Математикада а Джексон q -Бессель функциясы (немесе негізгі Бессель функциясы ) үшеуінің бірі q - аналогтарБессель функциясы енгізген Джексон (1906a , 1906b , 1905a , 1905b ). Үшінші Джексон q -Bessel функциясы -мен бірдей Хан-Экстон q -Бессель функциясы .
Анықтама
Үш Джексон q -Bessel функциялары q -Похаммер белгісінегізгі гипергеометриялық функция ϕ { displaystyle phi}
Дж ν ( 1 ) ( х ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( х / 2 ) ν 2 ϕ 1 ( 0 , 0 ; q ν + 1 ; q , − х 2 / 4 ) , | х | < 2 , { displaystyle J _ { nu} ^ {(1)} (x; q) = { frac {(q ^ { nu +1}; q) _ { infty}} {(q; q) _ { infty}}} (x / 2) ^ { nu} {} _ {2} phi _ {1} (0,0; q ^ { nu +1}; q, -x ^ {2} / 4), quad | x | <2,} Дж ν ( 2 ) ( х ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( х / 2 ) ν 0 ϕ 1 ( ; q ν + 1 ; q , − х 2 q ν + 1 / 4 ) , х ∈ C , { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(q ^ { nu +1}; q) _ { infty}} {(q; q) _ { infty}}} (x / 2) ^ { nu} {} _ {0} phi _ {1} (; q ^ { nu +1}; q, -x ^ {2} q ^ { nu +1} / 4), quad x in mathbb {C},} Дж ν ( 3 ) ( х ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( х / 2 ) ν 1 ϕ 1 ( 0 ; q ν + 1 ; q , q х 2 / 4 ) , х ∈ C . { displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (x; q) = { frac {(q ^ { nu +1}; q) _ { infty}} {(q; q) _ { infty}}} (x / 2) ^ { nu} {} _ {1} phi _ {1} (0; q ^ { nu +1}; q, qx ^ {2} / 4), quad x in mathbb {C}.} Оларды Bessel функциясына дейін үздіксіз шектеуге келтіруге болады:
лим q → 1 Дж ν ( к ) ( х ( 1 − q ) ; q ) = Дж ν ( х ) , к = 1 , 2 , 3. { displaystyle lim _ {q - 1} J _ { nu} ^ {(k)} (x (1-q); q) = J _ { nu} (x), k = 1,2, 3.} Бірінші және екінші Джексонның арасында байланыс формуласы бар q -Bessel функциясы (Гаспер және Рахман (2004) ):
Дж ν ( 2 ) ( х ; q ) = ( − х 2 / 4 ; q ) ∞ Дж ν ( 1 ) ( х ; q ) , | х | < 2. { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = (- x ^ {2} / 4; q) _ { infty} J _ { nu} ^ {(1)} (x ; q), | x | <2.} Бүтін тәртіп үшін q -Bessel функциялары қанағаттандырады
Дж n ( к ) ( − х ; q ) = ( − 1 ) n Дж n ( к ) ( х ; q ) , n ∈ З , к = 1 , 2 , 3. { displaystyle J_ {n} ^ {(k)} (- x; q) = (- 1) ^ {n} J_ {n} ^ {(k)} (x; q), n in mathbb {Z}, k = 1,2,3.} Қасиеттері
Теріс бүтін тәртіп Қатынастарды қолдану арқылы (Гаспер және Рахман (2004) ):
( q м + 1 ; q ) ∞ = ( q м + n + 1 ; q ) ∞ ( q м + 1 ; q ) n , { displaystyle (q ^ {m + 1}; q) _ { infty} = (q ^ {m + n + 1}; q) _ { infty} (q ^ {m + 1}; q) _ {n},} ( q ; q ) м + n = ( q ; q ) м ( q м + 1 ; q ) n , м , n ∈ З , { displaystyle (q; q) _ {m + n} = (q; q) _ {m} (q ^ {m + 1}; q) _ {n}, m, n in mathbb {Z },} біз аламыз
Дж − n ( к ) ( х ; q ) = ( − 1 ) n Дж n ( к ) ( х ; q ) , к = 1 , 2. { displaystyle J _ {- n} ^ {(k)} (x; q) = (- 1) ^ {n} J_ {n} ^ {(k)} (x; q), k = 1,2 .} Нөлдер Хан бұл туралы айтты Дж ν ( 2 ) ( х ; q ) { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q)} Хахн (1949 )). Исмаил мұны дәлелдеді ν > − 1 { displaystyle nu> -1} Дж ν ( 2 ) ( х ; q ) { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q)} Исмаил (1982 )).
