WikiDer > Конфокустық конустық бөлімдер - Википедия

Конфокалды параболалардың қарындашы

Параболалар тек бір ғана фокусқа ие. Параболаны конфокальды эллипстердің (гиперболалардың) қарындашының шекті қисығы ретінде қарастыруға болады, мұнда бір фокус тұрақты, ал екіншісі шексіздікке ауысады. Егер бұл түрлендіру конфокалды эллипс пен гиперболаның торы үшін жасалса, онда конфокалды параболаның екі қарындашынан тор пайда болады.

Теңдеу ${ displaystyle y ^ {2} = 2p (x + p / 2) = 2px + p ^ {2}}$ сипаттайды а парабола шығу тегі фокус ретінде және х-аксима симметрия осі ретінде. Параболалардың екі қарындаштарын қарастырады:

• ${ displaystyle y ^ {2} = 2px + p ^ {2} , quad p> 0 ,}$ дейін ашылатын параболалар болып табылады дұрыс және

${ displaystyle y ^ {2} = - 2qx + q ^ {2} , quad q> 0 ,}$ дейін ашылатын параболалар болып табылады сол

фокуспен ${ displaystyle F = (0,0)}$ жалпы.

Бастап параболаның анықтамасы бір алады

• оңға (солға) ашылатын параболалардың ортақ нүктелері жоқ.

Бұдан шығатыны,

• кез-келген парабола ${ displaystyle y ^ {2} = 2px + p ^ {2}}$ оңға қарай ашу кез-келген параболаны қиып өтеді ${ displaystyle y ^ {2} = - 2qx + q ^ {2}}$ ортадан солға қарай ашылу (сызбаны қараңыз). Қиылысу нүктелері ${ displaystyle ({ tfrac {q-p} {2}}, pm { sqrt {pq}}) }$.

(${ displaystyle { vec {n}} _ {1} = сол жақ (p, mp { sqrt {pq}} оң) ^ {T}, { vec {n}} _ {2} = солға (q, pm { sqrt {pq}} оңға) ^ {T})}$ болып табылады қалыпты қиылысу нүктелеріндегі векторлар. Олардың скалярлы өнім болып табылады ${ displaystyle 0}$.)

Конфокалды эллипс пен гиперболаға ұқсас, жазықтықты параболалардың ортогоналды торымен жабуға болады.

Конфокалды параболалардың торын координаталық осьтерге параллель және сызықтың оң жартысында орналасқан түзулер торының бейнесі деп санауға болады. күрделі жазықтық бойынша конформды карта ${ displaystyle w = z ^ {2}}$ (Сыртқы сілтемелерді қараңыз).

Грейвз теоремасы: жіппен конфокальды эллипс салу

конфокальды эллиптердің құрылысы

1850 жылы Лимериктің ирландиялық епископы Чарльз Грэйвз Конфальды эллипстерді жолдың көмегімен салудың келесі әдісін дәлелдеді және жариялады:^[1]

• Егер біреу берілген эллипсті берілген эллипстің шеңберінен ұзынырақ жабық жіппен қоршап, соған ұқсас қисық сызса бағбанның құрылысы эллипстің (сызбаны қараңыз), содан кейін эллипс болады, ол Э-мен конфокалды.

Осы теореманың дәлелі қолданылады эллиптикалық интегралдар және Клейннің кітабында қамтылған.Отто Стоуд бұл әдісті конфокальды эллипсоидтардың құрылысына дейін кеңейтті (Клейн кітабын қараңыз).

Егер эллипс Е түзу кесіндісіне құласа ${ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$, біреуінің шамалы өзгерісін алады бағбан әдісі фокусты эллипс салу ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$.

Конфокалды квадрикалар

Конфокалды квадрикалар:
${ displaystyle a = 1, ; b = 0.8, ; c = 0.6, }$
${ displaystyle lambda _ {1} = 0.1}$ (қызыл),${ displaystyle lambda _ {2} = 0.5}$ (көк), ${ displaystyle lambda _ {3} = 0.8}$ (күлгін)

Тәуелді түрлері ${ displaystyle lambda}$

Анықтама

Конфокалды квадрикалар идеясы - бұл конокальды конустық секциялар тұжырымдамасының ресми жалғасы квадрикалар 3 өлшемді кеңістікте ^[2]

Үш нақты санды анықтаңыз ${ displaystyle a, b, c}$ бірге ${ displaystyle a> b> c> 0}$.Теңдеу

• ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}} = 1}$ сипаттайды

ан эллипсоид егер ${ displaystyle lambda$ ,

а гиперболоидты бір парақтың егер ${ displaystyle c ^ {2} < lambda$ (диаграммада: көк),

а екі парақтың гиперболоиды егер ${ displaystyle b ^ {2} < lambda$ .

