WikiDer > Анықталған нүктелік процесс

Жылы математика, а нүктелік процесс Бұл стохастикалық нүктелік процесс, ықтималдықтың таралуы оның ретінде сипатталады анықтауыш кейбір функциялар. Мұндай процестер маңызды құралдар ретінде пайда болады кездейсоқ матрица теория, комбинаторика, физика,^[1] және сымсыз желіні модельдеу.^[2][3][4]

Анықтама

Келіңіздер ${ displaystyle Lambda}$ болуы а жергілікті ықшам Поляк кеңістігі және ${ displaystyle mu}$ болуы а Радон өлшемі қосулы ${ displaystyle Lambda}$. Сонымен қатар, а өлшенетін функция Қ: Λ² → ℂ.

Біз мұны айтамыз ${ displaystyle X}$ Бұл нүктелік процесс қосулы ${ displaystyle Lambda}$ ядросымен ${ displaystyle K}$ егер бұл қарапайым болса нүктелік процесс қосулы ${ displaystyle Lambda}$ а бірлескен қарқындылық немесе корреляциялық функция (бұл оның тығыздығы факторлық момент өлшемі) берілген

${ displaystyle rho _ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = det [K (x_ {i}, x_ {j})] _ {1 leq i, j leq n}}$

әрқайсысы үшін n ≥ 1 және х₁, . . . , х_n ∈ Λ.^[5]

Қасиеттері

Бар болу

Қарқындылығы ρ болатын детерминанттық кездейсоқ нүктелік процестің болуы үшін келесі екі шарт қажет және жеткілікті_к.

• Симметрия: ρ_к әрекетімен өзгермейтін болып табылады симметриялық топ S_к. Осылайша:

${ displaystyle rho _ {k} (x _ { sigma (1)}, ldots, x _ { sigma (k)}) = rho _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k }) quad forall sigma in S_ {k}, k}$

• Оң: кез келген үшін N, және өлшенетін, шектелген функциялардың кез-келген жиынтығы φ_к:Λ^к → ℝ, к = 1,. . . ,N бірге ықшам қолдау:

Егер

${ displaystyle quad varphi _ {0} + sum _ {k = 1} ^ {N} sum _ {i_ {1} neq cdots neq i_ {k}} varphi _ {k} ( x_ {i_ {1}} ldots x_ {i_ {k}}) geq 0 { text {барлығы үшін}} k, (x_ {i}) _ {i = 1} ^ {k}}$

Содан кейін

${ displaystyle quad varphi _ {0} + sum _ {k = 1} ^ {N} int _ { Lambda ^ {k}} varphi _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) rho _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) , { textrm {d}} x_ {1} cdots { textrm {d}} x_ {k } geq 0 { text {барлығы үшін}} k, (x_ {i}) _ {i = 1} ^ {k}}$ ^[6]

Бірегейлік

Буын интенсивтілігімен детерминантты кездейсоқ процестің бірегейлігі үшін жеткілікті шарт ρ_к болып табылады

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {k!}} int _ {A ^ {k}} rho _ {k} (x_ {1) }, ldots, x_ {k}) , { textrm {d}} x_ {1} cdots { textrm {d}} x_ {k} right) ^ {- { frac {1} {k }}} = сәйкес емес}$

әрбір шектелген Борел үшін A ⊆ Λ.^[6]

Мысалдар

Гаусс унитарлық ансамблі

Кездейсоқтың меншікті мәндері м × м Эрмитич матрицасы Гаусс унитарлық ансамблі (GUE) анықтаушы нүктелік процесті құрайды ${ displaystyle mathbb {R}}$ ядросымен

${ displaystyle K_ {m} (x, y) = sum _ {k = 0} ^ {m-1} psi _ {k} (x) psi _ {k} (y)}$

қайда ${ displaystyle psi _ {k} (x)}$ болып табылады ${ displaystyle k}$осциллятордың толқындық функциясы

${ displaystyle psi _ {k} (x) = { frac {1} { sqrt {{ sqrt {2n}} n!}}} H_ {k} (x) e ^ {- x ^ {2 } / 4}}$

және ${ displaystyle H_ {k} (x)}$ болып табылады ${ displaystyle k}$мың Гермиттік полином.^[7]

Уланған Планчерел шарасы

Уланған Планчерел шарасы бөлімдер бүтін сандар (сондықтан да) Жас сызбалар) зерттеуінде маңызды рөл атқарады ең ұзақ өсетін кейінгі кездейсоқ ауыстырудың. Кездейсоқ Янг диаграммасына сәйкес келетін, өзгертілген Фробениус координаталарында көрсетілген нүктелік процесс on бойынша анықтаушы нүктелік процесс болып табылады.^{[түсіндіру қажет]} + ​¹⁄₂ дискретті Бессель ядросымен берілген:

${ displaystyle K (x, y) = { begin {case} { sqrt { theta}} , { dfrac {k _ {+} (| x |, | y |)} {| x | - | y |}} & { text {if}} xy> 0, [12pt] { sqrt { theta}} , { dfrac {k _ {-} (| x |, | y |)}} xy}} & { text {if}} xy <0, end {case}}}$

қайда

${ displaystyle k _ {+} (x, y) = J_ {x - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y + { frac {1} {2 }}} (2 { sqrt { theta}}) - J_ {x + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}),}$

${ displaystyle k _ {-} (x, y) = J_ {x - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y - { frac {1} { 2}}} (2 { sqrt { theta}}) + J_ {x + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}})}$

Үшін Дж The Бессель функциясы бірінші типтегі және θ уландыруда қолданылатын орташа мән.^[8]

Бұл нақты емес детерминанттық нүктелік процестің мысалы ретінде қызмет етеді,Эрмитиан ядро (оның оң және теріс жартылай осіне шектеуі гермиттік болғанымен).^[6]

Бірыңғай ағаштар

G ақырлы, бағытталмаған, байланысқан болсын график, жиегі орнатылған E. Анықтаңыз Мен^e:E → ℓ²(E) келесідей: алдымен Е шеттері үшін, және әрбір алынған, бағытталған шеті үшін бірнеше ерікті бағдар жиынтығын таңдаңыз e, анықтаңыз Мен^e ағынның бойымен проекциясы болу керек e ішкі кеңістігіне ℓ²(E) жұлдыз ағындары арқылы^[9] Содан кейін біркелкі кездейсоқ ағаш of G - детерминанттық нүктелік процесс E, ядросымен

${ displaystyle K (e, f) = langle I ^ {e}, I ^ {f} rangle, quad e, f in E}$.^[5]

Әдебиеттер тізімі