А бөлігі серия қосулы Кванттық механика мен ℏ ∂ ∂ т | ψ ( т ) ⟩ = H ^ | ψ ( т ) ⟩ { displaystyle i hbar { frac { жарымжан} { жартылай t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}
Жылы кванттық механика , ықтималдық тогы (кейде аталады ықтималдық ағын ) - ағынын сипаттайтын математикалық шама ықтималдық аудан бірлігіне уақыт бірлігіне ықтималдық тұрғысынан. Нақтырақ айтқанда, егер ықтималдық тығыздығын а деп сипаттайтын болса гетерогенді сұйықтық, онда ықтималдық тогы - бұл сұйықтықтың ағу жылдамдығы. Бұл ұқсас бұқаралық токтар жылы гидродинамика және электр тоғы жылы электромагнетизм . Бұл нақты вектор , электр сияқты ағымдағы тығыздық . Ықтимал ток түсінігі кванттық механикадағы пайдалы формализм болып табылады. Ықтималдық тогы өзгермейтін астында Өлшеуіш трансформациясы .
Анықтама (релятивистік емес 3 ток)
Тегін спин-0 бөлшегі Релятивистік емес кванттық механикада ықтималдық тогы j туралы толқындық функция Ψ { displaystyle Psi} [1]
j = ℏ 2 м мен ( Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ х − Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ х ) , { displaystyle j = { frac { hbar} {2mi}} солға ( Psi ^ {*} { frac { жартылай Psi} { жартылай x}} - Psi { frac { жартылай ) Psi ^ {*}} { ішінара x}} оң),} қайда Ψ ∗ { displaystyle Psi ^ {*}} күрделі конъюгат туралы толқындық функция , а пропорционалды Вронскян W ( Ψ , Ψ ∗ ) { displaystyle W ( Psi, Psi ^ {*})}
Үш өлшемде бұл жалпылай түседі
j = ℏ 2 м мен ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) , { displaystyle mathbf {j} = { frac { hbar} {2mi}} left ( Psi ^ {*} mathbf { nabla} Psi - Psi mathbf { nabla} Psi ^ { *} оң) ,,} қайда ħ төмендетілген Планк тұрақтысы , м бөлшек масса , Ψ болып табылады толқындық функция , және ∇ мәндерін білдіреді дел немесе градиент оператор .
Тұрғысынан мұны жеңілдетуге болады кинетикалық импульс операторы ,
б ^ = − мен ℏ ∇ { displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla} алу
j = 1 2 м ( Ψ ∗ б ^ Ψ − Ψ б ^ Ψ ∗ ) . { displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p} } Psi ^ {*} дұрыс) ,.} Бұл анықтамалар позициялық негізді қолданады (яғни орналасу кеңістігі ), бірақ импульс кеңістігі мүмкін.
Электромагниттік өрістегі спин-0 бөлшегі Жоғарыда көрсетілген анықтаманы сыртқы жүйеге өзгерту керек электромагниттік өріс . Жылы SI бірліктері , а зарядталған бөлшек масса м және электр заряды q электромагниттік өріспен өзара әрекеттесуіне байланысты терминді қамтиды;[2]
j = 1 2 м [ ( Ψ ∗ б ^ Ψ − Ψ б ^ Ψ ∗ ) − 2 q A | Ψ | 2 ] { displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2q mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] , !} қайда A = A (р , t) болып табылады магниттік потенциал (аға «A Термин q A импульс өлшемдері бар. Ескертіп қой б ^ = − мен ℏ ∇ { displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla} канондық импульс және олай емес өзгермейтін индикатор , айырмашылығы кинетикалық импульс операторы P ^ = − мен ℏ ∇ − q A { displaystyle mathbf { hat {P}} = -i hbar nabla -q mathbf {A}}
Жылы Гаусс бірліктері :
j = 1 2 м [ ( Ψ ∗ б ^ Ψ − Ψ б ^ Ψ ∗ ) − 2 q c A | Ψ | 2 ] { displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2 { frac {q} {c}} mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] , !} қайда c болып табылады жарық жылдамдығы .