Қатынасы q -Bessel функциялары Функция − мен х − 1 / 2 Дж ν + 1 ( 2 ) ( мен х 1 / 2 ; q ) / Дж ν ( 2 ) ( мен х 1 / 2 ; q ) { displaystyle -ix ^ {- 1/2} J _ { nu +1} ^ {(2)} (ix ^ {1/2}; q) / J _ { nu} ^ {(2)} (ix ^ {1/2}; q)} толық монотонды функция (Исмаил (1982 )).
Қайталанатын қатынастар Бірінші және екінші Джексон q -Bessel функциясы келесі қайталану қатынастарына ие (қараңыз) Исмаил (1982) және Гаспер және Рахман (2004) ):
q ν Дж ν + 1 ( к ) ( х ; q ) = 2 ( 1 − q ν ) х Дж ν ( к ) ( х ; q ) − Дж ν − 1 ( к ) ( х ; q ) , к = 1 , 2. { displaystyle q ^ { nu} J _ { nu +1} ^ {(k)} (x; q) = { frac {2 (1-q ^ { nu})} {x}} J_ { nu} ^ {(k)} (x; q) -J _ { nu -1} ^ {(k)} (x; q), k = 1,2.} Дж ν ( 1 ) ( х q ; q ) = q ± ν / 2 ( Дж ν ( 1 ) ( х ; q ) ± х 2 Дж ν ± 1 ( 1 ) ( х ; q ) ) . { displaystyle J _ { nu} ^ {(1)} (x { sqrt {q}}; q) = q ^ { pm nu / 2} left (J _ { nu} ^ {(1) } (x; q) pm { frac {x} {2}} J _ { nu pm 1} ^ {(1)} (x; q) right).} Теңсіздіктер Қашан ν > − 1 { displaystyle nu> -1} q -Bessel функциясы мыналарды қанағаттандырады: | Дж ν ( 2 ) ( з ; q ) | ≤ ( − q ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( | з | 2 ) ν эксп { журнал ( | з | 2 q ν / 4 ) 2 журнал q } . { displaystyle left | J _ { nu} ^ {(2)} (z; q) right | leq { frac {(- { sqrt {q}}; q) _ { infty}} { (q; q) _ { infty}}} сол жақ ({ frac {| z |} {2}} оң) ^ { nu} exp left {{ frac { log left ( | z | ^ {2} q ^ { nu} / 4 right)} {2 log q}} right }.} 2006 ).)
Үшін n ∈ З { displaystyle n in mathbb {Z}} | Дж n ( 2 ) ( з ; q ) | ≤ ( − q n + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( | з | 2 ) n ( − | з | 2 ; q ) ∞ . { displaystyle left | J_ {n} ^ {(2)} (z; q) right | leq { frac {(-q ^ {n + 1}; q) _ { infty}} {( q; q) _ { infty}}} left ({ frac {| z |} {2}} right) ^ {n} (- | z | ^ {2}; q) _ { infty} .} 1993 ).)
