WikiDer > Тербелмелі интегралдық оператор - Википедия

Жылы математикаөрісінде гармоникалық талдау, an тербелмелі интегралдық оператор болып табылады интегралдық оператор форманың

${ displaystyle T _ { lambda} u (x) = int _ { mathbf {R} ^ {n}} e ^ {i lambda S (x, y)} a (x, y) u (y) , dy, qquad x in mathbf {R} ^ {m}, quad y in mathbf {R} ^ {n},}$

функция қайда S (x, y) деп аталады фаза оператор және функция а (х, у) деп аталады таңба оператордың. λ параметр. Біреуі жиі қарастырады S (x, y) шынайы бағаланған және тегіс болу үшін және а (х, у) тегіс және ықшам қолдау көрсетіледі. Әдетте біреудің мінез-құлқы қызықтырады Т_λ λ үлкен мәндері үшін.

Тербелмелі интегралды операторлар математиканың көптеген салаларында жиі кездеседі (талдау, дербес дифференциалдық теңдеулер, интегралды геометрия, сандар теориясы) және физикада. Тербелмелі интегралдық операторлардың қасиеттері зерттелді Элиас Стейн және оның мектебі.^[1]

Хормандер теоремасы

Келесі L² → L² тербелмелі интегралды операторлардың әрекеті (немесе L² → L² операторлық норма) арқылы алынған Ларс Хормандер оның қағазында Фурье интегралдық операторлары:^[2]

Мұны ойлаңыз х, у ∈ Rⁿ, n ≥ 1. Рұқсат етіңіз S (x, y) нақты бағаланған және тегіс болыңыз және рұқсат етіңіз а (х, у) тегіс және ықшам қолдау көрсетіледі. Егер ${ displaystyle mathop { rm {det}} _ {j, k} { frac { partial ^ {2} S} { ішінара x_ {j} ішінара y_ {k}}} (x, y) 0}$ барлық жерде қолдау бойынша а (х, у), онда тұрақты болады C осындай Т_λбастапқыда анықталған тегіс функциялар, ұзарады а үздіксіз оператор бастап L²(Rⁿ) дейін L²(Rⁿ), бірге норма шектелген ${ displaystyle C lambda ^ {- n / 2}}$, кез келген λ ≥ 1 үшін:

${ displaystyle || T _ { lambda} || _ {L ^ {2} ( mathbf {R} ^ {n}) to L ^ {2} ( mathbf {R} ^ {n})}} leq C lambda ^ {- n / 2}.}$

Әдебиеттер тізімі