Үшін ${ displaystyle a ^ {2} < lambda}$ шешімдер жоқ.

(Бұл тұрғыда параметр ${ displaystyle c}$ болып табылады емес эллипстің эксцентриситеті!)

Фокустық қисықтар

Фокалды кониктер (эллипс, гипербола, қара)

${ displaystyle c ^ {2} = 0.36, b ^ {2} = 0.64, quad}$ жоғарғы: ${ displaystyle lambda =}$
${ displaystyle 0.3575}$ (эллипсоид, қызыл), ${ displaystyle 0.3625}$ (1с гиперб., Көк),
${ displaystyle 0.638}$ (1с гиперб., Көк), ${ displaystyle 0.642}$ (2с гиперб., Күлгін)
төменгі: түрлер арасындағы беттерді шектеңіз

Беттерді шектеу ${ displaystyle lambda to c ^ {2}} дейін$:

Эллипсоидтарды өзгерту ұлғаюда параметр ${ displaystyle lambda}$ ол құндылыққа жақындайтындай ${ displaystyle c ^ {2}}$ төменнен біреу шексіз жалпақ эллипсоид алады. Нақтырақ: эллипстен тұратын х-у жазықтығының ауданы ${ displaystyle E}$ теңдеумен ${ displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ {2} }} = 1}$ және ол екі еселенген интерьер (диаграммада: төменде, сол жақта, қызыл).

1 парақты гиперболоидтарды әр түрлі ету төмендеу параметр ${ displaystyle lambda}$ ол құндылыққа жақындайтындай ${ displaystyle c ^ {2}}$ жоғарыдан шексіз жалпақ гиперболоид пайда болады. Дәлірек айтқанда: x-y жазықтығының бірдей эллипстен тұратын ауданы ${ displaystyle E}$ және ол екі еселенген сыртқы (диаграммада: төменгі, сол жақта, көк).
Бұл дегеніміз: екі шекті беттің эллипс нүктелері бар

${ displaystyle E: { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ { 2}}} = 1}$

жалпы.

Беттерді шектеу ${ displaystyle lambda to b ^ {2}}$:

Позициядағы ұқсас ойлар ${ displaystyle lambda = b ^ {2}}$ кірістілік:

Екі шекара беттері (диаграммада: төменгі, оң жақ, көк және күлгін) орналасуы бойынша ${ displaystyle b ^ {2}}$ гипербола бар

${ displaystyle H: { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} -b ^ {2}}} - { frac {z ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ {2}}} = 1}$

жалпы.

Фокустық қисықтар:

Эллипстің ошақтары гиперболаның шыңдары екенін және керісінше екенін оңай тексереді. Бұл дегеніміз: Эллипс ${ displaystyle E}$ және гипербола ${ displaystyle H}$ болып табылады фокалды кониктер.

Реверсінде: конфокалды квадриканың қарындашының кез-келген квадраты анықталады ${ displaystyle a, b, c}$ түйреуіштер мен жолдар әдісімен құрастырылуы мүмкін (қараңыз) эллипсоид) фокалды кониктер ${ displaystyle E, H}$ шексіз көптеген фокустың рөлін атқарады және аталады фокустық қисықтар конфокалды квадрикалардың қарындашынан.^[3][4][5]

Үш жақты ортогоналды жүйе

Конфокалды эллипс / гипербола жағдайына ұқсас:

• Кез-келген нүкте ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) in mathbb {R} ^ {3}}$ бірге ${ displaystyle x_ {0} neq 0, ; y_ {0} neq 0, ; z_ {0} neq 0}$ жатыр дәл бір бет конфокалды квадрикалардың үш түрінің кез-келгені.

Нүкте арқылы үш квадрат ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ сол жерде қиылысады ортогоналды (сыртқы сілтемені қараңыз).

Функцияға мысал ${ displaystyle f ( lambda)}$

Дәлел туралы болмыс пен бірегейлік нүкте арқылы үш квадраттың:
Бір нүкте үшін ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ бірге ${ displaystyle x_ {0} neq 0, y_ {0} neq 0, z_ {0} neq 0}$ болсын${ displaystyle f ( lambda) = { frac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z_ {0} ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}} - 1}$.Бұл функция үш тік асимптоталар ${ displaystyle c ^ {2}$ және кез келген ашық аралықта болады ${ displaystyle (- infty, c ^ {2}), ; (c ^ {2}, b ^ {2}), ; (b ^ {2}, a ^ {2}), ; ( a ^ {2}, infty)}$ а үздіксіз және монотондылық жоғарылайды функциясы. Тік асимптоталардың жанындағы функцияның жүріс-тұрысынан және ${ displaystyle lambda to pm infty}$ біреуін табады (диаграмманы қараңыз):
Функция ${ displaystyle f}$ тура 3 нөлге ие ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$ бірге ${ displaystyle { color {red}} lambda _ {1}}$

