WikiDer > Сплайн вейллет

1, 2, 3, 4 және 5 бұйрықтарының тығыздалған B-сплайн толқындарын көрсететін анимация.

Ішінде математикалық теория туралы толқындар, а сплайн-вейвлет - көмегімен жасалған вейвлет сплайн функциясы.^[1] Сплайн толқындарының әртүрлі түрлері бар. Интерполяторлы сплайн толқындары C.K. Чуй және Дж.З. Ванг белгілі бір негізге негізделген сплайн интерполяция формула.^[2] Бұл толқындар болғанымен ортогоналды, оларда жоқ ықшам тіректер. Белгілі бір мағынада қолданылған белгілі бір толқындар класы бар B-сплайндары және ықшам тіректері бар. Бұл толқындар ортогоналды болмаса да, оларды ерекше танымал еткен ерекше қасиеттерге ие.^[3] Терминология сплайн-вейвлет кейде сплайн толқындарының осы класындағы толқындарға сілтеме жасау үшін қолданылады. Бұл арнайы толқындар деп те аталады B-сплайн толқындар және кардиналды B-сплайн толқындар.^[4] Battle-Lemarie толқындары - бұл сплайн функцияларын қолдану арқылы жасалған толқындар.^[5]

Кардинал B-сплайндары

Келіңіздер n тұрақты болымсыз болуы керек бүтін. Келіңіздер Cⁿ барлығының жиынтығын белгілеңіз нақты бағаланатын функциялар жиынтығы бойынша анықталды нақты сандар жиындағы әрбір функция, сондай-ақ оның біріншісі n туындылар болып табылады үздіксіз барлық жерде. A екі шексіз реттілік . . . х₋₂, х₋₁, х₀, х₁, х₂,. . . осындай х_р < х_р+1 барлығына р және солай х_р r ± ± жақындағанда түйіндер жиынын анықтайды дейді ± ∞ жақындайды. A сплайн тәртіп n түйіндер жиынтығымен {х_р} функциясы S(х) Cⁿ әрқайсысы үшін р, шектеу S(х) аралыққа [х_р, х_р+1) сәйкес келеді көпмүшелік ең көп дегенде нақты коэффициенттермен n жылы х.

Егер бөлу х_р+1 - х_р, қайда р - кез келген бүтін сан, түйіндер жиынтығындағы тізбектелген түйіндер арасында тұрақты, сплайн а деп аталады кардиналды сплайн. Бүтін сандар жиыны З = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2,. . .} - бұл спинальды сплайн түйіндерінің жиынтығы үшін стандартты таңдау. Егер өзгеше көрсетілмесе, әдетте түйіндер жиыны бүтін сандар жиыны болып саналады.

Кардиналды В-сплайн - бұл кардиналды сплайнның ерекше түрі. Кез келген оң бүтін сан үшін м тәртіптің кардиналды B-сплайны м, деп белгіленеді N_м(х), рекурсивті түрде келесідей анықталады.

${ displaystyle N_ {1} (x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <1 0 & { text {әйтпесе}} end {case}}}$

${ displaystyle N_ {m} (x) = int _ {0} ^ {1} N_ {m-1} (x-t) dt}$, үшін ${ displaystyle m> 1}$.

5-ке дейінгі барлық бұйрықтардың негізгі сызықтары мен олардың графиктері үшін нақты өрнектер осы мақалада келтірілген.

В-сплайнды кардиналдардың қасиеттері

Элементтік қасиеттер

1. The қолдау туралы ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ жабық интервал ${ displaystyle [0, м]}$.
2. Функция ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ теріс емес, яғни ${ displaystyle N_ {m} (x)> 0}$ үшін ${ displaystyle 0$.
3. ${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} N_ {m} (x-k) = 1}$ барлығына ${ displaystyle x}$.
4. Тапсырыстардың маңызды B-сплайндары м және м-1 сәйкестікке байланысты: ${ displaystyle N_ {m} (x) = { frac {x} {m-1}} N_ {m-1} (x) + { frac {mx} {m-1}} N_ {m-1 } (х-1)}$.
5. Функция ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ туралы симметриялы ${ displaystyle x = { frac {m} {2}}}$, Бұл, ${ displaystyle N_ {m} сол ({ frac {m} {2}} - x оң) = N_ {m} сол ({ frac {m} {2}} + x оң)}$.
6. Туындысы ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ арқылы беріледі ${ displaystyle N_ {m} ^ { prime} (x) = N_ {m-1} (x) -N_ {m-1} (x-1)}$.
7. ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} N_ {m} (x) , dx = 1}$

Екі ауқымды қатынас

Тапсырыстың B-сплайн м келесі екі масштабты қатынасты қанағаттандырады:

${ displaystyle N_ {m} (x) = sum _ {k = 0} ^ {m} 2 ^ {- m + 1} {m таңдаңыз k} N_ {m} (2x-k)}$.