Функцияны құру Келесі формулалар: q - Bessel функциясының генераторлық функциясының аналогы (қараңыз) Гаспер және Рахман (2004) ):
∑ n = − ∞ ∞ т n Дж n ( 2 ) ( х ; q ) = ( − х 2 / 4 ; q ) ∞ e q ( х т / 2 ) e q ( − х / 2 т ) , { displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} t ^ {n} J_ {n} ^ {(2)} (x; q) = (- x ^ {2} / 4; q ) _ { infty} e_ {q} (xt / 2) e_ {q} (- x / 2t),} ∑ n = − ∞ ∞ т n Дж n ( 3 ) ( х ; q ) = e q ( х т / 2 ) E q ( − q х / 2 т ) . { displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} t ^ {n} J_ {n} ^ {(3)} (x; q) = e_ {q} (xt / 2) E_ { q} (- qx / 2t).} e q { displaystyle e_ {q}} q - экспоненциалды
Альтернативті өкілдіктер
Интегралды өкілдіктер Екінші Джексон q -Bessel функциясының келесі интегралды көріністері бар (қараңыз) Рахман (1987) және Исмаил & Чжан (2018a) ):
Дж ν ( 2 ) ( х ; q ) = ( q 2 ν ; q ) ∞ 2 π ( q ν ; q ) ∞ ( х / 2 ) ν ⋅ ∫ 0 π ( e 2 мен θ , e − 2 мен θ , − мен х q ( ν + 1 ) / 2 2 e мен θ , − мен х q ( ν + 1 ) / 2 2 e − мен θ ; q ) ∞ ( e 2 мен θ q ν , e − 2 мен θ q ν ; q ) ∞ г. θ , { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(q ^ {2 nu}; q) _ { infty}} {2 pi (q ^ {) nu}; q) _ { infty}}} (x / 2) ^ { nu} cdot int _ {0} ^ { pi} { frac { left (e ^ {2i theta}, e ^ {- 2i theta}, - { frac {ixq ^ {( nu +1) / 2}} {2}} e ^ {i theta}, - { frac {ixq ^ {( nu +1) / 2}} {2}} e ^ {- i theta}; q right) _ { infty}} {(e ^ {2i theta} q ^ { nu}, e ^ {- 2i theta} q ^ { nu}; q) _ { infty}}} , d theta,} ( а 1 , а 2 , ⋯ , а n ; q ) ∞ := ( а 1 ; q ) ∞ ( а 2 ; q ) ∞ ⋯ ( а n ; q ) ∞ , ℜ ν > 0 , { displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, cdots, a_ {n}; q) _ { infty}: = (a_ {1}; q) _ { infty} (a_ {2}; q) _ { infty} cdots (a_ {n}; q) _ { infty}, Re nu> 0,} қайда ( а ; q ) ∞ { displaystyle (a; q) _ { infty}} q -Похаммер белгісі q → 1 { displaystyle q - 1}
Дж ν ( 2 ) ( з ; q ) = ( з / 2 ) ν 2 π журнал q − 1 ∫ − ∞ ∞ ( q ν + 1 / 2 з 2 e мен х 4 ; q ) ∞ эксп ( х 2 журнал q 2 ) ( q , − q ν + 1 / 2 e мен х ; q ) ∞ г. х . { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (z; q) = { frac {(z / 2) ^ { nu}} { sqrt {2 pi log q ^ {- 1} }}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { left ({ frac {q ^ { nu +1/2} z ^ {2} e ^ {ix}} {4 }}; q оң) _ { infty} exp сол ({ frac {x ^ {2}} { log q ^ {2}}} оң)} {(q, -q ^ { nu +1/2} e ^ {ix}; q) _ { infty}}} , dx.} Гипергеометриялық көріністер Екінші Джексон q -Bessel функциясы келесі гипергеометриялық көріністерге ие (қараңыз Koelink (1993 ), Чен, Исмаил және Мутталиб (1994 )):
Дж ν ( 2 ) ( х ; q ) = ( х / 2 ) ν ( q ; q ) ∞ 1 ϕ 1 ( − х 2 / 4 ; 0 ; q , q ν + 1 ) , { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(x / 2) ^ { nu}} {(q; q) _ { infty}}} _ {1} phi _ {1} (- x ^ {2} / 4; 0; q, q ^ { nu +1}),} Дж ν ( 2 ) ( х ; q ) = ( х / 2 ) ν ( q ; q ) ∞ 2 ( q ; q ) ∞ [ f ( х / 2 , q ( ν + 1 / 2 ) / 2 ; q ) + f ( − х / 2 , q ( ν + 1 / 2 ) / 2 ; q ) ] , f ( х , а ; q ) := ( мен а х ; q ) ∞ 3 ϕ 2 ( а , − а , 0 − q , мен а х ; q , q ) . { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(x / 2) ^ { nu} ({ sqrt {q}}; q) _ { infty} } {2 (q; q) _ { infty}}} [f (x / 2, q ^ {( nu +1/2) / 2}; q) + f (-x / 2, q ^ { ( nu +1/2) / 2}; q)], f (x, a; q): = (iax; { sqrt {q}}) _ { infty} _ {3} phi _ {2} left ({ begin {matrix} a, & - a, & 0 - { sqrt {q}}, & iax end {matrix}}; { sqrt {q}}, { sqrt {q}} оң).} Асимптотикалық кеңеюді екінші формуланың бірден салдары ретінде алуға болады.
