WikiDer > Қашықтық геометриясы

Distance geometry

Қашықтық геометриясы болып табылады мінездеме және зерттеу жиынтықтар баллға негізделген тек берілген мәндері бойынша қашықтық мүше жұптары арасында.^[1]^[2]^[3] Неғұрлым абстрактілі, бұл зерттеу семиметриялық кеңістіктер және изометриялық түрлендірулер олардың арасында. Бұл көзқарас бойынша оны ішіндегі субъект ретінде қарастыруға болады жалпы топология.^[4]

Тарихи тұрғыдан қашықтық геометриясындағы алғашқы нәтиже болып табылады Герон формуласы 1 ғасырда. Қазіргі заманғы теория 19 ғасырда жұмысынан басталды Артур Кэйликейін 20-шы ғасырда неғұрлым ауқымды оқиғалар болды Карл Менгер және басқалар.

Қашықтық геометриясына есептер нүктелер конфигурациясының формасын шығару қажет болған кезде туындайды (салыстырмалы позициялар) сияқты олардың арасындағы қашықтықтан биология,^[4] сенсорлық желі,^[5] маркшейдерлік іс, навигация, картография, және физика.

Кіріспе және анықтамалар

Қашықтық геометриясы ұғымдары алдымен екі нақты есептерді сипаттаумен түсіндіріледі.

Гиперболалық навигация мәселесі

Бірінші мәселе: гиперболалық навигация

Орналасқан жерлері белгілі үш А, В, С радиостанциясын қарастырайық. Радиоқабылдағыш белгісіз жерде. Радио сигналдың станциялардан қабылдағышқа жету уақыты, ${ displaystyle { displaystyle t_ {A}, t_ {B}, t_ {C}}}$ , белгісіз, бірақ уақыт айырмашылықтары, ${ displaystyle { displaystyle t_ {A} -t_ {B}}}$ және ${ displaystyle { displaystyle t_ {A} -t_ {C}}}$ , белгілі. Олардың ішінен қашықтық айырмашылықтарын біреу біледі ${ displaystyle c ({ displaystyle t_ {A} -t_ {B}})}$ және ${ displaystyle c ({ displaystyle t_ {A} -t_ {C}})}$ , одан ресивердің орналасуын табуға болады.

Екінші мәселе: өлшемді азайту

Жылы деректерді талдау, көбіне вектор ретінде ұсынылған мәліметтер тізімі беріледі ${ displaystyle mathbf {v} = (x_ {1}, cdots, x_ {n}) in mathbb {R} ^ {n}}$ және олардың төмен өлшемді аффиналық ішкі кеңістікте жататынын анықтау керек. Деректердің төмен өлшемді көрінісі көптеген артықшылықтарға ие, мысалы сақтау орнын үнемдеу, есептеу уақыты және мәліметтер туралы жақсы түсінік беру.

Анықтамалар

Енді біз өз проблемаларымызды қарастырудан туындаған кейбір анықтамаларды рәсімдейміз.

Семиметриялық кеңістік

Келтірілген тармақтар тізімі берілген ${ displaystyle R = {P_ {0}, cdots, P_ {n} }}$ , ${ displaystyle n geq 0}$ , нүкте жұбы арасындағы қашықтықты ерікті түрде тізімі бойынша анықтай аламыз ${ displaystyle d_ {ij}> 0}$ , ${ displaystyle 0 leq i$ . Бұл а анықтайды семиметриялық кеңістік: жоқ метрикалық кеңістік үшбұрыш теңсіздігі.

Біз семиметриялық кеңістікті бос емес жиынтық ретінде анықтаймыз ${ displaystyle R}$ семетриметрмен жабдықталған ${ displaystyle d: R times R to [0, infty)}$ барлығы үшін ${ displaystyle x, y in R}$ ,

Позитивті: ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ егер және егер болса ${ displaystyle x = y}$ .
Симметрия: ${ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$ .