Riesz меншігі

Тапсырыстың B-сплайн м Riesz қасиеті деп аталатын келесі қасиетті қанағаттандырады: екі оң нақты сандар бар ${ displaystyle A}$ және ${ displaystyle B}$ кез-келген квадрат үшін екі жақты реттілік үшін ${ displaystyle {c_ {k} } _ {k = - infty} ^ { infty}}$ және кез келген үшін х,

${ displaystyle A left Vert {c_ {k} } right Vert ^ {2} leq left Vert sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} N_ {m} (xk) right Vert ^ {2} leq B сол Vert {c_ {k} } right Vert ^ {2}}$

қайда ${ displaystyle Vert cdot Vert}$ бұл ℓ-дағы норма²-ғарыш.

Кішкентай тапсырыстардың кардиналды В-сплайндары

Кардиналды В-сплайндары рекурсивті түрде 1-ші ретті В-сплайнынан бастап анықталады ${ displaystyle N_ {1} (x)}$, бұл [0, 1) интервалында 1 мәнін және 0 басқа жерде қабылдайды. Компьютерлік алгебра жүйелерін жоғары ретті кардиологиялық сприндер үшін нақты өрнектерді алу үшін қолдану қажет болуы мүмкін. Төменде 6-ға дейінгі барлық тапсырыстардың B-сплайндарының нақты өрнектері келтірілген. Сондай-ақ, 4-ке дейінгі тапсырыстардың кардиналды В-сплайн графиктері қойылған. Суреттерде сәйкес екі ауқымды қатынастарға ықпал ететін терминдердің графиктері де көрсетілген. Әр суреттегі екі нүкте B сплайнын қолдайтын интервалдың шеткі бөліктерін көрсетеді.

Тұрақты B-сплайн

1 ретті B-сплайн, атап айтқанда ${ displaystyle N_ {1} (x)}$, тұрақты B-сплайн. Ол анықталады

${ displaystyle N_ {1} (x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <1 0 & { text {әйтпесе}} end {case}}}$

Осы B-сплайн үшін екі масштабты қатынас

${ displaystyle N_ {1} (x) = N_ {1} (2x) + N_ {1} (2x-1)}$

Тұрақты B-сплайн ${ displaystyle N_ {1} (x)}$

Сызықтық B-сплайн

2 ретті B-сплайн, атап айтқанда ${ displaystyle N_ {2} (x)}$, бұл сызықты В-сплайн. Оны береді

${ displaystyle N_ {2} (x) = { begin {case} x & 0 leq x <1 - x + 2 & 1 leq x <2 0 & { text {әйтпесе}} end {жағдайлар}} }$

Бұл вейллет үшін екі масштабты қатынас

${ displaystyle N_ {2} (x) = { frac {1} {2}} N_ {2} (2x) + N_ {2} (2x-1) + { frac {1} {2}} N_ {2} (2х-2)}$

Сызықтық B-сплайн ${ displaystyle N_ {2} (x)}$

Квадраттық B-сплайн

3-ші реттік B-сплайн, атап айтқанда ${ displaystyle N_ {3} (x)}$, бұл квадраттық B-сплайн. Оны береді

${ displaystyle N_ {3} (x) = { begin {case} { frac {1} {2}} x ^ {2} & 0 leq x <1 - x ^ {2} + 3x- { frac {3} {2}} & 1 leq x <2 { frac {1} {2}} x ^ {2} -3x + { frac {9} {2}} & 2 leq x <3 0 & { text {әйтпесе}} end {case}}}$

Бұл вейллет үшін екі масштабты қатынас

${ displaystyle N_ {3} (x) = { frac {1} {4}} N_ {3} (2x) + { frac {3} {4}} N_ {3} (2x-1) + { frac {3} {4}} N_ {3} (2x-2) + { frac {1} {4}} N_ {3} (2x-3)}$

Квадраттық B-сплайн ${ displaystyle N_ {3} (x)}$

B кубогы

Кубты В-сплайн - 4 ретті кардинал В-сплайн, деп белгіленеді ${ displaystyle N_ {4} (x)}$. Ол келесі өрнектермен берілген:

${ displaystyle N_ {4} (x) = { begin {case} { frac {1} {6}} x ^ {3} & 0 leq x <1 - { frac {1} {2} } x ^ {3} + 2x ^ {2} -2x + { frac {2} {3}} & 1 leq x <2 { frac {1} {2}} x ^ {3} -4x ^ {2} + 10х - { frac {22} {3}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {6}} x ^ {3} + 2x ^ {2} -8x + { frac {32} {3}} & 3 leq x <4 0 & { text {әйтпесе}} end {жағдайлар}}}$

В-сплайн кубына арналған екі масштабты қатынас мынада

${ displaystyle N_ {4} (x) = { frac {1} {8}} N_ {4} (2x) + { frac {1} {2}} N_ {4} (2x-1) + { frac {3} {4}} N_ {4} (2x-2) + { frac {1} {2}} N_ {4} (2x-3) + { frac {1} {8}} N_ {4} (2х-4)}$

B кубогы ${ displaystyle N_ {4} (x)}$

Ескерту: Аңыз сары график болу керек ${ displaystyle { frac {1} {4}} N_ {4} (2x-4)}$

