Бұл мақала бірнеше өзара байланысты екілік нәтижелерді модельдеу туралы. Бір оқиғаны бірнеше нәтижелермен модельдеу үшін қараңыз
көпмоминалды пробит .
Жылы статистика және эконометрика , көп айнымалы пробит моделі жалпылау болып табылады probit моделі бірнеше корреляциялық екілік нәтижелерді бірлесіп бағалау үшін қолданылады. Мысалы, егер ең болмағанда бір баланы мемлекеттік мектепке жіберу және мектеп бюджетін қолдап дауыс беру туралы шешімдер өзара байланысты деп есептелсе (екі шешім де екілік болса), онда көп өзгермелі пробит моделі оларды бірлесіп болжау үшін орынды болар еді. жеке-дара негізде екі таңдау. Бұл тәсілді бастапқыда дамытқан Сиддхарта Чиб және Эдвард Гринберг.[1]
Мысалы: екі мәнді пробит
Қарапайым пробит моделінде тек екілік тәуелді айнымалы бар Y { displaystyle Y} жасырын айнымалы Y ∗ { displaystyle Y ^ {*}} Y 1 { displaystyle Y_ {1}} Y 2 { displaystyle Y_ {2}} Y 1 ∗ { displaystyle Y_ {1} ^ {*}} Y 2 ∗ { displaystyle Y_ {2} ^ {*}}
Y 1 = { 1 егер Y 1 ∗ > 0 , 0 басқаша , { displaystyle Y_ {1} = { begin {case} 1 & { text {if}} Y_ {1} ^ {*}> 0, 0 & { text {әйтпесе}}, end {case}} } Y 2 = { 1 егер Y 2 ∗ > 0 , 0 басқаша , { displaystyle Y_ {2} = { begin {case} 1 & { text {if}} Y_ {2} ^ {*}> 0, 0 & { text {әйтпесе}}, end {case}} } бірге
{ Y 1 ∗ = X 1 β 1 + ε 1 Y 2 ∗ = X 2 β 2 + ε 2 { displaystyle { begin {case} Y_ {1} ^ {*} = X_ {1} beta _ {1} + varepsilon _ {1} Y_ {2} ^ {*} = X_ {2} beta _ {2} + varepsilon _ {2} end {case}}} және
[ ε 1 ε 2 ] ∣ X ∼ N ( [ 0 0 ] , [ 1 ρ ρ 1 ] ) { displaystyle { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} end {bmatrix}} mid X sim { mathcal {N}} left ({ begin {bmatrix}) 0 0 end {bmatrix}}, { begin {bmatrix} 1 & rho rho & 1 end {bmatrix}} right)} Екі өлшемді пробит моделін орнату мәндерін бағалауды қамтиды β 1 , β 2 , { displaystyle beta _ {1}, beta _ {2},} ρ { displaystyle rho} модельдің ықтималдығын барынша арттыру керек . Мұндай ықтималдық
L ( β 1 , β 2 ) = ( ∏ P ( Y 1 = 1 , Y 2 = 1 ∣ β 1 , β 2 ) Y 1 Y 2 P ( Y 1 = 0 , Y 2 = 1 ∣ β 1 , β 2 ) ( 1 − Y 1 ) Y 2 P ( Y 1 = 1 , Y 2 = 0 ∣ β 1 , β 2 ) Y 1 ( 1 − Y 2 ) P ( Y 1 = 0 , Y 2 = 0 ∣ β 1 , β 2 ) ( 1 − Y 1 ) ( 1 − Y 2 ) ) { displaystyle { begin {aligned} L ( beta _ {1}, beta _ {2}) = { Big (} prod & P (Y_ {1} = 1, Y_ {2} = 1 mid beta _ {1}, beta _ {2}) ^ {Y_ {1} Y_ {2}} P (Y_ {1} = 0, Y_ {2} = 1 mid beta _ {1}, бета _ {2}) ^ {(1-Y_ {1}) Y_ {2}} [8pt] & {} qquad P (Y_ {1} = 1, Y_ {2} = 0 mid beta _ {1}, бета _ {2}) ^ {Y_ {1} (1-Y_ {2})} P (Y_ {1} = 0, Y_ {2} = 0 mid beta _ {1} , beta _ {2}) ^ {(1-Y_ {1}) (1-Y_ {2})} { Big)} end {aligned}}} Жасырын айнымалыларды ауыстыру Y 1 ∗ { displaystyle Y_ {1} ^ {*}} Y 2 ∗ { displaystyle Y_ {2} ^ {*}}