Кез келген метрикалық кеңістік фортиори семиметриялық кеңістік. Соның ішінде, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ , ${ displaystyle k}$ -өлшемді Евклид кеңістігі, болып табылады канондық қашықтық геометриясындағы метрикалық кеңістік.

Үшбұрыштың теңсіздігі анықтамада алынып тасталған, өйткені біз арақашықтыққа көп шектеулер қойғымыз келмейді ${ displaystyle d_ {ij}}$ олардың оң болуын талап етуден гөрі.

Іс жүзінде семиметриялық кеңістіктер дұрыс емес өлшемдерден туындайды. Мысалы, үш ұпай берілген ${ displaystyle A, B, C}$ сызықта, бірге ${ displaystyle d_ {AB} = 1, d_ {BC} = 1, d_ {AC} = 2}$ , дәл емес өлшем бере алады ${ displaystyle d_ {AB} = 0.99, d_ {BC} = 0.98, d_ {AC} = 2.00}$ , үшбұрыш теңсіздігін бұзу.

Изометриялық ендіру

Екі семиметрлік кеңістік берілген, ${ displaystyle (R, d), (R ', d')}$ , an изометриялық ендіру бастап ${ displaystyle R}$ дейін ${ displaystyle R '}$ бұл карта ${ displaystyle f: R to R '}$ семиметрлікті сақтайтын, яғни бәріне арналған ${ displaystyle x, y in R}$ , ${ displaystyle d (x, y) = d '(f (x), f (y))}$ .

Мысалы, ақырғы семиметриялық кеңістік берілген ${ displaystyle (R, d)}$ Жоғарыда анықталған, изометриялық ендіру нүктелермен анықталады ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n} in { displaystyle mathbb {R} ^ {k}}}$ , осылай ${ displaystyle d (A_ {i}, A_ {j}) = d_ {ij}}$ барлығына ${ displaystyle 0 leq i$ .

Аффиндік тәуелсіздік

Ұпайларды ескере отырып ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n} in { displaystyle mathbb {R} ^ {k}}}$ , олар анықталды аффиндік тәуелсіз, егер олар бірыңғайға сыймаса ${ displaystyle l}$ -өлшемді аффиналық кіші кеңістік ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ , кез келген үшін ${ displaystyle l$ , егер ${ displaystyle n}$ -қарапайым олар созылады, ${ displaystyle v_ {n}}$ , оң ${ displaystyle n}$ - көлем, яғни ${ displaystyle Vol_ {n} (v_ {n})> 0}$ .

Жалпы, қашан ${ displaystyle k geq n}$ , олар аффинді тәуелсіз, өйткені а жалпы n-симплекс дұрыс емес. Мысалы, жазықтықтағы 3 нүкте, тұтастай алғанда, коллинеар емес, өйткені олар созылған үшбұрыш түзудің кесіндісіне айналмайды. Дәл сол сияқты, кеңістіктегі 4 нүкте біртектес емес, өйткені олар созылған тетраэдр тегіс үшбұрышқа айналмайды.

Қашан ${ displaystyle n> k}$ , олар аффиндік тәуелді болуы керек. Мұны кез келген екенін атап өту арқылы көруге болады ${ displaystyle n}$ -ішіне сыйып кететін қарапайым ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ «тегіс» болуы керек.

Кейли-Менгер детерминанттары

Кейли-Менгер детерминанттары, Артур Кейли мен Карл Менгердің атымен берілген, нүктелер жиынтығы арасындағы қашықтық матрицаларының детерминанты болып табылады.