Екі квадраттық В-сплайн

Екі квадратты В-сплайн - 5 ретті кардинал В-сплайн, деп белгіленеді ${ displaystyle N_ {5} (x)}$. Оны береді

${ displaystyle N_ {5} (x) = { begin {case} { frac {1} {24}} x ^ {4} & 0 leq x <1 - { frac {1} {6} } x ^ {4} + { frac {5} {6}} x ^ {3} - { frac {5} {4}} x ^ {2} + { frac {5} {6}} x - { frac {5} {24}} & 1 leq x <2 { frac {1} {4}} x ^ {4} - { frac {5} {2}} x ^ {3} + { frac {35} {4}} x ^ {2} - { frac {25} {2}} x + { frac {155} {24}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {6}} x ^ {4} + { frac {5} {2}} x ^ {3} - { frac {55} {4}} x ^ {2} + { frac {65 } {2}} x - { frac {655} {24}} & 3 leq x <4 { frac {1} {24}} x ^ {4} - { frac {5} {6} } x ^ {3} + { frac {25} {4}} x ^ {2} - { frac {125} {6}} x + { frac {625} {24}} & 4 leq x <5 0 & { text {әйтпесе}} end {case}}}$

Екі масштабты қатынас

${ displaystyle N_ {5} (x) = { frac {1} {16}} N_ {5} (2x) + { frac {5} {16}} N_ {5} (2x-1) + { frac {10} {16}} N_ {5} (2x-2) + { frac {10} {16}} N_ {5} (2x-3) + { frac {5} {16}} N_ {5} (2x-4) + { frac {1} {16}} N_ {5} (2x-5)}$

Квинтикалық B-сплайн

Квинтикалық В-сплайн - бұл 6 ретті кардинал В-сплайн ${ displaystyle N_ {6} (x)}$. Оны береді

${ displaystyle N_ {6} (x) = { begin {case} { frac {1} {120}} x ^ {5} & 0 leq x <1 - { frac {1} {24} } x ^ {5} + { frac {1} {4}} x ^ {4} - { frac {1} {2}} x ^ {3} + { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {4}} x + { frac {1} {20}} & 1 leq x <2 { frac {1} {12}} x ^ {5} - x ^ {4} + { frac {9} {2}} x ^ {3} - { frac {19} {2}} x ^ {2} + { frac {39} {4}} x- { frac {79} {20}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {12}} x ^ {5} + { frac {3} {2}} x ^ {4} - { frac {21} {2}} x ^ {3} + { frac {71} {2}} x ^ {2} - { frac {231} {4}} x + { frac {731} {20}} & 3 leq x <4 { frac {1} {24}} x ^ {5} -x ^ {4} + { frac {19} {2}} x ^ {3} - { frac {89} {2}} x ^ {2} + { frac {409} {4}} x - { frac {1829} {20}} & 4 leq x <5 - { frac {1} {120}} x ^ {5} + { frac {1} {4}} x ^ {4} -3x ^ {3} + 18x ^ {2} -54x + { frac {324} {5 }} & 5 leq x <6 0 & { text {әйтпесе}} end {жағдайлар}}}$

Кардинал B-сплайндары тудыратын көп ажыратымдылықты талдау

Кардинал B-сплайн ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ тәртіп м а жасайды көп ажыратымдылықты талдау. Шын мәнінде, осы функциялардың жоғарыда келтірілген элементар қасиеттерінен функция шығады ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ болып табылады шаршы интегралды және кеңістіктің элементі болып табылады ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ квадрат интегралды функциялар. Көп ажыратымдылықты талдау үшін келесі белгілер қолданылады.

• Кез келген бүтін сандар үшін ${ displaystyle k, j}$, функциясын анықтаңыз ${ displaystyle N_ {m, kj} (x) = N_ {m} (2 ^ {k} x-j)}$.
• Әрбір бүтін сан үшін ${ displaystyle k}$, ішкі кеңістікті анықтаңыз ${ displaystyle V_ {k}}$ туралы ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ ретінде жабу туралы сызықтық аралық жиынтықтың ${ displaystyle {N_ {m, kj} (x): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$.

Бұлар көп ажыратымдылықты талдауды анықтауы келесіден туындайды:

1. Бос орындар ${ displaystyle V_ {k}}$ меншікті қанағаттандыру: ${ displaystyle cdots ішкі жиын V _ {- 2} ішкі V _ {- 1} ішкі V_ {0} ішкі V_ {1} ішкі жиын V_ {2} ішкі жиын cdots}$.
2. Жабу ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ барлық кіші кеңістіктердің бірігуінен ${ displaystyle V_ {k}}$ бұл бүкіл кеңістік ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$.
3. Барлық ішкі кеңістіктердің қиылысы ${ displaystyle V_ {k}}$ тек нөлдік функцияны қамтитын синглтон жиынтығы.
4. Әрбір бүтін сан үшін ${ displaystyle k}$ жиынтық ${ displaystyle {N_ {m, kj} (x): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ үшін сөзсіз негіз болып табылады ${ displaystyle V_ {k}}$. (Бірізділік {х_n} банах кеңістігінде X кеңістіктің сөзсіз негізі болып табылады X егер кезектіліктің әрбір ауысуы {х_n} сол кеңістіктің негізі болып табылады X.^[6])

