жарым-жартылай Psi артық жартылай rho} { boldsymbol { e}} _ {z}.}$

Сондай-ақ

${ displaystyle nabla Psi cdot { boldsymbol {u}} = { жарым-жартылай Psi артық жартылай rho} (- {1 артық rho} { жартылай Psi артық жартылай z}) + { ішінара Psi артық жартылай z} {1 артық rho} { жартылай Psi артық жартылай rho} = 0.}$

Сфералық координаттар

Ал сфералық координаттарда

${ displaystyle nabla Psi = { жарым-жартылай Psi артық жартылай r} { boldsymbol {e}} _ {r} + {1 over r} { ішінара Psi артық жартылай theta} { boldsymbol {e}} _ { theta}}$

және

${ displaystyle { boldsymbol {u}} = u_ {r} { boldsymbol {e}} _ {r} + u _ { theta} { boldsymbol {e}} _ { theta} = {1 over r ^ {2} sin theta} { жарым-жартылай Psi артық жартылай тета} { болымды символ {e}} _ {r} - {1 үстінен r sin theta} { жартылай Psi артық ішінара r} { boldsymbol {e}} _ { theta}.}$

Сондай-ақ

${ displaystyle nabla Psi cdot { boldsymbol {u}} = { ішінара Psi артық жартылай r} cdot {1 үстінен r ^ {2} sin theta} { ішінара Psi үстінен жартылай тета} + {1 артық r} { жартылай Psi артық жартылай тета} cdot { Big (} - {1 r sin theta} {{жартылай Psi артық ішінара r} { Үлкен)} = 0.}$

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Батхелор, Г.К. (1967). Сұйықтық динамикасына кіріспе. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-66396-2.
• Тоқты, H. (1994). Гидродинамика (6-шы басылым). Кембридж университетінің баспасы. ISBN 978-0-521-45868-9. Бастапқыда 1879 жылы шыққан, 6-шы кеңейтілген басылым 1932 жылы бірінші болып шықты.
• Стокс, Г.Г. (1842). «Сығылмайтын сұйықтықтардың тұрақты қозғалысы туралы». Кембридж философиялық қоғамының операциялары. 7: 439–453. Бибкод:1848TCaPS ... 7..439S.
  Қайта басылған: Стокс, Г.Г. (1880). Математикалық және физикалық құжаттар, I том. Кембридж университетінің баспасы. бет.1–16.