Басқа гипергеометриялық көріністерді қараңыз Рахман (1987) .
Өзгертілді q -Bessel функциялары
The q - модификацияланған Bessel функцияларының аналогы Джексонмен анықталған q -Bessel функциясы (Исмаил (1981) және Ольшанецкий және Рогов (1995) ):
Мен ν ( j ) ( х ; q ) = e мен ν π / 2 Дж ν ( j ) ( х ; q ) , j = 1 , 2. { displaystyle I _ { nu} ^ {(j)} (x; q) = e ^ {i nu pi / 2} J _ { nu} ^ {(j)} (x; q), j = 1,2.} Қ ν ( j ) ( х ; q ) = π 2 күнә ( π ν ) { Мен − ν ( j ) ( х ; q ) − Мен ν ( j ) ( х ; q ) } , j = 1 , 2 , ν ∈ C − З , { displaystyle K _ { nu} ^ {(j)} (x; q) = { frac { pi} {2 sin ( pi nu)}} left {I _ {- nu} ^ {(j)} (x; q) -I _ { nu} ^ {(j)} (x; q) right }, j = 1,2, nu in mathbb {C} - mathbb {Z},} Қ n ( j ) ( х ; q ) = лим ν → n Қ ν ( j ) ( х ; q ) , n ∈ З . { displaystyle K_ {n} ^ {(j)} (x; q) = lim _ { nu to n} K _ { nu} ^ {(j)} (x; q), n in mathbb {Z}.} Өзгертілген q-Bessel функциялары арасында байланыс формуласы бар:
Мен ν ( 2 ) ( х ; q ) = ( − х 2 / 4 ; q ) ∞ Мен ν ( 1 ) ( х ; q ) . { displaystyle I _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = (- x ^ {2} / 4; q) _ { infty} I _ { nu} ^ {(1)} (x) ; q).} Статистикалық қосымшаларды қараңыз Кемп (1997) harvtxt қатесі: мақсат жоқ: CITEREFKemp1997 (Көмектесіңдер ) .
Қайталанатын қатынастар Джексонның қайталану қатынасы бойынша q -Bessel функциялары және модификацияланған анықтамасы q -Bessel функциялары, келесі қайталану қатынасын алуға болады ( Қ ν ( j ) ( х ; q ) { displaystyle K _ { nu} ^ {(j)} (x; q)} Исмаил (1981) ):
q ν Мен ν + 1 ( j ) ( х ; q ) = 2 з ( 1 − q ν ) Мен ν ( j ) ( х ; q ) + Мен ν − 1 ( j ) ( х ; q ) , j = 1 , 2. { displaystyle q ^ { nu} I _ { nu +1} ^ {(j)} (x; q) = { frac {2} {z}} (1-q ^ { nu}) I_ { nu} ^ {(j)} (x; q) + I _ { nu -1} ^ {(j)} (x; q), j = 1,2.} Басқа қайталанатын қатынастарды қараңыз Ольшанецкий және Рогов (1995) .