Айналдырус электромагниттік өрістегі бөлшек Егер бөлшек болса айналдыру , ол сәйкес келеді магниттік момент , сондықтан электромагниттік өріспен спиннің өзара әрекеттесуін қосатын қосымша термин қосу керек. SI бірліктерінде:[3]
j = 1 2 м [ ( Ψ ∗ б ^ Ψ − Ψ б ^ Ψ ∗ ) − 2 q A | Ψ | 2 ] + μ S с ∇ × ( Ψ ∗ S Ψ ) { displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2q mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] + { frac { mu _ {S}} {s}} nabla рет ( Psi ^ {*} mathbf {S} Psi) , !} қайда S болып табылады айналдыру сәйкес спиндік магниттік моменті бар бөлшектің векторыS спин кванттық саны с . Гаусс бірлігінде:
j = 1 2 м [ ( Ψ ∗ б ^ Ψ − Ψ б ^ Ψ ∗ ) − 2 q c A | Ψ | 2 ] + μ S c с ∇ × ( Ψ ∗ S Ψ ) { displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2 { frac {q} {c}} mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] + { frac { mu _ { S} c} {s}} nabla times ( Psi ^ {*} mathbf {S} Psi) , !} Классикалық механикамен байланыс
Толқындық функцияны да жазуға болады күрделі экспоненциалды (полярлы ) нысаны:[4]
Ψ = R e мен S / ℏ { displaystyle Psi = Re ^ {iS / hbar}} қайда R және S нақты функциялары болып табылады р және т .
Осылайша жазылған ықтималдық тығыздығы
ρ = Ψ ∗ Ψ = R 2 { displaystyle rho = Psi ^ {*} Psi = R ^ {2}} және ықтималдық тогы:
j = ℏ 2 м мен ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ℏ 2 м мен ( R e − мен S / ℏ ∇ R e мен S / ℏ − R e мен S / ℏ ∇ R e − мен S / ℏ ) = ℏ 2 м мен [ R e − мен S / ℏ ( e мен S / ℏ ∇ R + мен ℏ R e мен S / ℏ ∇ S ) − R e мен S / ℏ ( e − мен S / ℏ ∇ R − мен ℏ R e − мен S / ℏ ∇ S ) ] . { displaystyle { begin {aligned} mathbf {j} & = { frac { hbar} {2mi}} left ( Psi ^ {*} mathbf { nabla} Psi - Psi mathbf { nabla} Psi ^ {*} right) [5pt] & = { frac { hbar} {2mi}} left (Re ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} Re ^ {iS / hbar} -Re ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} Re ^ {- iS / hbar} right) [5pt] & = { frac { hbar} {2mi} } left [Re ^ {- iS / hbar} (e ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} R + { frac {i} { hbar}} Re ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} S) -Re ^ {iS / hbar} (e ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} R - { frac {i} { hbar}} Re ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} S) right]. end {aligned}}} Көрсеткіштер және R ∇R шарттардың күші жойылады:
= ℏ 2 м мен [ мен ℏ R 2 ∇ S + мен ℏ R 2 ∇ S ] . { displaystyle = { frac { hbar} {2mi}} сол жақта {{ frac {i} { hbar}} R ^ {2} mathbf { nabla} S + { frac {i} { hbar }} R ^ {2} mathbf { nabla} S right].} Соңында, тұрақтыларды біріктіру және жою және ауыстыру R 2 ρ-мен,
j = ρ ∇ S м . { displaystyle mathbf {j} = rho { frac { mathbf { nabla} S} {m}}.} Егер токтың таныс формуласын алсақ:
j = ρ v , { displaystyle mathbf {j} = rho mathbf {v},} қайда v бұл бөлшектің жылдамдығы (сонымен қатар топтық жылдамдық толқынның), жылдамдығын ∇-мен байланыстыра аламызС / м , бұл ∇ теңдеуімен бірдейS классикалық серпінмен б = м v . Бұл интерпретация сәйкес келеді Гамильтон-Якоби теориясы , онда
б = ∇ S { displaystyle mathbf {p} = nabla S} декарттық координаталар ∇ арқылы берілгенS , қайда S болып табылады Гамильтонның негізгі функциясы .
