WikiDer > Kronecker шекті формуласы

Математикада классикалық Kronecker шекті формуласы at тұрақты терминін сипаттайды с = А нақты аналитикалық Эйзенштейн сериясы (немесе Epstein zeta функциясы) тұрғысынан Dedekind eta функциясы. Оның Эйзенштейн сериясына қатысты көптеген жалпыламалары бар. Ол аталған Леопольд Кронеккер.

Бірінші Kronecker шекті формуласы

(Бірінші) Kronecker шекті формуласында көрсетілген

${displaystyle E (au, s) = {pi over s-1} + 2pi (gamma -log (2) -log ({sqrt {y}} | eta (au) | ^ {2})) + O (s) -1),}$

қайда

• E(τ,с) - берілген нақты аналитикалық Эйзенштейн қатары

${displaystyle E (au, s) = sum _ {(m, n) экв (0,0)} {у ^ {с} үстінен | m au + n | ^ {2s}}}$

Re үшін (с)> 1, және басқа санның аналитикалық жалғасы бойынша с.

• . болып табылады Эйлер-Маскерони тұрақты
• τ = х + iy бірге ж > 0.
• ${displaystyle eta (au) = q ^ {1/24} prod _ {ngeq 1} (1-q ^ {n})}$, бірге q = e^{2π i τ} болып табылады Dedekind eta функциясы.

Сонымен, Эйзенштейн сериясының полюсі бар с = 1 қалдық π, ал (бірінші) Kronecker шекті формуласы -ның тұрақты мүшесін береді Лоран сериясы осы полюсте.

Kronecker екінші шекті формуласы

Екінші Kronecker шекті формуласы бұл туралы айтады

${displaystyle E_ {u, v} (au, 1) = - 2pi log | f (u-v au; au) q ^ {v ^ {2} / 2} |,}$

қайда

• сен және v нақты және екі бүтін сан емес.
• q = e^{2π i τ} және q^а = e^{2π i аτ}
• б = e^{2π i з} және б^а = e^{2π i аз}
• ${displaystyle E_ {u, v} (au, s) = sum _ {(m, n) экв (0,0)} e ^ {2pi i (mu + nv)} {y ^ {s} | m au + n | ^ {2s}}}$

Re үшін (с)> 1, және күрделі санның басқа мәндері үшін аналитикалық жалғасумен анықталады с.

• ${displaystyle f (z, au) = q ^ {1/12} (p ^ {1/2} -p ^ {- 1/2}) prod _ {ngeq 1} (1-q ^ {n} p) (1-q ^ {n} / p).}$

Сондай-ақ қараңыз

• Герглотц-Загьер функциясы

Әдебиеттер тізімі

• Серж Ланг, Эллиптикалық функциялар, ISBN 0-387-96508-4
• C. L. Siegel, Жетілдірілген аналитикалық сандар теориясы бойынша дәрістер, Тата институты 1961 ж.

Сыртқы сілтемелер

• Тарау0.pdf^{[өлі сілтеме]}