Бөлшекті ұсынуды жалғастыру Өзгертілген қатынас q -Bessel функциялары жалғасқан бөлшекті құрайды (Исмаил (1981) ):
Мен ν ( 2 ) ( з ; q ) Мен ν − 1 ( 2 ) ( з ; q ) = 1 2 ( 1 − q ν ) / з + q ν 2 ( 1 − q ν + 1 ) / з + q ν + 1 2 ( 1 − q ν + 2 ) / з + ⋱ . { displaystyle { frac {I _ { nu} ^ {(2)} (z; q)} {I _ { nu -1} ^ {(2)} (z; q)}} = { cfrac { 1} {2 (1-q ^ { nu}) / z + { cfrac {q ^ { nu}} {2 (1-q ^ { nu +1}) / z + { cfrac {q ^ { nu +1}} {2 (1-q ^ { nu +2}) / z + ddots}}}}}}.} Альтернативті өкілдіктер Гипергеометриялық көріністер Функция Мен ν ( 2 ) ( з ; q ) { displaystyle I _ { nu} ^ {(2)} (z; q)} Исмаил & Чжан (2018b) ):
Мен ν ( 2 ) ( з ; q ) = ( з / 2 ) ν ( q , q ) ∞ 1 ϕ 1 ( з 2 / 4 ; 0 ; q , q ν + 1 ) . { displaystyle I _ { nu} ^ {(2)} (z; q) = { frac {(z / 2) ^ { nu}} {(q, q) _ { infty}}} {} _ {1} phi _ {1} (z ^ {2} / 4; 0; q, q ^ { nu +1}).} Интегралды өкілдіктер Өзгертілген q -Bessel функциялары келесі интегралды көріністерге ие (Исмаил (1981) ):
Мен ν ( 2 ) ( з ; q ) = ( з 2 / 4 ; q ) ∞ ( 1 π ∫ 0 π cos ν θ г. θ ( e мен θ з / 2 ; q ) ∞ ( e − мен θ з / 2 ; q ) ∞ − күнә ν π π ∫ 0 ∞ e − ν т г. т ( − e т з / 2 ; q ) ∞ ( − e − т з / 2 ; q ) ∞ ) , { displaystyle I _ { nu} ^ {(2)} (z; q) = left (z ^ {2} / 4; q right) _ { infty} left ({ frac {1} {) pi}} int _ {0} ^ { pi} { frac { cos nu theta , d theta} { left (e ^ {i theta} z / 2; q right) _ { infty} сол (e ^ {- i theta} z / 2; q оң) _ { infty}}} - { frac { sin nu pi} { pi}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- nu t} , dt} { left (-e ^ {t} z / 2; q right) _ { infty} сол (-e ^ {- t} z / 2; q right) _ { infty}}} right),} Қ ν ( 1 ) ( з ; q ) = 1 2 ∫ 0 ∞ e − ν т г. т ( − e т / 2 з / 2 ; q ) ∞ ( − e − т / 2 з / 2 ; q ) ∞ , | аргумент з | < π / 2 , { displaystyle K _ { nu} ^ {(1)} (z; q) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- nu t} , dt} { сол (-e ^ {t / 2} z / 2; q оң) _ { infty} сол (-e ^ {- t / 2} z / 2; q оң) _ { жарамсыз}}}, | arg z | < pi / 2,} Қ ν ( 1 ) ( з ; q ) = ∫ 0 ∞ қош ν г. т ( − e т / 2 з / 2 ; q ) ∞ ( − e − т / 2 з / 2 ; q ) ∞ . { displaystyle K _ { nu} ^ {(1)} (z; q) = int _ {0} ^ { infty} { frac { cosh nu , dt} { left (-e ^ {t / 2} z / 2; q right) _ { infty} сол (-e ^ {- t / 2} z / 2; q right) _ { infty}}}.} Сондай-ақ қараңыз
Әдебиеттер тізімі
Чен, Ян; Исмаил, Моурад Е. Х .; Мутталиб, К.А. (1994), «Бессельдің негізгі функцияларының асимптотикасы және q -Лагералық көпмүшелер », Есептеу және қолданбалы математика журналы , 54 (3): 263–272, дои :10.1016 / 0377-0427 (92) 00128-т Гаспер, Г .; Рахман, М. (2004), Негізгі гипергеометриялық қатарлар , Математика энциклопедиясы және оның қосымшалары, 96 (2-ші басылым), Кембридж университетінің баспасы , ISBN 978-0-521-83357-8 МЫРЗА 2128719 Хан, Вольфганг (1949), «Über Ortogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen», Mathematische Nachrichten 2 : 4–34, дои :10.1002 / mana.19490020103 , ISSN 0025-584X , МЫРЗА 0030647 Исмаил, Моурад Е. (1981), «Бессельдің негізгі функциялары және көпмүшелері», Математикалық анализ бойынша SIAM журналы , 12 (3): 454–468, дои :10.1137/0512038 Исмаил, Моурад Е. (1982), «Бессельдің негізгі функцияларының нөлдері, функциялары Дж ν +балта (х ) және байланысты ортогоналды көпмүшелер «, Математикалық анализ және қолдану журналы 86 (1): 1–19, дои :10.1016 / 0022-247X (82) 90248-7 , ISSN 0022-247X , МЫРЗА 0649849 Исмаил, М. Е. Х .; Zhang, R. (2018a), «Интегралды және сериялық ұсыныстар q -Полиномдар мен функциялар: I бөлім «, Талдау және қолдану , 16 (2): 209–281, arXiv :1604.08441 дои :10.1142 / S0219530517500129 Исмаил, М. Е. Х .; Чжан, Р. (2018б), «q -Bessel функциялары және Роджерс-Раманужан типтері », Американдық математикалық қоғамның еңбектері , 146 (9): 3633–3646, arXiv :1508.06861 дои :10.1090 / proc / 13078 Джексон, Ф. Х. (1906a), «I. - Легандр мен Бессельдің жалпыланған функциялары туралы», Эдинбург Корольдік Қоғамының операциялары , 41 (1): 1–28, дои :10.1017 / S0080456800080017 Джексон, Ф. Х (1906б), «VI. - Бессель функциясын жалпылауға қатысты теоремалар» , Эдинбург Корольдік Қоғамының операциялары , 41 (1): 105–118, дои :10.1017 / S0080456800080078 Джексон, Ф.Х (1906ж), «XVII. - Бессель функциясын жалпылауға байланысты теоремалар» , Эдинбург Корольдік Қоғамының операциялары , 41 (2): 399–408, дои :10.1017 / s0080456800034475 , JFM 36.0513.02 Джексон, Ф.Х (1905а), «Негізгі сандарды Бессель мен Легендраның функцияларына қолдану» , Лондон математикалық қоғамының еңбектері , 2, 2 (1): 192–220, дои :10.1112 / plms / s2-2.1.192 Джексон, Ф.Х (1905б), «Негізгі сандарды Бессель мен Легендраның функцияларына қолдану (екінші қағаз)» , Лондон математикалық қоғамының еңбектері , 2, 3 (1): 1–23, дои :10.1112 / plms / s2-3.1.1 Koelink, H. T. (1993), «Hansen-Lommel үшін Джексон үшін ортогоналды қатынастар q -Bessel функциялары «, Математикалық анализ және қолдану журналы 175 (2): 425–437, дои :10.1006 / jmaa.1993.1181 Ольшанецкий, М. А .; Рогов, В.Б (1995), «Өзгертілген q -Bessel функциялары және q -Bessel-Macdonald функциялары «, arXiv :q-alg / 9509013 Рахман, М. (1987), «Интегралды ұсыну және кейбір түрлендіру қасиеттері q -Bessel функциялары «, Математикалық анализ және қолдану журналы 125 : 58–71, дои :10.1016 / 0022-247x (87) 90164-8 Чжан, Р. (2006), «Планчерел-Ротач асимптотикасы q -Сериялар «, arXiv :математика / 0612216 
![{ displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(x / 2) ^ { nu} ({ sqrt {q}}; q) _ { infty} } {2 (q; q) _ { infty}}} [f (x / 2, q ^ {( nu +1/2) / 2}; q) + f (-x / 2, q ^ { ( nu +1/2) / 2}; q)], f (x, a; q): = (iax; { sqrt {q}}) _ { infty} _ {3} phi _ {2} left ({ begin {matrix} a, & - a, & 0 - { sqrt {q}}, & iax end {matrix}}; { sqrt {q}}, { sqrt {q}} оң).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17438ed54797c32a49c6463065678d5e9bd06548)
