WikiDer > Маккей графигі

Бұл мақала түсініксіз дәйексөз мәнері бар. Қолданылған сілтемелер басқа немесе дәйекті стильмен түсінікті болуы мүмкін дәйексөз және ескертпелер. (2012 жылғы қаңтар) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Аффиндік (кеңейтілген) Динкин диаграммалары

Жылы математика, Маккей графигі ақырлы өлшемді ұсыну V ақырлы топ G салмағы бар діріл құрылымын кодтау ұсыну теориясы туралы G. Әр түйін-нің қысқартылмаған көрінісін білдіреді G. Егер ${ displaystyle chi _ {i}, chi _ {j}}$ болып табылады G, онда жебе бар ${ displaystyle chi _ {i}}$ дейін ${ displaystyle chi _ {j}}$ егер және егер болса ${ displaystyle chi _ {j}}$ құрылтайшысы болып табылады тензор өнімі ${ displaystyle V otimes chi _ {i}}$. Содан кейін салмақ n_иж көрсеткі - бұл осы құрылғы қанша рет пайда болғанын білдіреді ${ displaystyle V otimes chi _ {i}}$. Шекті топтар үшін H GL (2, C), Маккей графигі H канондық ұсынуының МакКей графигі болып табылады H.

Егер G бар n қысқартылмайтын кейіпкерлер, содан кейін Картандық матрица c_V өкілдік V өлшем г. арқылы анықталады ${ displaystyle c_ {V} = (d delta _ {ij} -n_ {ij}) _ {ij}}$, мұндағы δ Kronecker атырауы. Стейнбергтің нәтижесі егер ж өкілі болып табылады конъюгатия сыныбы туралы G, содан кейін векторлар ${ displaystyle (( chi _ {i} (g)) _ {i}}$ меншікті векторлары болып табылады c_V меншікті мәндерге ${ displaystyle d- chi _ {V} (g)}$, қайда ${ displaystyle chi _ {V}}$ - бұл бейнелеудің сипаты V.

Атымен аталған МакКей корреспонденциясы Джон Маккей, SL-дің соңғы топтарының McKay графиктері арасында бір-біріне сәйкестік бар екенін айтады (2, C) және ұзартылған Динкин диаграммаларыішінде пайда болатын ADE классификациясы қарапайым Алгебралар.

Анықтама

Келіңіздер G ақырғы топ бол, V болуы а өкілдік туралы G және ${ displaystyle chi}$ оның кейіпкері болу. Келіңіздер ${ displaystyle { chi _ {1}, ldots, chi _ {d} }}$ қысқартылмайтын көріністері болуы G. Егер

${ displaystyle V otimes chi _ {i} = sum _ {j} n_ {ij} chi _ {j},}$

содан кейін Маккей графигін анықтаңыз ${ displaystyle Gamma _ {G}}$ туралы G, қатысты V, келесідей:

• Әрбір қысқартылмайтын көрінісі G түйінге сәйкес келеді ${ displaystyle Gamma _ {G}}$.
• Егер n_иж > 0, онда көрсеткі бар ${ displaystyle chi _ {i}}$ дейін ${ displaystyle chi _ {j}}$ салмақ n_иж, ретінде жазылған ${ displaystyle chi _ {i} { xrightarrow {n_ {ij}}} chi _ {j}}$, немесе кейде n_иж таңбаланбаған көрсеткілер.
• Егер n_иж = n_джи, арасындағы екі қарама-қарсы көрсеткіні белгілейміз ${ displaystyle chi _ {i}}$ және ${ displaystyle chi _ {j}}$ салмақтың бағытталмаған шеті ретінде n_иж. Сонымен қатар, егер n_иж = 1, біз салмақ белгісін алып тастаймыз.

Мәнін есептей аламыз n_иж қолдану ішкі өнім ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ қосулы кейіпкерлер:

${ displaystyle n_ {ij} = langle V otimes chi _ {i}, chi _ {j} rangle = { frac {1} {| G |}} sum _ {g in G} V (g) chi _ {i} (g) { overline { chi _ {j} (g)}}.}$

GL-нің ақырғы кіші тобының McKay графигі (2, C) оның канондық ұсынылуының МакКей графигі ретінде анықталған.

SL соңғы топтары үшін (2, C), канондық ұсыну C² өзіндік қосарланған, сондықтан n_иж = n_джи барлығына мен, j. Сонымен, SL-дің соңғы топтарының McKay графигі (2, C) бағытталмаған.

Шындығында, МакКейдің корреспонденциясы бойынша SL-нің ақырғы топшалары арасында бір-біріне сәйкестік бар (2, C) және A-D-E типті кеңейтілген Коксетер-Динкин диаграммалары.

Біз Картан матрицасын анықтаймыз c_V туралы V келесідей:

${ displaystyle c_ {V} = (d delta _ {ij} -n_ {ij}) _ {ij},}$

қайда ${ displaystyle delta _ {ij}}$ болып табылады Kronecker атырауы.

Кейбір нәтижелер

• Егер өкілдік болса V адал, сондықтан кез-келген төмендетілмейтін көрініс кейбір тензор күшінде болады ${ displaystyle V ^ { otimes k}}$және Маккей графигі V байланысты.
• Шектелген SL тобының McKay графигі (2, C) өзіндік циклдары жоқ, яғни n_II = 0 барлығы үшін мен.
• МакКей графигінің көрсеткілері SL (2, C) барлығы бір салмақ.