Мотивация
Кванттық механиканың үздіксіздік теңдеуі Ықтималдықтың анықтамасын және Шредингер теңдеуін шығару үшін қолдануға болады үздіксіздік теңдеуі , ол бар дәл сияқты формалар гидродинамика және электромагнетизм :[5]
∂ ρ ∂ т + ∇ ⋅ j = 0 { displaystyle { frac { жарым-жартылай rho} { жартылай t}} + mathbf { nabla} cdot mathbf {j} = 0} мұнда ықтималдық тығыздығы ρ { displaystyle rho ,}
ρ ( р , т ) = | Ψ | 2 = Ψ ∗ ( р , т ) Ψ ( р , т ) { displaystyle rho ( mathbf {r}, t) = | Psi | ^ {2} = Psi ^ {*} ( mathbf {r}, t) Psi ( mathbf {r}, t) ,} Егер үздіксіздік теңдеуінің екі жағын да көлемге қатысты интегралдау керек болса, солай болады
∫ V ( ∂ | Ψ | 2 ∂ т ) г. V + ∫ V ( ∇ ⋅ j ) г. V = 0 { displaystyle int _ {V} сол жақ ({ frac { жарым | | Psi | ^ {2}} { ішінара t}} оң) mathrm {d} V + int _ {V} сол жақ ( mathbf { nabla} cdot mathbf {j} right) mathrm {d} V = 0} содан кейін дивергенция теоремасы үзіліссіздік теңдеуінің баламасын білдіреді интегралдық теңдеу
∂ ∂ т ∫ V | Ψ | 2 г. V + { displaystyle { frac { жарым-жартылай} { жартылай t}} int _ {V} | Psi | ^ {2} mathrm {d} V +} S { displaystyle scriptstyle S} j ⋅ г. S = 0 { displaystyle mathbf {j} cdot mathrm {d} mathbf {S} = 0} қайда V кез келген көлем және S шекарасы болып табылады V . Бұл сақтау заңы кванттық механикадағы ықтималдық үшін.
Атап айтқанда, егер Ψ - бұл бір бөлшекті сипаттайтын толқындық функция, алдыңғы теңдеудің бірінші мүшесіндегі интеграл, уақыт туындысы, бұл шама мәнін алу ықтималдығы V бөлшектің орны өлшенгенде. Екінші мүше - бұл ықтималдықтың көлемнен шығу жылдамдығы V . Барлығы теңдеу бөлшектің ықтималдығының уақыт бойынша туындысы өлшенетіндігін айтады V ықтималдықтың ағу жылдамдығына тең V .
Потенциалдар арқылы таралу және шағылысу Аймақтарда а қадам әлеуеті немесе әлеуетті тосқауыл пайда болады, ықтималдық тогы сәйкесінше беру және шағылысу коэффициенттерімен байланысты Т және R ; олар бөлшектердің потенциалды тосқауылдан шағылу дәрежесін немесе ол арқылы берілуін өлшейді. Екеуі де қанағаттандырады:
Т + R = 1 , { displaystyle T + R = 1 ,,} қайда Т және R анықталуы мүмкін:
Т = | j т р а n с | | j мен n c | , R = | j р e f | | j мен n c | , { displaystyle T = { frac {| mathbf {j} _ { mathrm {trans}} |} {| mathbf {j} _ { mathrm {inc}} |}} ,, quad R = { frac {| mathbf {j} _ { mathrm {ref}} |} {| mathbf {j} _ { mathrm {inc}} |}} ,,} қайда j Inc , j реф және j транс сәйкесінше шағылысқан және берілген ықтималдық токтары болып табылады, ал тік жолақтар шамалар ағымдағы векторлардың. Арасындағы байланыс Т және R ықтималдықты сақтау арқылы алуға болады:
j т р а n с + j р e f = j мен n c . { displaystyle mathbf {j} _ { mathrm {trans}} + mathbf {j} _ { mathrm {ref}} = mathbf {j} _ { mathrm {inc}} ,} A тұрғысынан бірлік векторы n қалыпты тосқауылға, олар баламалы:
Т = | j т р а n с ⋅ n j мен n c ⋅ n | , R = | j р e f ⋅ n j мен n c ⋅ n | , { displaystyle T = left | { frac { mathbf {j} _ { mathrm {trans}} cdot mathbf {n}} { mathbf {j} _ { mathrm {inc}} cdot mathbf {n}}} оң | ,, qquad R = сол | { frac { mathbf {j} _ { mathrm {ref}} cdot mathbf {n}} { mathbf {j} _ { mathrm {inc}} cdot mathbf {n}}} right | ,,} мұнда абсолютті мәндер алдын алу үшін қажет Т және R жағымсыз.