В-сплиндерден жасалған толқындылар

Келіңіздер м бекітілген натурал сан және болуы керек ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ бұйрықтың маңызды сп-сплині болыңыз м. Функция ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ жылы ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ - бұл кардинал B-сплайн функциясына қатысты негізгі вейвлет ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ егер жабу болса ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ жиынтықтың сызықтық аралығы ${ displaystyle { psi _ {m} (x-j): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ (бұл жабу арқылы белгіленеді ${ displaystyle W_ {0}}$) болып табылады ортогоналды комплемент туралы ${ displaystyle V_ {0}}$ жылы ${ displaystyle V_ {1}}$. Жазба м жылы ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ екенін көрсету үшін қолданылады ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ бұл реттік кардинал B сплайнына қатысты негізгі вейвлет м. Бірегей негізгі вейллет жоқ ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ кардинал B-сплайнға қатысты ${ displaystyle N_ {m} (x)}$. Олардың кейбіреулері келесі бөлімдерде талқыланады.

Фундаментальды интерполяциялық сплайндарды қолданатын кардинал B сплайндарына қатысты толқындар

Іргелі интерполяциялық сплайн

Анықтамалар

Келіңіздер м бекітілген натурал сан болсын және рұқсат етіңіз ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ тәртіптің маңызды B-сплайнына айналу м. Бірізділік берілген ${ displaystyle {f_ {j}: j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ нақты сандар, ретін табу мәселесі ${ displaystyle {c_ {m, k}: k = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ нақты сандар сияқты

${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} left (j + { frac {m} {2}} - k right) = f_ { j}}$ барлығына ${ displaystyle j}$,

ретінде белгілі спинальды интерполяция проблемасы. Бұл проблеманың ерекше жағдайы ${ displaystyle {f_ {j} }}$ бұл реттілік ${ displaystyle delta _ {0j}}$, қайда ${ displaystyle delta _ {ij}}$ Kronecker дельта функциясы болып табылады ${ displaystyle delta _ {ij}}$ арқылы анықталады

${ displaystyle delta _ {ij} = { begin {case} 1, & { text {if}} i = j 0, & { text {if}} i neq j end {case} }}$,

болып табылады сплайн интерполяциясының түбегейлі проблемасы. Мәселенің шешімі келесіге әкеледі негізгі кардиналды интерполяциялық сплайн тәртіп м. Бұл сплайнды белгілейді ${ displaystyle L_ {m} (x)}$ және беріледі

${ displaystyle L_ {m} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} left (x + { frac {m} {2}} -к оң)}$

қайда реттілік ${ displaystyle {c_ {m, k} }}$ енді келесі теңдеулер жүйесінің шешімі:

${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} left (j + { frac {m} {2}} - k right) = delta _ {0j}}$

Іргелі кардиналды интерполяциялық сплайнды табу процедурасы

Интерполяторлы кардиналды сплайн ${ displaystyle L_ {m} (x)}$ көмегімен анықтауға болады Z-түрлендірулер. Келесі белгілерді қолдану

${ displaystyle A (z) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} delta _ {k0} z ^ {k} = 1,}$

${ displaystyle B_ {m} (z) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} N_ {m} left (k + { frac {m} {2}} right) z ^ { k},}$

${ displaystyle C_ {m} (z) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} z ^ {k},}$

оны реттілікті анықтайтын теңдеулерден көруге болады ${ displaystyle c_ {m, k}}$ бұл

${ displaystyle B_ {m} (z) C_ {m} (z) = A (z)}$

біз одан аламыз

${ displaystyle C_ {m} (z) = { frac {1} {B_ {m} (z)}}}$.

Мұны нақты өрнектерді алу үшін пайдалануға болады ${ displaystyle c_ {m, k}}$.

Мысал

Нақты мысал ретінде, іс ${ displaystyle L_ {4} (x)}$ тергеуге алынуы мүмкін. Анықтамасы ${ displaystyle B_ {m} (z)}$ мұны білдіреді

${ displaystyle B_ {4} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} N_ {4} (2 + k) z ^ {k}}$

-Ның нөлдік емес мәндері ${ displaystyle N_ {4} (k + 2)}$ арқылы беріледі ${ displaystyle k = -1,0,1}$ және сәйкес мәндер

${ displaystyle N_ {4} (1) = { frac {1} {6}}, N_ {4} (2) = { frac {4} {6}}, N_ {4} (3) = { frac {1} {6}}.}$

Осылайша ${ displaystyle B_ {4} (z)}$ дейін азайтады

${ displaystyle B_ {4} (z) = { frac {1} {6}} z ^ {- 1} + { frac {4} {6}} z ^ {0} + { frac {1} {6}} z ^ {1} = { frac {1 + 4z + z ^ {2}} {6z}}}$

Бұл келесі өрнекті береді ${ displaystyle C_ {4} (z)}$.