Келіңіздер ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n}}$ болуы n + Семиметрлік кеңістіктегі 1 ұпай, олардың Кейли-Менгер детерминанты анықталады

${ displaystyle CM (A_ {0}, cdots, A_ {n}) = { begin {vmatrix} 0 & d_ {01} ^ {2} & d_ {02} ^ {2} & cdots & d_ {0n} ^ { 2} & 1 d_ {01} ^ {2} & 0 & d_ {12} ^ {2} & cdots & d_ {1n} ^ {2} & 1 d_ {02} ^ {2} & d_ {12} ^ {2 } & 0 & cdots & d_ {2n} ^ {2} & 1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots d_ {0n} ^ {2} & d_ {1n} ^ {2} & d_ {2n} ^ {2} & cdots & 0 & 1 1 & 1 & 1 & cdots & 1 & 0 end {vmatrix}}}$

Егер ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n} in { displaystyle mathbb {R} ^ {k}}}$ , содан кейін олар шыңдарды құрайды (мүмкін азғындауn-симплекс ${ displaystyle { displaystyle v_ {n}}}$ жылы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ . Мұны көрсетуге болады^[6] симплекстің n өлшемді көлемі ${ displaystyle { displaystyle v_ {n}}}$ қанағаттандырады

${ displaystyle Vol_ {n} (v_ {n}) ^ {2} = { frac {(-1) ^ {n + 1}} {(n!) ^ {2} 2 ^ {n}}} CM (A_ {0}, cdots, A_ {n})}$ .

Жағдайына назар аударыңыз ${ displaystyle n = 0}$ , Бізде бар ${ displaystyle Vol_ {0} (v_ {0}) = 1}$ , 0-симплекстің «0 өлшемді көлемі» 1-ге тең, яғни 0-симплексте 1 нүкте бар дегенді білдіреді.

${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n}}$ iffine тәуелсіз ${ displaystyle Vol_ {n} (v_ {n})> 0}$ , Бұл, ${ displaystyle (-1) ^ {n + 1} CM (A_ {0}, cdots, A_ {n})> 0}$ . Сонымен, Кэйли-Менгер детерминанттары аффиналық тәуелсіздікке негізделген есептеу әдісін ұсынады.

Егер ${ displaystyle k$ , демек, нүктелер аффинелік тәуелді болуы керек ${ displaystyle CM (A_ {0}, cdots, A_ {n}) = 0}$ . Кейлидің 1841 жылғы еңбегі ерекше жағдайды зерттеді ${ displaystyle k = 3, n = 4}$ , яғни кез-келген 5 ұпай ${ displaystyle A_ {0}, cdots, A_ {5}}$ 3 өлшемді кеңістікте болуы керек ${ displaystyle CM (A_ {0}, cdots, A_ {4}) = 0}$ .

Тарих

Қашықтық геометриясындағы алғашқы нәтиже мынада Герон формуласы, 1-ші ғасырдан бастап, үшбұрыштың ауданын оның 3 төбесі арасындағы қашықтықтан береді. Брахмагуптаның формуласы, біздің заманымыздың 7 ғасырынан бастап оны жалпылайды циклды төртбұрыштар. Тарталия, 16 ғасырдан бастап оны беру үшін жалпылама тетраэдрдің көлемі оның 4 төбесі арасындағы қашықтықтан.

Қашықтық геометриясының қазіргі теориясы басталды Автур Кэйли және Карл Менгер.^[7] Кэйли Кэйли детерминантын 1841 жылы жариялады,^[8] бұл жалпы Кейли-Менгер детерминантының ерекше жағдайы. Менгер 1928 жылы изометриялық түрде енетін барлық семиметриялық кеңістіктердің сипаттамалық теоремасын дәлелдеді n-өлшемді Евклид кеңістігі ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ .^[9]^[10] 1931 жылы Менгер эвклидтік геометрияға аксиоматикалық ем беру үшін арақашықтық қатынастарын қолданды.^[11]

Леонард Блументалькітабы^[12] магистрант деңгейінде қашықтық геометриясына жалпы шолу жасайды, оның көп бөлігі жарияланғаннан кейін алғаш рет ағылшын тілінде өңделеді.

