WikiDer > Дирихлет L-функциясы

Жылы математика, а Дирихлет L-сериялар форманың функциясы болып табылады

${ displaystyle L (s, chi) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}}.}$

Мұнда χ а Дирихле кейіпкері және с а күрделі айнымалы бірге нақты бөлігі 1-ден үлкен аналитикалық жалғасы, бұл функцияны a-ға дейін кеңейтуге болады мероморфты функция жалпы күрделі жазықтық, содан кейін а деп аталады Дирихлет L-функция және де белгіленді L(с, χ).

Бұл функциялардың аты аталған Питер Густав Лежен Дирихле оларды кім (Дирихлет 1837) дәлелдеу үшін арифметикалық прогрессиядағы жай бөлшектер туралы теорема оның есімі де бар. Дәлелдеу барысында Дирихле мұны көрсетеді L(с, χ) нөлге тең емес с = 1. Сонымен, егер χ негізгі болса, онда сәйкес Дирихле L-функция а қарапайым полюс кезінде с = 1.

Дирихле L-функциясының нөлдері

Егер χ χ (−1) = 1 болатын қарабайыр таңба болса, онда жалғыздың нөлдері L(с, χ) Re көмегімен (с) <0 теріс жұп сандарда, егер χ χ (−1) = −1 болатын қарабайыр таңба болса, онда тек нөлдер L(с, χ) Re көмегімен (с) <0 теріс тақ сандарда болады.

Мүмкін болатын а дейін Siegel нөл, Re (сызықтан тыс және нөлден тыс аймақтар)с) = Riemann zeta функциясына ұқсас 1 барлық Дирихле үшін бар екендігі белгілі L-функциялар: мысалы, χ үшін модульдің нақты емес сипаты q, Бізде бар

${ displaystyle beta <1 - { frac {c} { log { big (} q (2+ | gamma |) { big)}}} }$

β + iγ үшін нақты емес нөл.^[1]

Riemann zeta функциясы «бағынуға» болжам жасағандай Риман гипотезасы, сондықтан Дирихле L-функцияларға бағынуға болжам жасалады жалпыланған Риман гипотезасы.

Эйлер өнімі

Дирихле таңбасы. Болғандықтан толық мультипликативті, оның L-функцияны an түрінде де жазуға болады Эйлер өнімі ішінде жартылай ұшақ туралы абсолютті конвергенция:

${ displaystyle L (s, chi) = prod _ {p} left (1- chi (p) p ^ {- s} right) ^ {- 1} { text {for}} { мәтін {Re}} (-тер)> 1,}$

мұнда өнім бәрінен артық жай сандар.^[2]

Функционалды теңдеу

Χ модульге арналған қарабайыр сипат деп есептейік к. Анықтау

${ displaystyle Lambda (s, chi) = left ({ frac { pi} {k}} right) ^ {- (s + a) / 2} Gamma left ({ frac {s) + a} {2}} оңға) L (с, хи),}$

мұндағы Γ мәнін білдіреді Гамма функциясы және таңба а арқылы беріледі

${ displaystyle a = { begin {case} 0; & { mbox {if}} chi (-1) = 1, 1; & { mbox {if}} chi (-1) = - 1, end {case}}}$

біреуі бар функционалдық теңдеу

${ displaystyle Lambda (1-s, { overline { chi}}) = { frac {i ^ {a} k ^ {1/2}} { tau ( chi)}} Lambda (s) , chi),}$

Мұндағы τ (χ) - Гаусс қосындысы

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {k} chi (n) exp (2 pi in / k).}$

| Τ (χ) | екенін ескеріңіз = к^1/2.

Hurwitz дзета-функциясымен байланыс

Дирихлет L-функциялар сызықтық комбинациясы түрінде жазылуы мүмкін Hurwitz дзета-функциясы рационалды мәндерде. Бүтін санды бекіту к ≥ 1, дирихлет L-модуль таңбаларына арналған функциялар к тұрақты коэффициенттері бар ear (сызықтық комбинациялар)с,q) қайда q = м/к және м = 1, 2, ..., к. Демек, Hurwitz дзета-функциясы ұтымды q Дирихлетпен тығыз байланысты аналитикалық қасиеттерге ие L-функциялар. Нақты айтқанда, χ символ модулі болсын к. Сонда біз оның Дирихлетін жаза аламыз L-функциясы

${ displaystyle L (s, chi) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}} = { frac {1} { k ^ {s}}} sum _ {m = 1} ^ {k} chi (m) ; zeta left (s, { frac {m} {k}} right).}$

Сондай-ақ қараңыз

• Жалпыланған Риман гипотезасы
• L-функция
• Модульдік теорема
• Артин жорамалы
• L-функциясының ерекше мәндері

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Апостол, Том М. (1976), Аналитикалық сандар теориясына кіріспе, Математикадағы бакалавриат мәтіндері, Нью-Йорк-Гейдельберг: Спрингер-Верлаг, ISBN 978-0-387-90163-3, МЫРЗА 0434929, Zbl 0335.10001
• Апостол, Т.М. (2010), «Dirichlet L-функциясы», жылы Олвер, Фрэнк В. Дж.; Лозье, Даниэль М .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), NIST математикалық функциялар туралы анықтамалық, Кембридж университетінің баспасы, ISBN 978-0-521-19225-5, МЫРЗА 2723248
• Х. Дэвенпорт (2000). Мультипликативті сандар теориясы. Спрингер. ISBN 0-387-95097-4.
• Дирихле, П.Г. Л. (1837). «Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält». Абханд. Ақ. Уис. Берлин. 48.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
• «Dirichlet-L-функциясы», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]