Фуджикаваның әдісі алу тәсілі болып табылады хиральды аномалия жылы өрістің кванттық теориясы .
Айталық, а Дирак өрісі ρ α-ға сәйкес өзгереді өкілдік туралы ықшам Lie group G ; және бізде фон бар байланыс формасы мәндерін қабылдау Алгебра ж . { displaystyle { mathfrak {g}} ,.} Дирак операторы (in.) Feynman көлбеу жазбасы ) болып табылады
Д. / = г. e f ∂ / + мен A / { displaystyle D ! ! ! ! / { stackrel { mathrm {def}} {=}} жарым-жартылай ! ! ! / + iA ! ! ! /} және фермиондық әрекет арқылы беріледі
∫ г. г. х ψ ¯ мен Д. / ψ { displaystyle int d ^ {d} x , { overline { psi}} iD ! ! ! ! / psi} The бөлім функциясы болып табылады
З [ A ] = ∫ Д. ψ ¯ Д. ψ e − ∫ г. г. х ψ ¯ мен Д. / ψ . { displaystyle Z [A] = int { mathcal {D}} { overline { psi}} { mathcal {D}} psi , e ^ {- int d ^ {d} x , { overline { psi}} iD ! ! ! / , psi}.} The осьтік симметрия трансформация барады
ψ → e мен γ г. + 1 α ( х ) ψ { displaystyle psi to e ^ {i gamma _ {d + 1} alpha (x)} psi ,} ψ ¯ → ψ ¯ e мен γ г. + 1 α ( х ) { displaystyle { overline { psi}} to { overline { psi}} e ^ {i gamma _ {d + 1} alpha (x)}} S → S + ∫ г. г. х α ( х ) ∂ μ ( ψ ¯ γ μ γ г. + 1 ψ ) { displaystyle S to S + int d ^ {d} x , альфа (х) жартылай _ { mu} сол жақ ({ сызықша { psi}} гамма ^ { му} гамма _ {d + 1} psi оң)} Классикалық түрде, бұл хиральды ток, j г. + 1 μ ≡ ψ ¯ γ μ γ г. + 1 ψ { displaystyle j_ {d + 1} ^ { mu} equiv { overline { psi}} gamma ^ { mu} gamma _ {d + 1} psi} 0 = ∂ μ j г. + 1 μ { displaystyle 0 = ішінара _ { mu} j_ {d + 1} ^ { mu}}
Кванттық механикалық түрде хираль тогы сақталмайды: Джекив мұны үшбұрыш диаграммасының жоғалып кетпеуіне байланысты ашты. Фуджикава мұны хиральді трансформация кезіндегі бөлім функциясының өзгерісі ретінде қайта түсіндірді. Хиральды түрлендіру кезіндегі өлшемнің өзгеруін есептеу үшін алдымен Дирак фермиондарын меншікті векторлар негізінде қарастырыңыз Дирак операторы :
ψ = ∑ мен ψ мен а мен , { displaystyle psi = sum limit _ {i} psi _ {i} a ^ {i},} ψ ¯ = ∑ мен ψ мен б мен , { displaystyle { overline { psi}} = sum limits _ {i} psi _ {i} b ^ {i},} қайда { а мен , б мен } { displaystyle {a ^ {i}, b ^ {i} }} Grassmann бағаланатын коэффициенттер, және { ψ мен } { displaystyle { psi _ {i} }} Дирак операторы :
Д. / ψ мен = − λ мен ψ мен . { displaystyle D ! ! ! ! / psi _ {i} = - lambda _ {i} psi _ {i}.} D-өлшемді кеңістіктегі интеграцияға қатысты өзіндік функциялар ортонормальды болып саналады,
δ мен j = ∫ г. г. х ( 2 π ) г. ψ † j ( х ) ψ мен ( х ) . { displaystyle delta _ {i} ^ {j} = int { frac {d ^ {d} x} {(2 pi) ^ {d}}} psi ^ { қанжар j} (x) psi _ {i} (x).} Содан кейін жол интегралының өлшемі келесідей анықталады:
Д. ψ Д. ψ ¯ = ∏ мен г. а мен г. б мен { displaystyle { mathcal {D}} psi { mathcal {D}} { overline { psi}} = prod limits _ {i} da ^ {i} db ^ {i}} Шексіз трансформацияның астында жазыңыз