${ displaystyle C_ {4} (z) = { frac {6z} {1 + 4z + z ^ {2}}}}$

Бұл өрнекті бөлшек бөлшектерге бөлу және әр мүшені дәрежелерінде кеңейту з сақиналық аймақта ${ displaystyle c_ {4, k}}$ есептеуге болады. Содан кейін бұл мәндер өрнегінде ауыстырылады ${ displaystyle L_ {4} (x)}$ өнім беру

${ displaystyle L_ {4} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { sqrt {3}} (2 - { sqrt {3}) }) ^ {| k |} N_ {4} (x + 2-k)}$

Wavelet негізгі интерполяциялық сплайнды қолданады

Оң бүтін сан үшін м, функциясы ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ арқылы анықталады

${ displaystyle psi _ {I, m} (x) = { frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}} L_ {2m} (2x-1)}$

- бұл реттік кардинал B сплайнына қатысты негізгі вейвлет ${ displaystyle N_ {m} (x)}$. Жазба Мен жылы ${ displaystyle psi _ {I, m}}$ интерполяторлы сплайн формуласына негізделгендігін көрсету үшін қолданылады. Бұл негізгі вейллетке қолдау көрсетілмейді.

Мысал

Интерполяциялық сплайнды қолдана отырып, 2 ретті вейллет беріледі

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} L_ {4} (2x-1)}$

Үшін өрнек ${ displaystyle L_ {4} (x)}$ енді келесі формула шығады:

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { sqrt {3}} (2 - { sqrt {3}}) ^ {| k |} N_ {4} (2x + 1-k)}$

Енді туындысының өрнегін қолданып ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ жөнінде ${ displaystyle N_ {m-1} (x)}$ функциясы ${ displaystyle psi _ {2} (x)}$ келесі формада орналастырылуы мүмкін:

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} 4 { sqrt {3}} (2- { sqrt {3}}) ^ {| k |} { Үлкен (} (N_ {2} (2x + k-1) -2N_ {2} (2x + k-2) + N_ {2} (2x +) k-3) { Үлкен)}}$

Келесі бөліктік сызықтық функция - жуықтау ${ displaystyle psi _ {2} (x)}$ сәйкес мүшелердің қосындысын алу арқылы алынған ${ displaystyle k = -3, ldots, 3}$ үшін шексіз қатар өрнегінде ${ displaystyle psi _ {2} (x)}$.

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) approx { begin {case} 0.07142668x + 0.17856670 & -2.5$

Екі ауқымды қатынас

Вейвлет функциясы үшін екі масштабты қатынас ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ арқылы беріледі

${ displaystyle psi _ {I, m} (x) = sum _ {- infty} ^ { infty} q_ {n} N_ {m} (2x-n)}$ қайда ${ displaystyle q_ {n} = sum _ {j = 0} ^ {m} (- 1) ^ {j} {m select j} c_ {m + n-j-1}.}$

Ықшам қолдау көрсетілетін B-сплайн толқындар

Интерполяторлық толқындардың көмегімен жасалған сплайн толқындарға ықшам қолдау көрсетілмейді. Шағын қолдау көрсетілген B-сплайн толқындарын Чарльз К.Чуй мен Цзян-чжун Ванг ашты және 1991 жылы жарық көрді.^[3][7] Тығыз тірек B-сплайнға қатысты B-сплайн вейвлет ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ тәртіп м Чуй мен Вонг ашқан және белгілеген ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$, аралықты қолдайды ${ displaystyle [0,2м-1]}$. Бұл толқындар төменде түсіндірілген белгілі бір мағынада ерекше.

Анықтама

Ықшам қолдау көрсетілетін B-сплайн вейвлет м арқылы беріледі

${ displaystyle psi _ {C, m} (x) = { frac {1} {2 ^ {2m-1}}} sum _ {j = 0} ^ {2m-2} (- 1) ^ {j} N_ {2m} (j + 1) { frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}} N_ {2m} (2x-j)}$

Бұл м- реттік сплайн. Ерекше жағдай ретінде, 1-ретті ықшам қолдау көрсетілетін В-сплайн вейллет болып табылады

${ displaystyle psi _ {C, 1} (x) = { frac {1} {2}} N_ {2} (1) { frac {d} {dx}} N_ {2} (2x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - 1 & { frac {1} {2}} leq x <1 0 & { text {әйтпесе}} end {case}}}$

бұл белгілі Хаар вейвлет.

Қасиеттері

1. Қолдау ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ жабық интервал ${ displaystyle [0,2м-1]}$.
2. Вейллет ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ келесі мағынада минималды қолдаумен бірегей вейвлет болып табылады: Егер ${ displaystyle eta (x) W_ {0}}$ генерациялайды ${ displaystyle W_ {0}}$ және аспайтын қолдауға ие ${ displaystyle 2m-1}$ содан кейін ${ displaystyle eta (x) = c_ {0} psi _ {C, m} (x-n_ {0})}$ нөлдік емес тұрақты үшін ${ displaystyle c_ {0}}$ және кейбір бүтін сан үшін ${ displaystyle n_ {0}}$.^[8]
3. ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ жұп үшін симметриялы болады м тақ үшін антисимметрия м.