Менгерді сипаттау теоремасы

Менгер мынаны дәлелдеді сипаттама теоремасы жарты метрлік кеңістіктер:^[2]

Семиметриялық кеңістік ${ displaystyle (R, d)}$ изометриялық түрде енгізілген ${ displaystyle n}$ -өлшемді эвклид кеңістігі ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , бірақ емес ${ displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ кез келген үшін ${ displaystyle 0 leq m$ , егер және:
${ displaystyle R}$ бар ${ displaystyle (n + 1)}$ - нүктелік жиын ${ displaystyle S}$ бұл афометриялық тәуелділікпен изометриялық ${ displaystyle (n + 1)}$ -нүктесінің ішкі жиыны ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ;
кез келген ${ displaystyle (n + 3)}$ - нүктелік жиын ${ displaystyle S '}$ , кез келген екі қосымша нүктесін қосу арқылы алынған ${ displaystyle R}$ дейін ${ displaystyle S}$ , ан сәйкес келеді ${ displaystyle (n + 3)}$ -нүктесінің ішкі жиыны ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ .

Бұл теореманың сәл әлсіреген түрінде (семетриялық кеңістіктердің орнына метрикалық кеңістіктер үшін) дәлелі.^[13]

Кейли-Менгер детерминанттары арқылы сипаттама

Келесі нәтижелер Блуметалдың кітабында дәлелденген.^[12]

Кірістіру ${ displaystyle n + 1}$ нүктелер ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$

Семиметриялық кеңістік берілген ${ displaystyle (S, d)}$ , бірге ${ displaystyle S = {P_ {0}, cdots, P_ {n} }}$ , және ${ displaystyle d (P_ {i}, P_ {j}) = d_ {ij} geq 0}$ , ${ displaystyle 0 leq i$ , изометриялық ендіру ${ displaystyle (S, d)}$ ішіне ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ арқылы анықталады ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n} in { displaystyle mathbb {R} ^ {n}}}$ , осылай ${ displaystyle d (A_ {i}, A_ {j}) = d_ {ij}}$ барлығына ${ displaystyle 0 leq i$ .

Тағы бір, мұндай изометриялық кірістіру бар ма деп сұрайды ${ displaystyle (S, d)}$ .

Қажетті шартты көру оңай: барлығы үшін ${ displaystyle k = 1, cdots, n}$ , рұқсат етіңіз ${ displaystyle v_ {k}}$ болуы к-қалыптасқан ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {k}}$ , содан кейін

${ displaystyle (-1) ^ {k + 1} CM (P_ {0}, cdots, P_ {k}) = (- 1) ^ {k + 1} CM (A_ {0}, cdots, A_ {k}) = 2 ^ {k} (k!) ^ {k} Vol_ {k} (v_ {k}) ^ {2} geq 0}$

Сондай-ақ, керісінше әрекет етеді. Яғни, егер бәрі үшін болса ${ displaystyle k = 1, cdots, n}$ ,

${ displaystyle (-1) ^ {k + 1} CM (P_ {0}, cdots, P_ {k}) geq 0}$ ,

онда мұндай ендіру бар.

Сонымен, мұндай ендіру изометрияға дейін ерекше ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Яғни, анықталған кез-келген екі изометриялық кірістіру берілген ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n}}$ , және ${ textstyle A '_ {0}, A' _ {1}, ldots, A '_ {n}}$ , изометрия бар (міндетті түрде бірегей емес) ${ displaystyle T: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}}$ , осылай ${ displaystyle T (A_ {k}) = A '_ {k}}$ барлығына ${ displaystyle k = 0, cdots, n}$ . Мұндай ${ displaystyle T}$ бірегей болып табылады және егер болса ${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}) neq 0}$ , Бұл, ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n}}$ аффиндік тәуелсіз.