Мысалдар

• Айталық G = A × B, және канондық төмендетілмейтін көріністер бар c_A және c_B туралы A және B сәйкесінше. Егер ${ displaystyle chi _ {i}}$, мен = 1, ..., к, болып табылады A және ${ displaystyle psi _ {j}}$, j = 1, ..., ℓ, болып табылады B, содан кейін

${ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j} quad 1 leq i leq k, , , 1 leq j leq ell}$

болып табылады ${ displaystyle A times B}$, қайда ${ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j} (a, b) = chi _ {i} (a) psi _ {j} (b), (a, b) in A рет B}$. Бұл жағдайда бізде бар

${ displaystyle langle (c_ {A} times c_ {B}) otimes ( chi _ {i} times psi _ { ell}), chi _ {n} times psi _ {p } rangle = langle c_ {A} otimes chi _ {k}, chi _ {n} rangle cdot langle c_ {B} otimes psi _ { ell}, psi _ {p } rangle.}$

Сондықтан, МакКей графигінде көрсеткі бар G арасында ${ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j}}$ және ${ displaystyle chi _ {k} times psi _ { ell}}$ егер МакКей графигінде көрсеткі болса ғана A арасында ${ displaystyle chi _ {i}}$ және ${ displaystyle chi _ {k}}$ және МакКей графигінде көрсеткі бар B арасында ${ displaystyle psi _ {j}}$ және ${ displaystyle psi _ { ell}}$. Бұл жағдайда МакКей графигіндегі көрсеткідегі салмақ G - бұл МакКей графикасындағы сәйкес екі көрсеткі салмағының көбейтіндісі A және B.

• Феликс Клейн SL-нің ақырғы топшалары (2, C) екілік полиэдрлік топтар; барлығы SU топшаларына конъюгатталған (2, C). МакКей корреспонденциясында осы екілік полиэдрлік топтардың МакКей графиктері мен кеңейтілген Динкин диаграммалары арасында бір-біріне сәйкестік бар екендігі айтылған. Мысалы, екілік тетраэдрлік топ ${ displaystyle { overline {T}}}$ SU шығарады (2, Cматрицалар:

${ displaystyle S = left ({ begin {array} {cc} i & 0 0 & -i end {array}} right), V = left ({ begin {array} {cc} 0 & i i & 0 end {array}} right), U = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ begin {array} {cc} varepsilon & varepsilon ^ { 3} varepsilon & varepsilon ^ {7} end {array}} right),}$

қайда ε бірліктің алғашқы сегізінші тамыры. Шындығында, бізде бар

${ displaystyle { overline {T}} = {U ^ {k}, SU ^ {k}, VU ^ {k}, SVU ^ {k} mid k = 0, ldots, 5 }.}$

Конъюгатия сыныптары ${ displaystyle { overline {T}}}$ мыналар:

${ displaystyle C_ {1} = {U ^ {0} = I },}$

${ displaystyle C_ {2} = {U ^ {3} = - I },}$

${ displaystyle C_ {3} = { pm S, pm V, pm SV },}$

${ displaystyle C_ {4} = {U ^ {2}, SU ^ {2}, VU ^ {2}, SVU ^ {2} },}$

${ displaystyle C_ {5} = {- U, SU, VU, SVU },}$

${ displaystyle C_ {6} = {- U ^ {2}, - SU ^ {2}, - VU ^ {2}, - SVU ^ {2} },}$

${ displaystyle C_ {7} = {U, -SU, -VU, -SVU }.}$

Таңбалар кестесі ${ displaystyle { overline {T}}}$ болып табылады

Біріктіру сабақтары	${ displaystyle C_ {1}}$	${ displaystyle C_ {2}}$	${ displaystyle C_ {3}}$	${ displaystyle C_ {4}}$	${ displaystyle C_ {5}}$	${ displaystyle C_ {6}}$	${ displaystyle C_ {7}}$
${ displaystyle chi _ {1}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle chi _ {2}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$
${ displaystyle chi _ {3}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$
${ displaystyle chi _ {4}}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
${ displaystyle c}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle chi _ {5}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle - omega}$	${ displaystyle - omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$
${ displaystyle chi _ {6}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle - omega ^ {2}}$	${ displaystyle - omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$

Мұнда ${ displaystyle omega = e ^ {2 pi i / 3}}$. Канондық ұсыну V мұнда белгіленедіc. Ішкі өнімді қолданып, МакКей графигі ${ displaystyle { overline {T}}}$ типтің кеңейтілген Коксер-Динкин диаграммасы ${ displaystyle { tilde {E}} _ {6}}$.

Сондай-ақ қараңыз

• ADE классификациясы
• Екі жақты тетраэдрлік топ

Әдебиеттер тізімі

• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Өтірік алгебралар және өкілдік теориясымен таныстыру, Бирхязер, ISBN 978-0-387-90053-7
• Джеймс, Гордон; Либек, Мартин (2001). Топтардың көріністері мен кейіпкерлері (2-ші басылым). Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-00392-X.
• Клейн, Феликс (1884), «Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade», Тубнер, Лейбниц
• Маккей, Джон (1980), «Графиктер, ерекшеліктер және ақырғы топтар», Proc. Симптом. Таза математика., Amer. Математика. Soc., 37: 183–186, дои:10.1090 / pspum / 037/604577
• Маккей, Джон (1982), «Өкілдіктер және коксер графиктері», «Геометриялық вена», Коксетер Фестшрифт, Берлин: Шпрингер-Верлаг
• Рименшнейдер, Освальд (2005), МакКейдің беттік сингулярлыққа сәйкестігі, Геометрия мен топологиядағы ерекшеліктер, Триеста сингулярлықтың жазғы мектебі мен шеберханасының материалдары, 483–519 бет
• Штайнберг, Роберт (1985), «кіші топтары ${ displaystyle SU_ {2}}$, Динкин диаграммалары және аффиндік коксетер элементтері «, Тынық мұхит журналы, 18: 587–598