Екі ауқымды қатынас

${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ екі ауқымды қатынасты қанағаттандырады:

${ displaystyle psi _ {C, m} (x) = sum _ {n = 0} ^ {3m-2} q_ {n} N_ {m} (2x-n)}$ қайда ${ displaystyle q_ {n} = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {m-1}}} sum _ {j = 0} ^ {m} {m таңдау j} N_ {2м} (n-j + 1)}$.

Ыдырау қатынасы

Ықшам қолдау көрсетілетін В-сплайн вейллет үшін ыдырау қатынасы келесі формада болады:

${ displaystyle N_ {m} (2x-l) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} left [a_ {m, l-2k} N_ {m} (xk) + b_ {m , l-2k} psi _ {C, m} (xk) right]}$

мұндағы коэффициенттер ${ displaystyle a_ {m, j}}$ және ${ displaystyle b_ {m, j}}$ арқылы беріледі

${ displaystyle a_ {m, j} = - { frac {(-1) ^ {j}} {2}} sum _ {l = - infty} ^ { infty} q _ {- j + 2m- 2л + 1} с_ {2м, л},}$

${ displaystyle b_ {m, j} = { frac {(-1) ^ {j}} {2}} sum _ {l = - infty} ^ { infty} p _ {- j + 2m-2l +1} c_ {2м, l}.}$

Мұнда кезек ${ displaystyle c_ {2m, l}}$ - бұл тәртіптің негізгі интерполатоты кардиналды сплайн вейлеттегі коэффициенттердің реттілігі м.

Шағын тапсырыстардың B-сплайн толқындары

Ықшам қолдау көрсетілетін 1-ші реттік в-сплайн вейлетт

Ықшам қолдау көрсетілетін 1-ші реттік в-сплайн вейллет үшін екі масштабты қатынас мынандай болады

${ displaystyle psi _ {C, 1} (x) = N_ {1} (2x) -N_ {1} (2x-1)}$

Ықшам қолдау көрсетілетін 1-ші реттік в-сплайн вейлеттінің жабық формасы

${ displaystyle psi _ {C, 1} (x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - 1 & { frac {1} {2}} leq x <1 0 & { text {әйтпесе}} end {жағдайлар}}}$

Ықшам қолдау көрсетілетін 2-ші реттік в-сплайн вейлетт

Ықшам қолдау көрсетілетін 2-ші реттік в-сплайн вейллет үшін екі масштабты қатынас мынандай болады

${ displaystyle psi _ {C, 2} (x) = { frac {1} {12}} left (N_ {2} (2x) -6N_ {2} (2x-1) + 10N_ {2}) (2x-2) -6N_ {2} (2x-3) + N_ {2} (2x-4) right)}$

Ықшам қолдау көрсетілетін 2-ші реттік в-сплайн вейлетт үшін жабық форманың өрнегі болып табылады

${ displaystyle psi _ {C, 2} (x) = { begin {case} { frac {1} {6}} x & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - { frac {7} {6}} x + { frac {2} {3}} & { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {8} {3}} x- { frac {19} {6}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {8} {3}} x + { frac {29} {6}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {7} {6}} x - { frac {17} {6}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {1} {6}} x + { frac {1} {2}} & { frac {5} {2}} leq x <3 0 & { text {әйтпесе}} end {жағдайлар}}}$

3-ретті ықшам қолдау көрсетілетін B-сплайн вейллет

Ықшам қолдау көрсетілетін 3-ші реттік в-сплайн вейллет үшін екі масштабты қатынас мынандай болады

${ displaystyle psi _ {C, 3} (x) = { frac {1} {480}} { Big [} (N_ {3} (2x) -29N_ {3} (2x-1) + 147N_ {3} (2x-2) -303N_ {3} (2x-3) +}$

${ displaystyle 303N_ {3} (2x-4) -147N_ {3} (2x-5) + 29N_ {3} (2x-6) -N_ {3} (2x-7) { Big]}}$

3-ретті ықшам қолдау көрсетілетін В-сплайн вейллет үшін жабық түрдегі өрнек болып табылады

${ displaystyle psi _ {C, 3} (x) = { begin {case} { frac {1} {240}} x ^ {2} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {31} {240}} x ^ {2} + { frac {2} {15}} x - { frac {1} {30}} & { frac {1} { 2}} leq x <1 { frac {103} {120}} x ^ {2} - { frac {221} {120}} x + { frac {229} {240}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {313} {120}} x ^ {2} + { frac {1027} {120}} x - { frac {1643} { 240}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {22} {5}} x ^ {2} - { frac {779} {40}} x + { frac {339} {16}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {22} {5}} x ^ {2} + { frac {981} {40 }} x - { frac {541} {16}} & { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {313} {120}} x ^ {2} - { frac {701} {40}} x + { frac {2341} {80}} & 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {103} {120}} x ^ { 2} + { frac {809} {120}} x - { frac {3169} {240}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {31} { 240}} x ^ {2} - { frac {139} {120}} x + { frac {623} {240}} & 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {1} {240}} x ^ {2} + { frac {1} {24}} x - { frac {5} {48}} & { frac {9} {2}} leq x <5 0 & { text {әйтпесе}} end {case}}}$

