WikiDer > Легендарлы рационалды функциялар

N = 0,1,2 және 3 үшін Легендра рационалды функцияларының сызбасы х 0,01 мен 100 аралығында.

Жылы математика The Легендарлы рационалды функциялар болып табылады ортогональды функциялар [0, ∞). Оларды құрастыру арқылы алады Кейли түрлендіруі бірге Легендарлы көпмүшелер.

Деңгейдің рационалды Легендри функциясы n ретінде анықталады:

${displaystyle R_ {n} (x) = {frac {sqrt {2}} {x + 1}}, P_ {n} сол ({frac {x-1} {x + 1}} ight)}$

қайда ${displaystyle P_ {n} (x)}$ - легендарлы көпмүше. Бұл функциялар өзіндік функциялар сингулярлы Штурм-Лиувилл проблемасы:

${displaystyle (x + 1) ішінара _ {x} (xpartial _ {x} ((x + 1) v (x))) + lambda v (x) = 0}$

меншікті құндылықтармен

${displaystyle lambda _ {n} = n (n + 1),}$

Қасиеттері

Көптеген қасиеттерді бірінші типтегі Легендр полиномдарының қасиеттерінен алуға болады. Басқа қасиеттер функциялардың өзіне ғана тән.

Рекурсия

${displaystyle R_ {n + 1} (x) = {frac {2n + 1} {n + 1}}, {frac {x-1} {x + 1}}, R_ {n} (x) - {frac {n} {n + 1}}, R_ {n-1} (x) quad mathrm {for, ngeq 1}}$

және

${displaystyle 2 (2n + 1) R_ {n} (x) = (x + 1) ^ {2} (ішінара _ {x} R_ {n + 1} (x) -бөлшек _ {x} R_ {n- 1} (x)) + (x + 1) (R_ {n + 1} (x) -R_ {n-1} (x))}$

Шектеу мінез-құлық

Жетінші реттік сюжет (n = 7) Legendre рационалды функциясы көбейтіледі 1 + x үшін х 0,01-ден 100-ге дейін. Бар екенін ескеріңіз n симметриялы орналасқан нөлдер x = 1 және егер х₀ нөлге тең, содан кейін 1 / х₀ нөлге тең. Бұл қасиеттер барлық тапсырыстарға сәйкес келеді.

Мұны көрсетуге болады

${displaystyle lim _ {xightarrow infty} (x + 1) R_ {n} (x) = {sqrt {2}}}$

және

${displaystyle lim _ {xightarrow infty} xpartial _ {x} ((x + 1) R_ {n} (x)) = 0}$

Ортогоналдылық

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {m} (x), R_ {n} (x), dx = {frac {2} {2n + 1}} delta _ {nm}}$

қайда ${displaystyle delta _ {nm}}$ болып табылады Kronecker атырауы функциясы.

Ерекше мәндер

${displaystyle R_ {0} (x) = 1,}$

${displaystyle R_ {1} (x) = {frac {x-1} {x + 1}},}$

${displaystyle R_ {2} (x) = {frac {x ^ {2} -4x + 1} {(x + 1) ^ {2}}},}$

${displaystyle R_ {3} (x) = {frac {x ^ {3} -9x ^ {2} + 9x-1} {(x + 1) ^ {3}}},}$

${displaystyle R_ {4} (x) = {frac {x ^ {4} -16x ^ {3} + 36x ^ {2} -16x + 1} {(x + 1) ^ {4}}},}$

Әдебиеттер тізімі

Чжун-Цин, Ванг; Бен-Ю, Гуо (2005). «Шексіз жолақтағы тұтқыр сұйықтық ағынының аралас спектрлік әдісі». Мат Apl. Есептеу. 24 (3). дои:10.1590 / S0101-82052005000300002.