∑ ( Y 1 Y 2 лн P ( ε 1 > − X 1 β 1 , ε 2 > − X 2 β 2 ) + ( 1 − Y 1 ) Y 2 лн P ( ε 1 < − X 1 β 1 , ε 2 > − X 2 β 2 ) + Y 1 ( 1 − Y 2 ) лн P ( ε 1 > − X 1 β 1 , ε 2 < − X 2 β 2 ) + ( 1 − Y 1 ) ( 1 − Y 2 ) лн P ( ε 1 < − X 1 β 1 , ε 2 < − X 2 β 2 ) ) . { displaystyle { begin {aligned} sum & { Big (} Y_ {1} Y_ {2} ln P ( varepsilon _ {1}> - X_ {1} beta _ {1}, varepsilon _ {2}> - X_ {2} beta _ {2}) [4pt] & {} quad {} + (1-Y_ {1}) Y_ {2} ln P ( varepsilon _ {) 1} <- X_ {1} beta _ {1}, varepsilon _ {2}> - X_ {2} beta _ {2}) [4pt] & {} quad {} + Y_ {1 } (1-Y_ {2}) ln P ( varepsilon _ {1}> - X_ {1} beta _ {1}, varepsilon _ {2} <- X_ {2} beta _ {2} ) [4pt] & {} quad {} + (1-Y_ {1}) (1-Y_ {2}) ln P ( varepsilon _ {1} <- X_ {1} beta _ {) 1}, varepsilon _ {2} <- X_ {2} beta _ {2}) { Big)}. End {aligned}}} Қайта жазғаннан кейін журналдың ықтималдығы функциясы келесідей болады:
∑ ( Y 1 Y 2 лн Φ ( X 1 β 1 , X 2 β 2 , ρ ) + ( 1 − Y 1 ) Y 2 лн Φ ( − X 1 β 1 , X 2 β 2 , − ρ ) + Y 1 ( 1 − Y 2 ) лн Φ ( X 1 β 1 , − X 2 β 2 , − ρ ) + ( 1 − Y 1 ) ( 1 − Y 2 ) лн Φ ( − X 1 β 1 , − X 2 β 2 , ρ ) ) . { displaystyle { begin {aligned} sum & { Big (} Y_ {1} Y_ {2} ln Phi (X_ {1} beta _ {1}, X_ {2} beta _ {2) }, rho) [4pt] & {} quad {} + (1-Y_ {1}) Y_ {2} ln Phi (-X_ {1} beta _ {1}, X_ {2 } beta _ {2}, - rho) [4pt] & {} quad {} + Y_ {1} (1-Y_ {2}) ln Phi (X_ {1} beta _ {) 1}, - X_ {2} beta _ {2}, - rho) [4pt] & {} quad {} + (1-Y_ {1}) (1-Y_ {2}) ln Phi (-X_ {1} beta _ {1}, - X_ {2} beta _ {2}, rho) { Big)}. End {aligned}}} Ескертіп қой Φ { displaystyle Phi} жинақталған үлестіру функциясы туралы екі өлшемді қалыпты үлестіру . Y 1 { displaystyle Y_ {1}} Y 2 { displaystyle Y_ {2}}
Көп айнымалы Probit
Жалпы жағдай үшін, ж мен = ( ж 1 , . . . , ж j ) , ( мен = 1 , . . . , N ) { displaystyle mathbf {y_ {i}} = (y_ {1}, ..., y_ {j}), (i = 1, ..., N)} j { displaystyle j} мен { displaystyle i} ж мен { displaystyle mathbf {y_ {i}}}
Пр ( ж мен | X мен β , Σ ) = ∫ A Дж ⋯ ∫ A 1 f N ( ж мен ∗ | X мен β , Σ ) г. ж 1 ∗ … г. ж Дж ∗ Пр ( ж мен | X мен β , Σ ) = ∫ 1 ж ∗ ∈ A f N ( ж мен ∗ | X мен β , Σ ) г. ж мен ∗ { displaystyle { begin {aligned} Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = & int _ {A_ {J}} cdots int _ {A_ {1}} f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) dy_ {1} ^ {*} нүктелер dy_ {J} ^ {*} Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = & int mathbb {1} _ {y ^ { *} in A} f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) d mathbf {y} _ {i} ^ {*} end {aligned}}} Қайда A = A 1 × ⋯ × A Дж { displaystyle A = A_ {1} times cdots times A_ {J}}
A j = { ( − ∞ , 0 ] ж j ∗ = 0 ( 0 , ∞ ) ж j ∗ = 1 { displaystyle A_ {j} = { begin {case} (- infty, 0] & y_ {j} ^ {*} = 0 (0, infty) & y_ {j} ^ {*} = 1 соңы {істер}}} Бұл жағдайда журналдың ықтималдығы функциясы болады ∑ мен = 1 N журнал Пр ( ж мен | X мен β , Σ ) { displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} log Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma)}