4-ші ретті ықшам B-сплайн вейлетт

4-ретті ықшам қолдау көрсетілетін В-сплайн вейллет үшін екі масштабты қатынас мынандай болады

${ displaystyle psi _ {C, 4} (x) = { frac {1} {40320}} { Big [} N_ {4} (2x) -124N_ {4} (2x-1) + 1677N_ { 4} (2x-2) -7904N_ {4} (2x-3) + 18482N_ {4} (2x-4) -}$

${ displaystyle 24264N_ {4} (2x-5) + 18482N_ {4} (2x-6) -7904N_ {4} (2x-7) + 1677N_ {4} (2x-8) -124N_ {4} (2x-) 9) + N_ {4} (2x-10) { Үлкен]}}$

4-ретті ықшам қолдау көрсетілетін В-сплайн вейллет үшін жабық түрдегі өрнек болып табылады

${ displaystyle psi _ {C, 4} (x) = { begin {case} { frac {1} {30240}} x ^ {3} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {127} {30240}} x ^ {3} + { frac {2} {315}} x ^ {2} - { frac {1} {315}} x + { frac {1} {1890}} және { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {19} {280}} x ^ {3} - { frac {47} {224} } x ^ {2} + { frac {2147} {10080}} x - { frac {103} {1440}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {1109} {2520}} x ^ {3} + { frac {465} {224}} x ^ {2} - { frac {32413} {10080}} x + { frac {16559} {10080}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {5261} {3360}} x ^ {3} - { frac {33463} {3360}} x ^ {2} + { frac {42043} {2016}} x - { frac {145193} {10080}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {35033} {10080}} x ^ {3} + { frac {93577} {3360}} x ^ {2} - { frac {148517} {2016}} x + { frac {216269} {3360}} & { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {4832} {945}} x ^ {3} - { frac {27691} {560}} x ^ {2} + { frac {113923} { 720}} x - { frac {28145} {168}} және 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {4832} {945}} x ^ {3} + { frac {58393} {1008}} x ^ {2} - { frac {52223} {240}} x + { frac {2048227} {7560}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {35033} {10080}} x ^ {3} - { frac {75827} {1680}} x ^ {2} + { frac {981101} { 5040}} x - { frac {234149} {840}} & 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {5261} {3360}} x ^ {3} + { frac {38509} {1680}} x ^ {2} - { frac {112487} {1008}} x + { frac {30347} {168}} & { frac {9} {2}} leq x <5 { frac {1109} {2520}} x ^ {3} - { frac {24077} {3360}} x ^ {2} + { frac {78311} {2016}} x - { frac {141311} {2016}} & 5 leq x <{ frac {11} {2}} - { frac {19} {280}} x ^ {3} + { frac {1361} {1120 }} x ^ {2} - { frac {14617} {2016}} x + { frac {4151} {288}} & { frac {11} {2}} leq x <6 { frac {127} {30240}} x ^ {3} - { frac {55} {672}} x ^ {2} + { frac {5359} {10080}} x - { frac {11603} {10080} } & 6 leq x <{ frac {13} {2}} - { frac {1} {30240}} x ^ {3} + { frac {1} {1440}} x ^ {2} - { frac {7} {1440}} x + { frac {49} {4320}} & { frac {13} {2}} leq x <7 0 & { text {әйтпесе}}} end {істер}}}$

5-ретті ықшам қолдау көрсетілетін B-сплайн вейллет

5 ретті ықшам қолдау көрсетілетін В-сплайн вейллет үшін екі масштабты қатынас мынандай болады

${ displaystyle psi _ {C, 5} (x) = { frac {1} {5806080}} { Big [} N_ {5} (2x) -507N_ {5} (2x-1) + 17128N_ { 5} (2x-2) -166304N_ {5} (2x-3) + 748465N_ {5} (2x-4)}$

${ displaystyle -1900115N_ {5} (2x-5) + 2973560N_ {5} (2x-6) -2973560N_ {5} (2x-7) + 1900115N_ {5} (2x-8)}$

${ displaystyle -748465N_ {5} (2x-9) + 166304N_ {5} (2x-10) -17128N_ {5} (2x-11) + 507N_ {5} (2x-12) -N_ {5} (2x) -13) { Үлкен]}}$

5-ретті ықшам қолдау көрсетілетін В-сплайн вейллет үшін жабық түрдегі өрнек болып табылады