Кірістіру ${ displaystyle n + 2}$ және ${ displaystyle n + 3}$ ұпай

Егер ${ displaystyle n + 2}$ ұпай ${ displaystyle P_ {0}, cdots, P_ {n + 1}}$ ендірілуі мүмкін ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ сияқты ${ displaystyle A_ {0}, cdots, A_ {n + 1}}$ , онда жоғарыдағы шарттардан басқа қосымша қажетті шарт мынада ${ displaystyle (n + 1)}$ -қалыптасқан ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n + 1}}$ , жоқ болуы керек ${ displaystyle (n + 1)}$ - өлшемді көлем. Бұл, ${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}, P_ {n + 1}) = 0}$ .

Сондай-ақ, керісінше әрекет етеді. Яғни, егер бәрі үшін болса ${ displaystyle k = 1, cdots, n}$ ,

${ displaystyle (-1) ^ {k + 1} CM (P_ {0}, cdots, P_ {k}) geq 0}$ ,

және

${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}, P_ {n + 1}) = 0}$ ,

онда мұндай ендіру бар.

Кірістіру үшін ${ displaystyle n + 3}$ нүктелер ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , қажетті және жеткілікті шарттар ұқсас:

Барлығына ${ displaystyle k = 1, cdots, n}$ , ${ displaystyle (-1) ^ {k + 1} CM (P_ {0}, cdots, P_ {k}) geq 0}$ ;
${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}, P_ {n + 1}) = 0}$ ;
${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}, P_ {n + 2}) = 0}$ ;
${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}, P_ {n + 1}, P_ {n + 2}) = 0}$ .

Көп ұпайларды ерікті түрде енгізу

The ${ displaystyle n + 3}$ іс жалпы алғанда жеткілікті болып шығады.

Жалпы, семиметриялық кеңістік берілген ${ displaystyle (R, d)}$ , оны изометриялық түрде енгізуге болады ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ егер бар болса ғана ${ displaystyle P_ {0}, cdots, P_ {n} in R}$ , бәрі үшін ${ displaystyle k = 1, cdots, n}$ , ${ displaystyle (-1) ^ {k + 1} CM (P_ {0}, cdots, P_ {k}) geq 0}$ және кез келген үшін ${ displaystyle P_ {n + 1}, P_ {n + 2} in R}$ ,

${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}, P_ {n + 1}) = 0}$ ;
${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}, P_ {n + 2}) = 0}$ ;
${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}, P_ {n + 1}, P_ {n + 2}) = 0}$ .

Мұндай ендіру изометрияға дейін ерекше ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ .

Әрі қарай, егер ${ displaystyle CM (P_ {0}, cdots, P_ {n}) neq 0}$ , сонда оны изометриялық түрде кез-келгенге енгізу мүмкін емес ${ displaystyle mathbb {R} ^ {m}, m$ . Мұндай ендіру бірегей изометрияға дейін ерекше ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ .

Сонымен, Cayley-Menger детерминанттары семиметриялық кеңістікті енгізуге болатындығын есептеудің нақты әдісін ұсынады. ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , кейбір ақырғы үшін ${ displaystyle n}$ , егер болса, онда ең аз деген не? ${ displaystyle n}$ .

Қолданбалар

Қашықтық геометриясының көптеген қосымшалары бар.^[3]

Сияқты телекоммуникация желілерінде жаһандық позициялау жүйесі, кейбір сенсорлардың позициялары белгілі (оларды якорь деп атайды) және сенсорлар арасындағы кейбір қашықтықтар да белгілі: мәселе барлық сенсорларға арналған орындарды анықтауда.^[5] Гиперболалық навигация GPS-ке дейінгі технология, бұл кемелердің орналасқан жері үшін дабылдардың зәкірге жеткен уақытына негізделген қашықтық геометриясын қолданады.

Химияда көптеген қосымшалар бар.^[4]^[12] Сияқты әдістер NMR берілген молекуланың жұп атомдары арасындағы қашықтықты өлшей алады және мәселе сол қашықтықтардан молекуланың 3 өлшемді формасын шығару болып табылады.