Қоспағанда Дж ≤ 2 { displaystyle J leq 2} GHK алгоритмі (Гьюеке, Хадживассилу, Макфадден және Кин),[2] [3] [4]
Әдебиеттер тізімі
^ Чиб, Сиддхарта; Гринберг, Эдуард (маусым 1998). «Көп вариативті пробит модельдерін талдау» . Биометрика . 85 (2): 347–361. CiteSeerX 10.1.1.198.8541 дои :10.1093 / биометр / 85.2.347 - Oxford Academic арқылы. ^ Гадживассилиу, Вассилис (1994). «40 тарау. Симуляцияны қолданатын LDV модельдерін классикалық бағалау әдістері». Эконометрика анықтамалығы . 4 : 2383–2441. дои :10.1016 / S1573-4412 (05) 80009-1 . ISBN 9780444887665 ^ Джелиазков, Иван (2010). «Модельделген ықтималдықты бағалаудың MCMC перспективалары». Эконометрикадағы жетістіктер . 26 : 3–39. дои :10.1108 / S0731-9053 (2010) 0000026005 . ISBN 978-0-85724-149-8 ^ Мандт, Стефан; Вензель, Флориан; Накадзима, Синичи; Джон, Каннингэм; Липперт, Кристоф; Клофт, Мариус (2017). «Сирек пробиттік сызықтық аралас модель» (PDF) . Машиналық оқыту . 106 (9–10): 1–22. arXiv :1507.04777 дои :10.1007 / s10994-017-5652-6 . Әрі қарай оқу
Грин, Уильям Х., Эконометрикалық талдау , жетінші басылым, Prentice-Hall, 2012 ж. 
![бастау {align}
L ( beta_1, beta_2) = Big ( prod & P (Y_1 = 1, Y_2 = 1 mid beta_1, beta_2) ^ {Y_1Y_2} P (Y_1 = 0, Y_2 = 1 mid beta_1, бета_2) ^ {(1-Y_1) Y_2} [8pt]
& {} qquad P (Y_1 = 1, Y_2 = 0 mid beta_1, beta_2) ^ {Y_1 (1-Y_2)}
P (Y_1 = 0, Y_2 = 0 mid beta_1, beta_2) ^ {(1-Y_1) (1-Y_2)} Big)
end {align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf38bbe4b310e647267a617ca2a58c4064eebf5a)
![бастау {align}
sum & Big (Y_1Y_2 ln P ( varepsilon_1> -X_1 beta_1, varepsilon_2> -X_2 beta_2) [4pt]
& {} quad {} + (1-Y_1) Y_2 ln P ( varepsilon_1 <-X_1 beta_1, varepsilon_2> -X_2 beta_2) [4pt]
& {} quad {} + Y_1 (1-Y_2) ln P ( varepsilon_1> -X_1 beta_1, varepsilon_2 <-X_2 beta_2) [4pt]
& {} quad {} + (1-Y_1) (1-Y_2) ln P ( varepsilon_1 <-X_1 beta_1, varepsilon_2 <-X_2 beta_2) Big).
end {align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d3be7e06c333f9229c4a72ce2d71f7b8d9b516)
![бастау {align}
sum & Big (Y_1Y_2 ln Phi (X_1 beta_1, X_2 beta_2, rho) [4pt]
& {} quad {} + (1-Y_1) Y_2 ln Phi (-X_1 beta_1, X_2 beta_2, - rho) [4pt]
& {} quad {} + Y_1 (1-Y_2) ln Phi (X_1 beta_1, -X_2 beta_2, - rho) [4pt]
& {} quad {} + (1-Y_1) (1-Y_2) ln Phi (-X_1 beta_1, -X_2 beta_2, rho) Big).
end {align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a4fbbede93a87fb1e470ac115113986d40c3bd)
![{ displaystyle A_ {j} = { begin {case} (- infty, 0] & y_ {j} ^ {*} = 0 (0, infty) & y_ {j} ^ {*} = 1 соңы {істер}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d994b4a97af7e06a6aece3d59dceda8735770c)