ψ → ψ ′ = ( 1 + мен α γ г. + 1 ) ψ = ∑ мен ψ мен а ′ мен , { displaystyle psi to psi ^ { prime} = (1 + i альфа гамма _ {d + 1}) psi = sum шектер _ {i} psi _ {i} a ^ { prime i},} ψ ¯ → ψ ¯ ′ = ψ ¯ ( 1 + мен α γ г. + 1 ) = ∑ мен ψ мен б ′ мен . { displaystyle { overline { psi}} to { overline { psi}} ^ { prime} = { overline { psi}} (1 + i альфа гамма _ {d + 1}) = sum limit _ {i} psi _ {i} b ^ { prime i}.} The Якобиан көмегімен трансформацияны есептеуге болады ортонормальдылық туралы меншікті векторлар
C j мен ≡ ( δ а δ а ′ ) j мен = ∫ г. г. х ψ † мен ( х ) [ 1 − мен α ( х ) γ г. + 1 ] ψ j ( х ) = δ j мен − мен ∫ г. г. х α ( х ) ψ † мен ( х ) γ г. + 1 ψ j ( х ) . { displaystyle C_ {j} ^ {i} equiv left ({ frac { delta a} { delta a ^ { prime}}} right) _ {j} ^ {i} = int d ^ {d} x , psi ^ { қанжар i} (x) [1-i альфа (х) гамма _ {d + 1}] psi _ {j} (x) = delta _ { j} ^ {i} , - i int d ^ {d} x , альфа (х) пси ^ { қанжар i} (x) гамма _ {d + 1} psi _ {j} (х).} Коэффициенттердің өзгеруі { б мен } { displaystyle {b_ {i} }}
Д. ψ Д. ψ ¯ = ∏ мен г. а мен г. б мен = ∏ мен г. а ′ мен г. б ′ мен дет − 2 ( C j мен ) , { displaystyle { mathcal {D}} psi { mathcal {D}} { overline { psi}} = prod limits _ {i} da ^ {i} db ^ {i} = prod шектері _ {i} da ^ { prime i} db ^ { prime i} { det} ^ {- 2} (C_ {j} ^ {i}),} қайда Якобиан - детерминанттың өзара қатынасы, өйткені интегралдық айнымалылар Грассманниан болады, ал 2 пайда болады, өйткені a мен b тең үлес қосады. Детерминантты стандартты әдістер бойынша есептей аламыз:
дет − 2 ( C j мен ) = эксп [ − 2 т р лн ( δ j мен − мен ∫ г. г. х α ( х ) ψ † мен ( х ) γ г. + 1 ψ j ( х ) ) ] = эксп [ 2 мен ∫ г. г. х α ( х ) ψ † мен ( х ) γ г. + 1 ψ мен ( х ) ] { displaystyle { begin {aligned} { det} ^ {- 2} (C_ {j} ^ {i}) & = exp left [-2 { rm {tr}} ln ( delta _ {j} ^ {i} -i int d ^ {d} x , альфа (х) psi ^ { қанжар i} (x) гамма _ {d + 1} psi _ {j} ( x)) right] & = exp left [2i int d ^ {d} x , альфа (х) psi ^ { қанжар i} (x) гамма _ {d + 1} psi _ {i} (x) right] end {aligned}}} α (x) бірінші ретті.
Α тұрақты болатын жағдайға мамандандырылған Якобиан жүйеленуі керек, өйткені интеграл жазбаша деп анықталмаған. Фуджикава жұмыспен қамтылды жылу ядросының реттелуі , осылай
− 2 т р лн C j мен = 2 мен лим М → ∞ α ∫ г. г. х ψ † мен ( х ) γ г. + 1 e − λ мен 2 / М 2 ψ мен ( х ) = 2 мен лим М → ∞ α ∫ г. г. х ψ † мен ( х ) γ г. + 1 e Д. / 2 / М 2 ψ мен ( х ) { displaystyle { begin {aligned} -2 { rm {tr}} ln C_ {j} ^ {i} & = 2i lim limit _ {M to infty} alpha int d ^ { d} x , psi ^ { қанжар i} (x) гамма _ {d + 1} e ^ {- lambda _ {i} ^ {2} / M ^ {2}} psi _ {i } (x) & = 2i lim limit _ {M to infty} alpha int d ^ {d} x , psi ^ { қанжар i} (x) гамма _ {d + 1} e ^ {{D ! ! ! / ,} ^ {2} / M ^ {2}} psi _ {i} (x) end {aligned}}} ( Д. / 2 { displaystyle {D ! ! ! ! /} ^ {2}} Д. 2 + 1 4 [ γ μ , γ ν ] F μ ν { displaystyle D ^ {2} + { tfrac {1} {4}} [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu}] F _ { mu nu}}