Қосымшаларға арналған кейбір бағдарламалық жасақтама:

DGSOL. Үлкен геометрия есептерін шығарады макромолекулалық модельдеу.
Xplor-NIH. Негізінде X-PLOR, ЯМР тәжірибелерінен алынған мәліметтер негізінде молекулалардың құрылымын анықтау. Ол эвристикалық әдістермен қашықтық геометрия есептерін шешеді (мысалы Жасанды күйдіру) және жергілікті іздеу әдістері (мысалы Градиентті азайту).
TINKER. Молекулалық модельдеу және жобалау. Ол қашықтық геометрия есептерін шеше алады.
SNLSDPклик. Датчиктер арасындағы қашықтыққа негізделген сенсорлық желідегі датчиктерді орналастыруға арналған MATLAB коды.

Сондай-ақ қараңыз

Евклидтік қашықтық матрицасы
Көпөлшемді масштабтау (қашықтық кездейсоқ қателіктермен өлшенгенде қолданылатын статистикалық әдіс)
Метрикалық кеңістік
Тартальияның формуласы
Триангуляция
Трилатерация

Пайдаланылған әдебиеттер

^ Йемини, Ю. (1978). «Позициялау проблемасы - аралық конспект жобасы». Таратылған сенсорлық желілер бойынша конференция, Питтсбург.
^ ^а ^б Либерти, Лео; Лавор, Карлайл; МакУлан, Нельсон; Мучерино, Антонио (2014). «Евклидтік қашықтық геометриясы және қолданылуы». SIAM шолуы. 56: 3–69. arXiv:1205.0349. дои:10.1137/120875909.
^ ^а ^б Мучерино, А .; Лавор, С .; Либерти, Л .; Макулан, Н. (2013). Қашықтық геометриясы: теориясы, әдістері және қолданылуы.
^ ^а ^б ^в Криппен, Г.М .; Гавел, Т.Ф. (1988). Қашықтық геометриясы және молекулалық конформация. Джон Вили және ұлдары.
^ ^а ^б Бисвас, П .; Лиан, Т .; Ванг, Т .; Ye, Y. (2006). «Сенсорлық желіні оқшаулауға арналған Semidefinite бағдарламалау негізіндегі алгоритмдер». Сенсорлық желілердегі ACM транзакциялары. 2 (2): 188–220. дои:10.1145/1149283.1149286.
^ «Симплекстің томдары және Кэйли-Менгердің анықтаушысы». www.mathpages.com. Архивтелген түпнұсқа 16 мамыр 2019 ж. Алынған 2019-06-08.
^ Либерти, Лео; Lavor, Carlile (2016). «Қашықтық геометриясы тарихынан алты математикалық асыл тастар». Операциялық зерттеулердегі халықаралық операциялар. 23 (5): 897–920. arXiv:1502.02816. дои:10.1111 / itor.12170. ISSN 1475-3995.
^ Кейли, Артур (1841). «Позиция геометриясындағы теорема туралы». Кембридждік математикалық журнал. 2: 267–271.
^ Менгер, Карл (1928-12-01). «Untersuchungen über allgemeine Metrik». Mathematische Annalen (неміс тілінде). 100 (1): 75–163. дои:10.1007 / BF01448840. ISSN 1432-1807.
^ Блументаль, Л.М .; Gillam, B. E. (1943). «Ұпайларды n-кеңістікте бөлу». Американдық математикалық айлық. 50 (3): 181. дои:10.2307/2302400. JSTOR 2302400.
^ Менгер, Карл (1931). «Евклидтік геометрияның жаңа негізі». Американдық математика журналы. 53 (4): 721–745. дои:10.2307/2371222. ISSN 0002-9327. JSTOR 2371222.
^ ^а ^б ^в Блументаль, Л.М. (1970). Қашықтық геометриясының теориясы мен қолданылуы (2-ші басылым). Бронкс, Нью-Йорк: Челси Баспа компаниясы. 90–161 бет. ISBN 978-0-8284-0242-2. LCCN 79113117.
^ Боуэрс, Джон С .; Бауэрс, Филипп Л. (2017-12-13). «Menger Redux: метрикалық кеңістіктерді изометриялық түрде евклид кеңістігіне енгізу». Американдық математикалық айлық. 124 (7): 621. дои:10.4169 / amer.math.monly.124.7.621. S2CID 50040864.