Дәлел туралы ортогоналдылық беттердің:
Функциялардың қарындаштарын пайдалану${ displaystyle F _ { lambda} (x, y, z) = { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}}}$параметрімен ${ displaystyle lambda}$ конфокалды квадрикаларды сипаттауға болады ${ displaystyle F _ { lambda} (x, y, z) = 1}$. Кез келген екі квадрикасы үшін ${ displaystyle F _ { lambda _ {i}} (x, y, z) = 1, ; F _ { lambda _ {k}} (x, y, z) = 1}$ біреу жалпы нүктеге жетеді ${ displaystyle (x, y, z)}$

${ displaystyle 0 = F _ { lambda _ {i}} (x, y, z) -F _ { lambda _ {k}} (x, y, z) = dotsb}$

${ displaystyle = ( lambda _ {i} - lambda _ {k}) left ({ frac {x ^ {2}} {(a ^ {2} - lambda _ {i}) (a ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {y ^ {2}} {(b ^ {2} - lambda _ {i}) (b ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {z ^ {2}} {(c ^ {2} - lambda _ {i}) (c ^ {2} - lambda _ {k})}} оң .}$

Осы теңдеуден жалпы нүктеде градиенттердің скаляр көбейтіндісі шығады

${ displaystyle operatorname {grad} F _ { lambda _ {i}} cdot operatorname {grad} F _ { lambda _ {k}} = 4 ; left ({ frac {x ^ {2}} {(a ^ {2} - lambda _ {i}) (a ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {y ^ {2}} {(b ^ {2} - lambda _ {i}) (b ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {z ^ {2}} {(c ^ {2} - lambda _ {i}) ( c ^ {2} - lambda _ {k})}} right) = 0 ,}$

бұл ортогоналдылықты дәлелдейді.

Конфокалды гиперболоидтармен қиылысу қисықтары ретінде қисықтық сызықтары бар эллипсоид
${ displaystyle a = 1, ; b = 0.8, ; c = 0.6}$

Өтініштер:
Байланысты Дупин теоремасы беттердің үш жақты ортогоналды жүйесінде келесі тұжырым дұрыс:

• Кез-келген екі конфокалды квадрияның қиылысу қисығы а қисықтық сызығы.
• Ұқсас жазықтыққа эллиптикалық координаттар бар эллипсоидтық координаттар.

Жылы физика конфокальды эллипсоидтар эквипотенциалды беттер ретінде пайда болады:

• The эквипотенциалды беттер зарядталған эллипсоидты оның конфокалды эллипсоиды құрайды.^[6]

Піл сүйегі теоремасы

Піл сүйегі теоремасы

Піл сүйегі теоремасы, шотланд математигі мен астрономының есімімен аталады Джеймс Кот-д'Ивуар (1765–1842), - туралы мәлімдеме диагональдар а торлы төртбұрыш, ортогональды қисықтардан пайда болған төртбұрыш:

• Екі фокустық эллипс пен бірдей фокусты екі конфокалды гиперболадан құралған кез келген тор-тік төртбұрыш үшін диагональдарының ұзындығы тең (сызбаны қараңыз).

Эллипс пен конфокалды гиперболаның қиылысу нүктелері:
Келіңіздер ${ displaystyle E (a)}$ ошақтары бар эллипс болыңыз ${ displaystyle F_ {1} = (c, 0), ; F_ {2} = (- c, 0)}$ және теңдеу

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} = 1 , quad a> c> 0 }$

және ${ displaystyle H (u)}$ теңдеуі бар конфокалды гипербола

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {u ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {u ^ {2} -c ^ {2}}} = 1 , quad c> u .}$

Есептеу қиылысу нүктелері туралы ${ displaystyle E (a)}$ және ${ displaystyle H (u)}$ төрт ұпай алады:

• ${ displaystyle left ( pm { frac {au} {c}}, ; pm { frac { sqrt {(a ^ {2} -c ^ {2}) (c ^ {2} - u ^ {2})}} {c}} right)}$

Төртбұрыштың диагональдары:
Есептеуді қарапайым ету үшін, осылай деп болжануда

1. ${ displaystyle c = 1}$, бұл ешқандай маңызды шектеу емес, өйткені кез-келген басқа конфокалды торды біркелкі масштабтау арқылы алуға болады.
2. Мүмкін болатын баламалардан ${ displaystyle pm}$ (жоғарыдағы қиылысу нүктелерін қараңыз)) тек ${ displaystyle +}$ қолданылады. Соңында, кез-келген басқа белгілер тіркесімі бірдей нәтиже береді деп оңай қарастырады.