= 2 мен лим М → ∞ α ∫ г. г. х ∫ г. г. к ( 2 π ) г. ∫ г. г. к ′ ( 2 π ) г. ψ † мен ( к ′ ) e мен к ′ х γ г. + 1 e − к 2 / М 2 + 1 / ( 4 М 2 ) [ γ μ , γ ν ] F μ ν e − мен к х ψ мен ( к ) { displaystyle = 2i lim limit _ {M to infty} alpha int d ^ {d} x int { frac {d ^ {d} k} {(2 pi) ^ {d} }} int { frac {d ^ {d} k ^ { prime}} {(2 pi) ^ {d}}} psi ^ { қанжар i} (k ^ { prime}) e ^ {ik ^ { prime} x} gamma _ {d + 1} e ^ {- k ^ {2} / M ^ {2} + 1 / (4M ^ {2}) [ gamma ^ { mu} , gamma ^ { nu}] F _ { mu nu}} e ^ {- ikx} psi _ {i} (k)} = − − 2 α ( 2 π ) г. / 2 ( г. 2 ) ! ( 1 2 F ) г. / 2 , { displaystyle = - { frac {-2 alpha} {(2 pi) ^ {d / 2} ({ frac {d} {2}})!}} ({ tfrac {1} {2) }} F) ^ {d / 2},} меншікті векторлар үшін толықтық қатынасын қолданғаннан кейін, γ-матрицалар бойынша із қалдырғаннан кейін және M шегін алғаннан кейін нәтиже өріс күші 2-форма, F ≡ F μ ν г. х μ ∧ г. х ν . { displaystyle F equiv F _ { mu nu} , dx ^ { mu} wedge dx ^ { nu} ,.}
Бұл нәтиже барабар ( г. 2 ) т сағ { displaystyle ({ tfrac {d} {2}}) ^ { rm {th}}} Черн сыныбы туралы ж { displaystyle { mathfrak {g}}} хиральды аномалия , хиральды токтың сақталмауы үшін жауап береді.
Әдебиеттер тізімі
К.Фуджикава және Х.Сузуки (мамыр 2004). Жол интегралдары және кванттық ауытқулар . Clarendon Press. ISBN 0-19-852913-9 . С.Вайнберг (2001). Өрістердің кванттық теориясы . II том: Заманауи қосымшалар .. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 0-521-55002-5 . 
![{ displaystyle Z [A] = int { mathcal {D}} { overline { psi}} { mathcal {D}} psi , e ^ {- int d ^ {d} x , { overline { psi}} iD ! ! ! / , psi}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39689035711b3ff0b0547c3de59c52a2251defd5)
![C_ {j} ^ {i} equiv left ({ frac { delta a} { delta a ^ { prime}}} right) _ {j} ^ {i} = int d ^ {d } x , psi ^ {{ қанжар i}} (x) [1-i альфа (х) гамма _ {{d + 1}}] psi _ {j} (x) = delta _ {j} ^ {i} , - i int d ^ {d} x , альфа (х) пси ^ {{ қанжар i}} (x) гамма _ {{d + 1}}) psi _ {j} (x).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ff4a9b91e03ec9e3a18e5f57eaadd03b10b1ec)
![{ begin {aligned} { det} ^ {{- 2}} (C_ {j} ^ {i}) & = exp left [-2 {{ rm {tr}}} ln ( delta _ {j} ^ {i} -i int d ^ {d} x , альфа (х) пси ^ {{ қанжар i}} (x) гамма _ {{d + 1}} psi _ {j} (x)) right] & = exp left [2i int d ^ {d} x , alpha (x) psi ^ {{ қанжар i}} (x) гамма _ {{d + 1}} psi _ {i} (x) right] end {aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a547accf4438f355faec9182c227ad3d642ad3)
![D ^ {2} + { tfrac {1} {4}} [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu}] F _ {{ mu nu}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b53ceb460bc4993a4bfd9e4e103daf9e2726f7)
![= 2i lim limit _ {{M to infty}} alpha int d ^ {d} x int { frac {d ^ {d} k} {(2 pi) ^ {d}} } int { frac {d ^ {d} k ^ { prime}} {(2 pi) ^ {d}}} psi ^ {{ қанжар i}} (k ^ { prime}) e ^ {{ik ^ { prime} x}} gamma _ {{d + 1}} e ^ {{- k ^ {2} / M ^ {2} + 1 / (4M ^ {2}) [ гамма ^ { mu}, гамма ^ { nu}] F _ {{ mu nu}}}} e ^ {{- ikx}} psi _ {i} (k)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7950abb404ba18c112133787793ba0fe6d8c870)
