WikiDer > Көрсетілетін функция

Жылы математика, атап айтқанда категория теориясы, а ұсынылатын функция белгілі бір функция ерікті санат ішіне жиынтықтар санаты. Мұндай функционерлер белгілі құрылымдар тұрғысынан абстрактілі категорияны ұсынады (яғни.). жиынтықтар және функциялары) басқа қондырғылардағы жиынтықтар санаты туралы білімді мүмкіндігінше пайдалануға мүмкіндік беру.

Басқа жағынан, категория үшін ұсынылатын функционалдар C функционерлер болып табылады берілген бірге C. Олардың теориясы - ауқымды жалпылау жоғарғы жиынтықтар жылы позалар, және Кейли теоремасы жылы топтық теория.

Анықтама

Келіңіздер C болуы а жергілікті шағын санат және рұқсат етіңіз Орнатыңыз болуы жиынтықтар санаты. Әр объект үшін A туралы C Хомға рұқсат етіңіз (A, -) болуы үй функциясы бұл нысанды бейнелейді X жиынтыққа Hom (A,X).

A функция F : C → Орнатыңыз деп айтылады ұсынылатын егер ол болса табиғи түрде изоморфты Хомға (A, -) қандай да бір объект үшін A туралы C. A өкілдік туралы F бұл жұп (A, Φ) қайда

Φ: Hom (A,–) → F

табиғи изоморфизм болып табылады.

A қарама-қайшы функция G бастап C дейін Орнатыңыз бұл функциямен бірдей нәрсе G : C^оп → Орнатыңыз және әдетте а деп аталады алдын-ала. Алдын ала гармон Hom (-, қарама-қайшы гом-фукторына табиғи изоморфты болған кезде көрінеді.A) қандай да бір объект үшін A туралы C.

Әмбебап элементтер

Сәйкес Йонеданың леммасы, Хомның табиғи өзгерістері (A, -) дейін F элементтерімен бір-біріне сәйкес келеді F(A). Табиғи өзгерісті ескере отырып, Φ: Hom (A,–) → F сәйкес элемент сен ∈ F(A) арқылы беріледі

${ displaystyle u = Phi _ {A} ( mathrm {id} _ {A}). ,}$

Керісінше, кез-келген элемент берілген сен ∈ F(A) біз табиғи өзгерісті анықтай аламыз: Hom (A,–) → F арқылы

${ displaystyle Phi _ {X} (f) = (Ff) (u) ,}$

қайда f Хом элементі болып табылады (A,X). Ұсыну алу үшін F табиғи түрлендіру қашан пайда болатынын білгіміз келеді сен изоморфизм болып табылады. Бұл келесі анықтамаға әкеледі:

A әмбебап элемент функционал F : C → Орнатыңыз бұл жұп (A,сен) объектіден тұрады A туралы C және элемент сен ∈ F(A) әрбір жұп үшін (X,v) бірге v ∈ F(X) ерекше морфизм бар f : A → X осылай (Ff)сен = v.

Әмбебап элемент ретінде қарастырылуы мүмкін әмбебап морфизм бір нүктелі жиыннан {•} функцияға дейін F немесе ретінде бастапқы объект ішінде элементтер санаты туралы F.

Элементтің әсерінен болатын табиғи өзгеріс сен ∈ F(A) - бұл изоморфизм, егер (A,сен) - әмбебап элементі F. Сондықтан біз деген тұжырымға келеміз F әмбебап элементтерімен бір-біріне сәйкес келеді F. Осы себепті әмбебап элементтерге сілтеме жасау жиі кездеседі (A,сен) өкілдіктер ретінде.

Мысалдар

• Қарама-қайшы функцияны қарастырайық P : Орнатыңыз → Орнатыңыз ол әр жиынтығын өзіне сәйкес келтіреді қуат орнатылды және әр функция өзіне сәйкес келеді кері кескін карта. Бұл функцияны ұсыну үшін бізге жұп қажет (A,сен) қайда A жиынтығы және сен ішкі бөлігі болып табылады A, яғни P(A), барлық жиынтықтарға арналған Xүйге арналған Hom (X,A) изоморфты болып табылады P(X) арқылы_X(f) = (Pf)сен = f⁻¹(сен). Ал A = {0,1} және сен = {1}. Ішкі жиын берілген S ⊆ X бастап тиісті функция X дейін A болып табылады сипаттамалық функция туралы S.
• Ұмытшақ функционалдар дейін Орнатыңыз өте жиі ұсынылады. Атап айтқанда, ұмытшақ функцияны (A, сен) қашан болса да A Бұл тегін объект астам синглтон жиынтығы генератормен сен.
  • Ұмытшақ функция Grp → Орнатыңыз үстінде топтар санаты арқылы ұсынылған (З, 1).
  • Ұмытшақ функция Сақина → Орнатыңыз үстінде сақиналар санаты арқылы ұсынылған (З[х], х), көпмүшелік сақина бірінде айнымалы бірге бүтін коэффициенттер.
  • Ұмытшақ функция Вект → Орнатыңыз үстінде нақты векторлық кеңістіктер категориясы арқылы ұсынылған (R, 1).
  • Ұмытшақ функция Жоғары → Орнатыңыз үстінде топологиялық кеңістіктер категориясы өзінің ерекше элементімен кез-келген синглтон топологиялық кеңістігімен ұсынылған.
• A топ G санат деп санауға болады (тіпті а топоид) бір объектімен, оны біз • деп белгілейміз. Функциясы G дейін Орнатыңыз содан кейін a сәйкес келеді G-қолдану. Hom (•, -) бірегей гомфункциясы G дейін Орнатыңыз канондыққа сәйкес келеді G-қолдану G солға көбейту әрекетімен. Топтық теорияның стандартты аргументтері функцияның -дан екенін көрсетеді G дейін Орнатыңыз егер ол сәйкес болса ғана ұсынылады G-set жай өтпелі (яғни а G-торсор немесе үйінді). Өкілдікті таңдау үйінді үшін сәйкестікті таңдауға тең болады.
• Келіңіздер C категориясы болу CW кешендері үздіксіз функциялардың гомотопиялық кластары берген морфизмдермен. Әрбір натурал сан үшін n қарама-қайшы функция бар Hⁿ : C → Аб ол әр CW кешенін тағайындайды n^мың когомологиялық топ (бүтін коэффициенттермен). Мұны ұмытшақ функция бізде қарама-қайшы функция бар C дейін Орнатыңыз. Браунның ұсынылу теоремасы алгебралық топологияда бұл функцияны CW кешені ұсынады дейді Қ(З,n) деп аталады Эйленберг – МакЛейн кеңістігі.
• Келіңіздер R жеке куәлігі бар коммутативті сақина болыңыз және рұқсат етіңіз R-Мод категориясы болу R-модульдер. Егер М және N біртұтас модульдер R, ковариантты функция бар B: R-Мод → Орнатыңыз әрқайсысына тағайындайды R-модуль P жиынтығы R- екі сызықты карталар М × N → P және әрқайсысына R-модуль гомоморфизмі f : P → Q функциясы B(f) : B(P) → B(Q) әр білінетін картаны жібереді ж : М × N → P белгісіз картаға f∘ж : М × N→Q. Функция B арқылы ұсынылған R-модуль М ⊗_R N^[1].