Мысалдар
Ұшақ толқыны Үшін жазық толқын кеңістікте таралуы:
Ψ ( р , т ) = A e мен ( к ⋅ р − ω т ) { displaystyle Psi ( mathbf {r}, t) = , Ae ^ {i ( mathbf {k} cdot { mathbf {r}} - omega t)}} ықтималдық тығыздығы барлық жерде тұрақты;
ρ ( р , т ) = | A | 2 → ∂ | Ψ | 2 ∂ т = 0 { displaystyle rho ( mathbf {r}, t) = | A | ^ {2} rightarrow { frac { жарым-жартылай | Psi | ^ {2}} { жартылай t}} = 0} (яғни жазық толқындар стационарлық күйлер ) бірақ ықтималдық тогы нөлге тең емес - толқынның абсолютті амплитудасының квадраты бөлшектің жылдамдығынан;
j ( р , т ) = | A | 2 ℏ к м = ρ б м = ρ v { displaystyle mathbf {j} left ( mathbf {r}, t right) = left | A right | ^ {2} { hbar mathbf {k} over m} = rho { frac { mathbf {p}} {m}} = rho mathbf {v}} бөлшектің кеңістіктегі ықтималдық тығыздығына уақытқа тәуелділігі болмаса да, ол қозғалыста болуы мүмкін екендігін бейнелейді.
Қораптағы бөлшек Үшін қораптағы бөлшек , бір кеңістіктік өлшемде және ұзындықта L , аймаққа шектелген;
0 < х < L { displaystyle 0 энергетикалық жеке мемлекеттер болып табылады
Ψ n = 2 L күнә ( n π L х ) { displaystyle Psi _ {n} = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {n pi} {L}} x right)} және нөл басқа жерде. Байланысты ықтималдық токтары болып табылады
j n = мен ℏ 2 м ( Ψ n ∗ ∂ Ψ n ∂ х − Ψ n ∂ Ψ n ∗ ∂ х ) = 0 { displaystyle j_ {n} = { frac {i hbar} {2m}} left ( Psi _ {n} ^ {*} { frac { partial Psi _ {n}} { ішінара x }} - Psi _ {n} { frac { жарым-жартылай Psi _ {n} ^ {*}} { ішінара x}} оң) = 0} бері
Ψ n = Ψ n ∗ { displaystyle Psi _ {n} = Psi _ {n} ^ {*}} Дискретті анықтама
Бір өлшемдегі бөлшек үшін ℓ 2 ( З ) { displaystyle ell ^ {2} сол жақ ( mathbb {Z} оң)} H = − Δ + V { displaystyle H = - Delta + V} − Δ ≡ 2 Мен − S − S ∗ { displaystyle - Delta equiv 2I-S-S ^ { ast}} S { displaystyle S} ℓ 2 ( З ) { displaystyle ell ^ {2} сол жаққа ( mathbb {Z} оңға)} j ≡ 2 ℑ { Ψ ¯ мен v Ψ } { displaystyle j equiv 2 Im {{ bar { Psi}} iv Psi }} v { displaystyle v} v ≡ − мен [ X , H ] { displaystyle v equiv -i [X, , H]} X { displaystyle X} ℓ 2 ( З ) { displaystyle ell ^ {2} сол жаққа ( mathbb {Z} оңға)} V { displaystyle V} ℓ 2 ( З ) { displaystyle ell ^ {2} сол жаққа ( mathbb {Z} оңға)} − мен [ X , H ] = − мен [ X , − Δ ] = − мен [ X , − S − S ∗ ] = мен S − мен S ∗ { displaystyle -i [X, , H] = - i [X, , - Delta] = - i left [X, , - SS ^ { ast} right] = iS-iS ^ { ast}}
Нәтижесінде біз мыналарды табамыз: j ( х ) ≡ 2 ℑ { Ψ ¯ ( х ) мен v Ψ ( х ) } = 2 ℑ { Ψ ¯ ( х ) ( ( − S Ψ ) ( х ) + ( S ∗ Ψ ) ( х ) ) } = 2 ℑ { Ψ ¯ ( х ) ( − Ψ ( х − 1 ) + Ψ ( х + 1 ) ) } { displaystyle j left (x right) equiv 2 Im {{ bar { Psi}} (x) iv Psi (x) } = 2 Im {{ bar { Psi} } (x) left ((- S Psi) (x) + (S ^ { ast} Psi) (x) right) } = 2 Im {{ bar { Psi}} ( x) left (- Psi (x-1) + Psi (x + 1) right) }}
Әдебиеттер тізімі