Болсын ${ displaystyle E (a_ {1}), E (a_ {2})}$ екі конфолиялық эллипс және ${ displaystyle H (u_ {1}), H (u_ {2})}$ бірдей фокусты екі конфокалды гипербола. Торлардан тұратын төртбұрыштың төрт нүктесінің диагональдары

${ displaystyle P_ {11} = left (a_ {1} u_ {1}, ; { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1) (1-u_ {1} ^ {2}) }} оң) , төрттік P_ {22} = солға (a_ {2} u_ {2}, ; { sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {2) } ^ {2})}} оң) ,}$

${ displaystyle P_ {12} = left (a_ {1} u_ {2}, ; { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1) (1-u_ {2} ^ {2}) }} оң) , квадрат P_ {21} = солға (a_ {2} u_ {1}, ; { sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {1) } ^ {2})}} оң)}$

мыналар:

${ displaystyle { begin {aligned} | P_ {11} P_ {22} | ^ {2} & = (a_ {2} u_ {2} -a_ {1} u_ {1}) ^ {2} + солға ({ sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {2} ^ {2})}} - { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1)) 1-u_ {1} ^ {2})}} оң) ^ {2} = dotsb & = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} -2 , left (1 + a_ {1} a_ {2} u_ {1} u_ {2} + { sqrt {(a_ {1} ^ {2) } -1) (a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {1} ^ {2}) (1-u_ {2} ^ {2})}} right) end {aligned} }}$

Айырбастауды жүзеге асыратын болса, соңғы өрнек өзгермейтіні анық${ displaystyle u_ {1} leftrightarrow u_ {2}}$. Дәл осы айырбас әкеледі ${ displaystyle | P_ {1 color {red} 2} P_ {2 color {red} 1} | ^ {2}}$. Сондықтан біреу алады:

• ${ displaystyle | P_ {11} P_ {22} | = | P_ {12} P_ {21} |}$

Конфокальды мәлімдеменің дәлелі параболалар қарапайым есептеу.

Піл сүйегі тіпті теоремасының 3-өлшемді нұсқасын дәлелдеді (с. Блашке, 111-бет):

• Үш өлшемді тікбұрыш үшін кубоид қарама-қарсы нүктелерді қосатын диагональдардың ұзындығы тең болады.

Сондай-ақ қараңыз

• Фокалоид

Әдебиеттер тізімі

1. ^ Феликс Клейн: Vorlesungen über Höhere Geometrie, Срингер-Верлаг, Берлин, 1926, S.32.
2. ^ Сомервилл:Үш өлшемді аналитикалық геометрия, Кембридж университетінің баспасы, 2016,ISBN 1316601900, 9781316601907, б. 235
3. ^ Стоуд, О .: Ueber Fadencecutionen des Ellipsoides. Математика. Энн. 20, 147–184 (1882)
4. ^ Стоуд, О .: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Бағалар. Математика. Энн. 27, 253–271 (1886).
5. ^ Стоуд, О .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Математика. Энн. 50, 398 - 428 (1898)
6. ^ Д. Фукс, С. Табачников: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг 2011, ISBN 978-3-642-12959-9, б. 480.

• В.Блашке: Analytische Geometrie. Springer, Базель 1954,ISBN 978-3-0348-6813-6, б. 111.
• Г.Глейзер, Н. Стахел, Б. Оденал: Кониктер әлемі: ежелгі гректерден бастап ХХІ ғасырға дейінгі даму, Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7, б. 457.
• Дэвид Хилберт; Стефан Кон-Воссен (1999), Геометрия және қиял, Американдық математикалық қоғам, ISBN 0-8218-1998-4
• Эрнесто Паскаль: Repertorium der höheren Mathematik. Тубнер, Лейпциг / Берлин 1910, б. 257.
• Робсон: Аналитикалық геометрияға кіріспе Дауыс. Мен, Кембридж, University Press, 1940, б. 157.
• Д.М.Ы. Сомервилл: Үш өлшемді аналитикалық геометрия, Кембридж, Университет баспасы, 1959, б. 235.

Сыртқы сілтемелер

• Т. Хофман: Минискрипт дифференциалды геометрия I, б. 48
• Б. Спрингборн: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
• Х. Уолсер: Konforme Abbildungen. б. 8.