Қасиеттері

Бірегейлік

Функционалдардың өкілдіктері бірегей изоморфизмге дейін ерекше. Яғни, егер (A₁, Φ₁) және (A₂, Φ₂) бірдей функцияны ұсынады, сонда is ерекше изоморфизм бар: A₁ → A₂ осындай

${ displaystyle Phi _ {1} ^ {- 1} circ Phi _ {2} = mathrm {Hom} ( varphi, -)}$

Хомнан табиғи изоморфизм ретінде (A₂, -) Хомға (A₁, -). Бұл факт оңай Йонеданың леммасы.

Әмбебап элементтер тұрғысынан баяндалған: егер (A₁,сен₁) және (A₂,сен₂) бірдей функцияны ұсынады, сонда is ерекше изоморфизм бар: A₁ → A₂ осындай

${ displaystyle (F varphi) u_ {1} = u_ {2}.}$

Шектерді сақтау

Көрсетілетін функциялар Hom функционалдары үшін табиғи түрде изоморфты, сондықтан олардың қасиеттерімен бөліседі. Атап айтқанда, (ковариантты) ұсынылатын функционалдар барлық шектеулерді сақтау. Демек, қандай-да бір шектеулерді сақтай алмайтын кез-келген функционал ұсынылмайды.

Қарама-қарсы ұсынылатын функционерлер колимиттерді шектерге дейін алады.

Сол жақ қосылыс

Кез-келген функция Қ : C → Орнатыңыз а сол жақта F : Орнатыңыз → C арқылы ұсынылған (FX, η_X(•)) қайда X = {•} - бұл синглтон жиынтығы және η - қосымшаның бірлігі.

Керісінше, егер Қ жұппен ұсынылған (A, сен) және бәрі кішкентай электр қуаты туралы A бар C содан кейін Қ сол жақта бар F ол әр жиынтығын жібереді Мен дейін Менкүші A.

Сондықтан, егер C бұл барлық кішігірім күштері бар санат, функционал Қ : C → Орнатыңыз егер сол жақта қосымша болған жағдайда ғана ұсынылады.

Әмбебап морфизмдер мен ассоциацияларға қатысы

Туралы категориялық ұғымдар әмбебап морфизмдер және бірлескен функционалдар екеуі де ұсынылатын функционалдардың көмегімен көрсетілуі мүмкін.

Келіңіздер G : Д. → C функционер болыңыз X объектісі болу C. Содан кейін (A, φ) - бастап әмбебап морфизм X дейін G егер және егер болса (A, φ) - бұл Hom функциясының көрінісі_C(X,G-) бастап Д. дейін Орнатыңыз. Бұдан шығатыны G сол жақ буынға ие F егер Хом болса ғана_C(X,G-) бәріне ұсынылады X жылы C. Табиғи изоморфизм Φ_X : Hom_Д.(FX, -) → Hom_C(X,G-) ассоциацияны береді; Бұл

${ Displaystyle Phi _ {X, Y} қос нүкте mathrm {Hom} _ { mathcal {D}} (FX, Y) to mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, GY )}$

барлығы үшін биекция болып табылады X және Y.

Қос пікірлер де шындыққа сәйкес келеді. Келіңіздер F : C → Д. функционер болыңыз Y объектісі болу Д.. Содан кейін (A, φ) - бастап әмбебап морфизм F дейін Y егер және (A, φ) - бұл Hom функциясының көрінісі_Д.(F–,Y) бастап C дейін Орнатыңыз. Бұдан шығатыны F оң жақтауыш бар G егер Хом болса ғана_Д.(F–,Y) бәріне ұсынылады Y жылы Д..

Сондай-ақ қараңыз

• Тақырыптық классификатор
• Тығыздық теоремасы

Әдебиеттер тізімі

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Жұмысшы математикке арналған санаттар. Математика бойынша магистратура мәтіндері 5 (2-ші басылым). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8.