^ Кванттық өріс теориясы, Д.Макмахон, Мак Грав Хилл (АҚШ), 2008 ж. ISBN 978-0-07-154382-8 ^ Кванттық механика, Баллентин, Лесли Е, т. 280, Энглвуд жарлары: Прентис Холл, 1990 ж. ^ Кванттық механика, Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Schaum’s Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (АҚШ), 2006, ISBN 978-0-07-145533-6 ^ Аналитикалық механика , Л.Н. Ханд, Дж.Д. Финч, Кембридж университетінің баспасы, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 ^ Кванттық механика, Э. Аберс, Пирсон Эд., Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 Атомдардың, молекулалардың, қатты денелердің, ядролардың және бөлшектердің кванттық физикасы (2-ші шығарылым), Р.Ресник, Р.Эйсберг, Джон Вили және Ұлдар, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
![{ mathbf j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} { mathbf {{ hat {p}}}} Psi - Psi { mathbf { { hat {p}}}} Psi ^ {*} right) -2q { mathbf {A}} | Psi | ^ {2} right] , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96930788bd83083abf68a8736c70f37ae9d942a5)
![{ mathbf j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} { mathbf {{ hat {p}}}} Psi - Psi { mathbf { { hat {p}}}} Psi ^ {*} right) -2 { frac {q} {c}} { mathbf {A}} | Psi | ^ {2} right] , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bb1663fda774575a06fe4722f610fde7b5a7da)
![{ mathbf j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} { mathbf {{ hat {p}}}} Psi - Psi { mathbf { { hat {p}}}} Psi ^ {*} right) -2q { mathbf {A}} | Psi | ^ {2} right] + { frac { mu _ {S}} {s}} nabla times ( Psi ^ {*} { mathbf {S}} Psi) , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697df00b31a92d07156a948c4039f7d6501a99b6)
![{ mathbf j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} { mathbf {{ hat {p}}}} Psi - Psi { mathbf { { hat {p}}}} Psi ^ {*} right) -2 { frac {q} {c}} { mathbf {A}} | Psi | ^ {2} right] + { frac { mu _ {S} c} {s}} nabla times ( Psi ^ {*} { mathbf {S}} Psi) , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2617382607341d76ab7f2943f416ff658607e718)
![{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {j} & = { frac { hbar} {2mi}} left ( Psi ^ {*} mathbf { nabla} Psi - Psi mathbf { nabla} Psi ^ {*} right) [5pt] & = { frac { hbar} {2mi}} left (Re ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} Re ^ {iS / hbar} -Re ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} Re ^ {- iS / hbar} right) [5pt] & = { frac { hbar} {2mi} } left [Re ^ {- iS / hbar} (e ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} R + { frac {i} { hbar}} Re ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} S) -Re ^ {iS / hbar} (e ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} R - { frac {i} { hbar}} Re ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} S) right]. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb5038f9ff83ac6a84518a510de3edb4236a0fc)
![{ displaystyle = { frac { hbar} {2mi}} сол жақта {{ frac {i} { hbar}} R ^ {2} mathbf { nabla} S + { frac {i} { hbar }} R ^ {2} mathbf { nabla} S right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caade710787092cd011bb74209c22f365bb0c65)
![{ displaystyle v equiv -i [X, , H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff86da0eb15dec9bdec0748133ae8b8fdd59d7ae)
![{ displaystyle -i [X, , H] = - i [X, , - Delta] = - i left [X, , - SS ^ { ast} right] = iS-iS ^ { ast}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bef507e40c8aa5543f2b8a2ac1a9eead7482ee4)
