WikiDer > Энергетикалық оператор

Жылы кванттық механика, энергия терминдерімен анықталады энергия операторы, әрекет ететін толқындық функция жүйенің салдары ретінде уақыт аудармасы симметриясы.

Анықтама

Оны береді:^[1]

${ displaystyle { hat {E}} = i hbar { frac { жарымжан} { жартылай t}} , !}$

Ол толқындық функцияға әсер етеді ( ықтималдық амплитудасы әр түрлі үшін конфигурациялар жүйенің)

${ displaystyle Psi сол жақ ( mathbf {r}, t оң) , !}$

Қолдану

Энергия операторы сәйкес келеді жүйенің толық энергиясына дейін. The Шредингер теңдеуі баяу өзгеретін кеңістікке және уақытқа тәуелділікті сипаттайды (тәуелді емесрелятивистік) кванттық жүйенің толқындық функциясы. Байланысты жүйе үшін осы теңдеудің шешімі дискретті (әрқайсысы an-мен сипатталатын рұқсат етілген күйлер жиынтығы) энергетикалық деңгей) нәтижесінде тұжырымдамасы пайда болады кванттар.

Шредингер теңдеуі

Энергия операторын Шредингер теңдеуі:

${ displaystyle i hbar { frac { жарымжан} { жартылай t}} Psi ( mathbf {r}, , t) = { hat {H}} Psi ( mathbf {r}, t , !}$

алуға болады:

${ displaystyle { begin {aligned} & { hat {E}} Psi ( mathbf {r}, , t) = { hat {H}} Psi ( mathbf {r}, , t ) соңы {тураланған}} , !}$

қайда мен болып табылады ойдан шығарылған бірлік, ħ болып табылады Планк тұрақтысы азаяды, және ${ displaystyle { hat {H}}}$ болып табылады Гамильтониан оператор.

Ішінде стационарлық күй қосымша уақытқа тәуелді болмайды Шредингер теңдеуі:

${ displaystyle { begin {aligned} және E Psi ( mathbf {r}, , t) = { hat {H}} Psi ( mathbf {r}, , t) end {aligned }} , !}$

қайда E болып табылады өзіндік құндылық энергия.

Клейн-Гордон теңдеуі

The релятивистік масса-энергия қатынасы:

${ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2} , !}$

қайтадан қайда E = жалпы энергия, б = барлығы 3импульс бөлшектің, м = өзгермейтін масса, және c = жарық жылдамдығы, дәл осындай нәтиже бере алады Клейн-Гордон теңдеуі:

${ displaystyle { begin {aligned} & { hat {E}} ^ {2} = c ^ {2} { hat {p}} ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2} & { hat {E}} ^ {2} Psi = c ^ {2} { hat {p}} ^ {2} Psi + (mc ^ {2}) ^ {2} Psi end {aligned}} , !}$

Бұл:

${ displaystyle { frac { жарымын ^ {2} Psi} { жартылай t ^ {2}}} = c ^ {2} nabla ^ {2} Psi - left ({ frac {mc ^) {2}} { hbar}} оң) ^ {2} Psi , !}$

Шығу

Энергия операторы оңай пайдаланылады бос бөлшек толқындық функция (жазық толқын Шредингер теңдеуінің шешімі).^[2] Толқындық функция бір өлшемнен басталады

${ displaystyle Psi = e ^ {i (kx- omega t)} , !}$

Уақыт туындысы Ψ болып табылады

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай t}} = - i omega e ^ {i (kx- omega t)} = = - i omega Psi , !}$.

Бойынша Де Бройль қатынасы:

${ displaystyle E = hbar omega , !}$,

Бізде бар

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай t}} = - i { frac {E} { hbar}} Psi , !}$.

Теңдеуді қайта құру әкеледі

${ displaystyle E Psi = i hbar { frac { жарым-жартылай Psi} { жартылай t}} , !}$,

мұнда энергетикалық фактор E Бұл скаляр мәні, бөлшектің энергиясы және өлшенетін мәні. The ішінара туынды Бұл сызықтық оператор сондықтан бұл өрнек болып табылады энергия бойынша оператор:

${ displaystyle { hat {E}} = i hbar { frac { жарымжан} { жартылай t}} , !}$.

Скаляр деген қорытынды жасауға болады E болып табылады өзіндік құндылық оператордың, ал ${ displaystyle { hat {E}} , !}$ оператор болып табылады. Осы нәтижелерді қорытындылай келе:

${ displaystyle { hat {E}} Psi = i hbar { frac { жарым-жартылай} { жартылай t}} Psi = E Psi , !}$

3-жазықтықтағы толқын үшін

${ displaystyle Psi = e ^ {i ( mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t)} , !}$

туынды толықтай бірдей, өйткені уақытқа, демек уақыт туындысына қатысты ешқандай өзгеріс жасалмайды. Бастап оператор сызықтық, олар кез келген үшін жарамды сызықтық комбинация жазықтықтағы толқындар, сондықтан олар кез-келген толқындық функцияға толқындық функцияның немесе операторлардың қасиеттеріне әсер етпей әсер ете алады. Демек, бұл кез-келген толқындық функция үшін дұрыс болуы керек. Бұл тіпті жұмыс істейді релятивистік кванттық механикасияқты Клейн-Гордон теңдеуі жоғарыда.

Сондай-ақ қараңыз

• Уақыт аудармасы симметриясы
• Планк тұрақтысы
• Шредингер теңдеуі
• Импульс операторы
• Гамильтон (кванттық механика)
• Энергияны сақтау
• Кешенді нөмір
• Стационарлық күй

Әдебиеттер тізімі