WikiDer > Ашу функциясы

Математикада Ашу функциясы, енгізген C. T. Ашу (1855) ретінде анықталған функция

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu} (z) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} cos ( nu theta -z sin theta) , d theta}$

және тығыз байланысты Bessel функциялары.

The Вебер функциясы (сонымен бірге Lommel-Weber функциясы) енгізген H. F. Weber (1879) арқылы анықталған өзара байланысты функция

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu} (z) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} sin ( nu theta -z sin theta) , d theta}$

және тығыз байланысты Bessel функциялары екінші түрдегі

Вебер мен Ашу функциялары арасындағы байланыс

Ашу мен Вебер функциялары байланысты

${ displaystyle { begin {aligned} sin ( pi nu) mathbf {J} _ { nu} (z) & = cos ( pi nu) mathbf {E} _ { nu} (z) - mathbf {E} _ {- nu} (z) - sin ( pi nu) mathbf {E} _ { nu} (z) & = cos ( pi ) nu) mathbf {J} _ { nu} (z) - mathbf {J} _ {- nu} (z) end {aligned}}}$

сондықтан, егер ν бүтін сан болмаса, оларды бір-бірінің сызықтық комбинациясы түрінде көрсетуге болады. Егер ν бүтін сан болса, онда Ашулану функциясы жұмыс істейді Дж_ν Bessel функциясымен бірдей Дж_ν, және Вебер функцияларын -ның ақырлы сызықтық комбинациясы түрінде көрсетуге болады Struve функциялары.

Қуат серияларын кеңейту

Ашу функциясы қуаттың кеңеюіне ие^[1]

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu} (z) = cos { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} Гамма сол (k + { frac { nu} {2}} + 1 оң) Гамма сол (k - { frac { nu} {2}} + 1 right)}} + sin { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2} } оң) Гамма солға (k - { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2}} оңға)}}}$

Вебер функциясы қуаттың кеңеюіне ие^[1]

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu} (z) = sin { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} Гамма сол (k + { frac { nu} {2}} + 1 оң) Гамма сол (k - { frac { nu} {2}} + 1 right)}} - cos { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2} } оң) Гамма солға (k - { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2}} оңға)}}}$

Дифференциалдық теңдеулер

Ашу және Вебер функциялары - Бессель теңдеуінің біртекті емес формаларының шешімдері

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = 0.}$

Дәлірек айтсақ, Ашулану функциялары теңдеуді қанағаттандырады^[1]

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = { frac {(z- nu) sin ( pi nu)} { pi}},}$

және Вебер функциялары теңдеуді қанағаттандырады^[1]

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = - { frac {z + nu + ( z- nu) cos ( pi nu)} { pi}}.}$

Қайталанатын қатынастар

Ашу функциясы осы біртекті емес форманы қанағаттандырады қайталану қатынасы^[1]

${ displaystyle z mathbf {J} _ { nu -1} (z) + z mathbf {J} _ { nu +1} (z) = 2 nu mathbf {J} _ { nu} (z) - { frac {2 sin pi nu} { pi}}}$

Вебер функциясы осы біртекті емес форманы қанағаттандырады қайталану қатынасы^[1]

${ displaystyle z mathbf {E} _ { nu -1} (z) + z mathbf {E} _ { nu +1} (z) = 2 nu mathbf {E} _ { nu} (z) - { frac {2 (1- cos pi nu)} { pi}}}$

Дифференциалдық теңдеулерді кешіктіру

Ашу және Вебер функциялары осы біртектес формаларды қанағаттандырады дифференциалдық теңдеулерді кешіктіру^[1]

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu -1} (z) - mathbf {J} _ { nu +1} (z) = 2 { dfrac { жарым-жартылай} { жартылай z}} mathbf {J} _ { nu} (z)}$

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu -1} (z) - mathbf {E} _ { nu +1} (z) = 2 { dfrac { жарымжан} { жартылай z}} mathbf {E} _ { nu} (z)}$

Ашу және Вебер функциялары да біртектес емес формаларын қанағаттандырады дифференциалдық теңдеулерді кешіктіру^[1]

${ displaystyle z { dfrac { жарым-жартылай} { жартылай z}} mathbf {J} _ { nu} (z) pm nu mathbf {J} _ { nu} (z) = pm z mathbf {J} _ { nu mp 1} (z) pm { frac { sin pi nu} { pi}}}$

${ displaystyle z { dfrac { жарым-жартылай} { жартылай z}} mathbf {E} _ { nu} (z) pm nu mathbf {E} _ { nu} (z) = pm z mathbf {E} _ { nu mp 1} (z) pm { frac {1- cos pi nu} { pi}}}$

Әдебиеттер тізімі

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Айрин Анн, eds. (1983) [маусым 1964]. «12 тарау». Формулалары, графиктері және математикалық кестелері бар математикалық функциялар туралы анықтама. Қолданбалы математика сериясы. 55 (Тоғызыншы түзету енгізілген оныншы түпнұсқа басып шығарудың қосымша түзетулерімен қайта басу (1972 ж. Желтоқсан); бірінші ред.) Вашингтон ДС; Нью-Йорк: Америка Құрама Штаттарының Сауда министрлігі, Ұлттық стандарттар бюросы; Dover жарияланымдары. б. 498. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МЫРЗА 0167642. LCCN 65-12253.
• C.T. Ашу, Нойесте Шр. г. Naturf. г. Гес. мен. Данциг, 5 (1855) 1–29 б
• Прудников, А.П. (2001) [1994], «Ашу функциясы», Математика энциклопедиясы, EMS Press
• Прудников, А.П. (2001) [1994], «Вебер функциясы», Математика энциклопедиясы, EMS Press
• Г.Н. Уотсон, «Бессель функцияларының теориясы туралы трактат», 1-2, Кембридж Унив. Баспасөз (1952)
• Х.Ф.Вебер, Цюрих Виертельяхресчрифт, 24 (1879) 33–76 б.