${ displaystyle psi _ {C, 5} (x) = { begin {case} { frac {1} {8709120}} x ^ {4} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {73} {1244160}} x ^ {4} + { frac {1} {8505}} x ^ {3} - { frac {1} {11340}} x ^ {2 } + { frac {1} {34020}} x - { frac {1} {272160}} & { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {9581} {4354560 }} x ^ {4} - { frac {19417} {2177280}} x ^ {3} + { frac {1303} {96768}} x ^ {2} - { frac {19609} {2177280}} x + { frac {6547} {2903040}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {118931} {4354560}} x ^ {4} + { frac {366119 } {2177280}} x ^ {3} - { frac {186253} {483840}} x ^ {2} + { frac {121121} {311040}} x - { frac {427181} {2903040}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {759239} {4354560}} x ^ {4} - { frac {3146561} {2177280}} x ^ {3} + { frac {6466601} {1451520}} x ^ {2} - { frac {13202873} {2177280}} x + { frac {26819897} {8709120}} & 2 leq x <{ frac {5} {2} } - { frac {2980409} {4354560}} x ^ {4} + { frac {5183893} {725760}} x ^ {3} - { frac {13426333} {483840}} x ^ {2 } + { frac {426589} {8960}} x - { frac {12635243} {414720}} & { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {7873577} {4354560 }} x ^ {4} - { frac {16524079} {725760}} x ^ {3} + { frac {7385369} {69120}} x ^ { 2} - { frac {17868671} {80640}} x + { frac {497668543} {290304}} & 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {14714327} {4354560 }} x ^ {4} + { frac {108543091} {2177280}} x ^ {3} - { frac {56901557} {207360}} x ^ {2} + { frac {1454458651} {2177280}} x - { frac {5286189059} {8709120}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {15619} {3402}} x ^ {4} - { frac { 33822017} {435456}} x ^ {3} + { frac {15828929} {32256}} x ^ {2} - { frac {597598433} {435456}} x + { frac {277413649} {193536}} және 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {15619} {3402}} x ^ {4} + { frac {38150335} {435456}} x ^ {3} - { frac {20157247} {32256}} x ^ {2} + { frac {859841695} {435456}} x - { frac {64472345} {27648}} & { frac {9} {2}} leq x <5 { frac {14714327} {4354560}} x ^ {4} - { frac {4466137} {62208}} x ^ {3} + { frac {165651247} {290304}} x ^ { 2} - { frac {875490655} {435456}} x + { frac {4614904015} {1741824}} & 5 leq x <{ frac {11} {2}} - { frac {7873577} {4354560 }} x ^ {4} + { frac {30717383} {725760}} x ^ {3} - { frac {179437319} {483840}} x ^ {2} + { frac {16606729} {11520}} x - { frac {869722273} {414720}} & { frac {11} {2}} leq x <6 { frac {2980409} {4354560}} x ^ {4} - { frac {12698561} {725760}} x ^ {3} + { frac {16211669} {96768}} x ^ {2} - { frac {19138891} {26880}} x + { frac {3289787993} {2903040} } & 6 leq x <{ frac {13} {2}} - { frac {759239} {4354560}} x ^ {4} + { frac {10519741} {2177280}} x ^ {3} - { frac {10403603} {207360}} x ^ {2} + { frac {71964499} {311040}} x - { frac {3481646837} {8709120}} & { frac {13} {2}} leq x <7 { frac {118931} {4354560}} x ^ {4} - { frac {1774639} {2177280}} x ^ {3} + { frac {630259} {69120}} x ^ {2} - { frac {14096161} {311040}} x + { frac {245108501} {2903040}} & 7 leq x <{ frac {15} {2}} - { frac {9581} {4354560}} x ^ {4} + { frac {21863} {311040}} x ^ {3} - { frac {407387} {483840}} x ^ {2} + { frac {9758873} {2177280 }} x - { frac {25971499} {2903040}} & { frac {15} {2}} leq x <8 { frac {73} {1244160}} x ^ {4} - { frac {4343} {2177280}} x ^ {3} + { frac {5273} {207360}} x ^ {2} - { frac {313703} {2177280}} x + { frac {380873} {1244160} } & 8 leq x <{ frac {17} {2}} - { frac {1} {8709120}} x ^ {4} + { frac {1} {241920}} x ^ {3} - { frac {1} {17920}} x ^ {2} + { frac {3} {8960}} x - { frac {27} {35840}} & { frac {17} {2}} leq x <9 0 & { text {әйтпесе}} end {жағдайлар} }}$

Ықшам қолдау көрсетілетін В-сплайнды толқындардың суреттері

В-сплайн вейлетт 1 ретті	B-сплайн вейлетт 2 ретті
B-сплайн вейлетт 3 ретті	4-ші реттік в-сплайн вейллет	5-ші реттік в-сплайн вейллет

Battle-Lemarie толқындары

Battle-Lemarie толқындары кардинал B-сплайндар класы арқылы салынған ортонормальды толқындар класын құрайды. Бұл толқындарға арналған өрнектер жиілік аймағында келтірілген; яғни олардың Фурье түрлендірулерін көрсету арқылы анықталады. Функциясының Фурье түрлендіруі т, айт ${ displaystyle F (t)}$, деп белгіленеді ${ displaystyle { hat {F}} ( omega)}$.

Анықтама

Келіңіздер м натурал сан болсын және рұқсат етіңіз ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ бұйрықтың маңызды сп-сплині болыңыз м. Фурье түрлендіруі ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ болып табылады ${ displaystyle { hat {N}} _ {m} ( omega)}$. Масштабтау функциясы ${ displaystyle phi _ {m} (t)}$ үшін м- Battle-Lemarie вейллеті - бұл Фурье түрлендіруі болатын функция