[positioning-1] Йемини, Ю. (1978). «Позициялау проблемасы - аралық конспект жобасы». Таратылған сенсорлық желілер бойынша конференция, Питтсбург.

[siam-2] а ^б Либерти, Лео; Лавор, Карлайл; МакУлан, Нельсон; Мучерино, Антонио (2014). «Евклидтік қашықтық геометриясы және қолданылуы». SIAM шолуы. 56: 3–69. arXiv:1205.0349. дои:10.1137/120875909.

[DGAbook-3] а ^б Мучерино, А .; Лавор, С .; Либерти, Л .; Макулан, Н. (2013). Қашықтық геометриясы: теориясы, әдістері және қолданылуы.

[crippen-4] а ^б ^в Криппен, Г.М .; Гавел, Т.Ф. (1988). Қашықтық геометриясы және молекулалық конформация. Джон Вили және ұлдары.

[sensors-5] а ^б Бисвас, П .; Лиан, Т .; Ванг, Т .; Ye, Y. (2006). «Сенсорлық желіні оқшаулауға арналған Semidefinite бағдарламалау негізіндегі алгоритмдер». Сенсорлық желілердегі ACM транзакциялары. 2 (2): 188–220. дои:10.1145/1149283.1149286.

[6] «Симплекстің томдары және Кэйли-Менгердің анықтаушысы». www.mathpages.com. Архивтелген түпнұсқа 16 мамыр 2019 ж. Алынған 2019-06-08.

[7] Либерти, Лео; Lavor, Carlile (2016). «Қашықтық геометриясы тарихынан алты математикалық асыл тастар». Операциялық зерттеулердегі халықаралық операциялар. 23 (5): 897–920. arXiv:1502.02816. дои:10.1111 / itor.12170. ISSN 1475-3995.

[8] Кейли, Артур (1841). «Позиция геометриясындағы теорема туралы». Кембридждік математикалық журнал. 2: 267–271.

[9] Менгер, Карл (1928-12-01). «Untersuchungen über allgemeine Metrik». Mathematische Annalen (неміс тілінде). 100 (1): 75–163. дои:10.1007 / BF01448840. ISSN 1432-1807.

[:0-10] Блументаль, Л.М .; Gillam, B. E. (1943). «Ұпайларды n-кеңістікте бөлу». Американдық математикалық айлық. 50 (3): 181. дои:10.2307/2302400. JSTOR 2302400.

[11] Менгер, Карл (1931). «Евклидтік геометрияның жаңа негізі». Американдық математика журналы. 53 (4): 721–745. дои:10.2307/2371222. ISSN 0002-9327. JSTOR 2371222.

[blumenthal-12] а ^б ^в Блументаль, Л.М. (1970). Қашықтық геометриясының теориясы мен қолданылуы (2-ші басылым). Бронкс, Нью-Йорк: Челси Баспа компаниясы. 90–161 бет. ISBN 978-0-8284-0242-2. LCCN 79113117.

[13] Боуэрс, Джон С .; Бауэрс, Филипп Л. (2017-12-13). «Menger Redux: метрикалық кеңістіктерді изометриялық түрде евклид кеңістігіне енгізу». Американдық математикалық айлық. 124 (7): 621. дои:10.4169 / amer.math.monly.124.7.621. S2CID 50040864.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Қашықтық геометриясы

Мазмұны