WikiDer > Қол жетімді санат

Теориясы қол жетімді санаттар бөлігі болып табылады математика, нақты категория теориясы. Ол категорияларды «өлшемі» тұрғысынан сипаттауға тырысады (а негізгі нөмір) олардың объектілерін құру үшін қажет операциялар.

Теория жұмысынан бастау алады Гротендиек 1969 ж. аяқталды,^[1] және Габриэль мен Ульмер (1971).^[2] Ол әрі қарай 1989 жылы дамыды Майкл Маккай және Роберт Паре, мотивациядан шыққан модель теориясы, филиалы математикалық логика.^[3]Адамек пен Розиккидің стандартты оқулықтары 1994 жылы пайда болды.^[4]Қол жетімді санаттарда да қосымшалар бар гомотопия теориясы.^[5][6] Гротендиек өзінің (әлі де жартылай жарияланбаған) қолжазбасында гомотопия-теоретикалық мақсаттар үшін теорияның дамуын жалғастырды Les dérivateurs.^[7]Қол жетімді санаттардың кейбір қасиеттері ғаламды орнату қолданыста, әсіресе кардинал қасиеттері және Vopěnka принципі.^[8]

${ displaystyle kappa}$- бағытталған колимиттер және ${ displaystyle kappa}$- ұсынылатын нысандар

Келіңіздер ${ displaystyle kappa}$ шексіз бол тұрақты кардинал, яғни а негізгі нөмір бұл кішігірім кардиналдар санының қосындысы емес; мысалдар ${ displaystyle aleph _ {0}}$ (алеф-0), алғашқы шексіз кардиналды сан және ${ displaystyle aleph _ {1}}$, бірінші санамайтын кардинал). A жартылай тапсырыс берілген жиынтық ${ displaystyle (I, leq)}$ аталады ${ displaystyle kappa}$- бағытталған егер әр ішкі жиын болса ${ displaystyle J}$ туралы ${ displaystyle I}$ маңыздылығы кем ${ displaystyle kappa}$ жоғарғы шегі бар ${ displaystyle I}$. Атап айтқанда, қарапайым бағытталған жиынтықтар дәл ${ displaystyle aleph _ {0}}$- бағытталған жиынтықтар.

Енді рұқсат етіңіз ${ displaystyle C}$ болуы а санат. A тікелей шек (бағытталған колимит деп те аталады) а ${ displaystyle kappa}$- бағытталған жиынтық ${ displaystyle (I, leq)}$ а деп аталады ${ displaystyle kappa}$- бағытталған колимит. Нысан ${ displaystyle X}$ туралы ${ displaystyle C}$ аталады ${ displaystyle kappa}$-презентативті егер Үй функциясы ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, -)}$ бәрін сақтайды ${ displaystyle kappa}$- бағытталған колиттер ${ displaystyle C}$. Әрқайсысы екені түсінікті ${ displaystyle kappa}$- ұсынылатын объект ${ displaystyle kappa '}$- әрқашан ұсынылатын ${ displaystyle kappa leq kappa '}$, өйткені әрқайсысы ${ displaystyle kappa '}$- бағытталған колимит те а ${ displaystyle kappa}$- бұл жағдайда бағытталған колимит. A ${ displaystyle aleph _ {0}}$-презентативті объект деп аталады шектеулі.

Мысалдар

• Санатта Орнатыңыз барлық жиынтықтардың ішіндегі ақырғы ұсынылатын объектілер ақырғы жиындармен сәйкес келеді. The ${ displaystyle kappa}$-презентативті объектілер дегеніміз -ден кіші кардинал жиынтығы ${ displaystyle kappa}$.
• Ішінде барлық топтардың санаты, егер ол а болған жағдайда ғана объект ұсынылады түпкілікті ұсынылған топ, яғни егер ол көптеген генераторлармен және көптеген қатынастармен таныстырылымы болса. Есепке алынбайтын тұрақты үшін ${ displaystyle kappa}$, ${ displaystyle kappa}$- көрнекі нысандар дегеніміз - дәлдігі, -ден кіші топтар ${ displaystyle kappa}$.
• Ішінде сол жақ санаты ${ displaystyle R}$-модульдер кейбіреулерінен (унитарлық, ассоциативті) сақина ${ displaystyle R}$, шектеулі ұсынылатын объектілер дәл сол шектеулі ұсынылған модульдер.

${ displaystyle kappa}$- қол жетімді және жергілікті жерде ұсынылатын санаттар

Санат ${ displaystyle C}$ аталады ${ displaystyle kappa}$- қол жетімді егер:

• ${ displaystyle C}$ барлығы бар ${ displaystyle kappa}$- бағытталған колимиттер
• ${ displaystyle C}$ жиынтығын қамтиды ${ displaystyle P}$ туралы ${ displaystyle kappa}$- кез-келген объектінің ұсынылатын объектілері ${ displaystyle C}$ Бұл ${ displaystyle kappa}$- объектілерінің бағытталған колимиясы ${ displaystyle P}$.

Ан ${ displaystyle aleph _ {0}}$- қол жетімді категория деп аталады түпкілікті қол жетімді.Санат деп аталады қол жетімді егер ол болса ${ displaystyle kappa}$- кейбір шексіз тұрақты кардиналдар үшін қол жетімді ${ displaystyle kappa}$. Қол жетімді категория болған кезде толық емес, деп аталады жергілікті жерде.

Функция ${ displaystyle F: C - D}$ арасында ${ displaystyle kappa}$- қол жетімді категориялар деп аталады ${ displaystyle kappa}$- қол жетімді деген шартпен ${ displaystyle F}$ консервілер ${ displaystyle kappa}$- бағытталған колимиттер.

Мысалдар

• Санат Орнатыңыз барлық жиындар мен функциялардың локальды бөлігі болып табылады, өйткені әр жиын оның ақырғы ішкі жиындарының тікелей шегі болып табылады, ал ақырлы жиындар ақырлы түрде ұсынылады.
• Санат ${ displaystyle R}$-Мод (сол жақта) ${ displaystyle R}$-модульдер кез-келген сақина үшін жергілікті деңгейде ұсынылады ${ displaystyle R}$.
• Санаты қарапайым жиындар қол жетімді.
• Кейбіреулерінің моделі (T) категориясы бірінші ретті теория Есептік қолтаңбасы бар T болып табылады ${ displaystyle aleph _ {1}}$ - қол жетімді. ${ displaystyle aleph _ {1}}$ -презентативті объектілер - бұл элементтердің есептелетін саны бар модельдер.
• Жергілікті ұсынылатын санаттардың келесі мысалдары - алгебралық санаттар (мысалы, сәйкес келетін санаттар) алгебралардың сорттары жылы әмбебап алгебра) және Гротендик категориялары.

Теоремалар

Әрбір жергілікті ұсынылатын санаттың да бар екендігін көрсетуге болады толық.^[9] Сонымен қатар, категория шектеулі модельдер санатына тең болған жағдайда ғана жергілікті жерде ұсынылады эскиз.^[10]

Бірлескен функционалдар жергілікті ұсынылатын санаттар арасында ерекше сипаттама бар. Функция ${ displaystyle F: C - D}$ жергілікті ұсынылатын санаттар арасында:

• егер ол кішкентай колименттерді сақтаған жағдайда ғана сол жақ қосылыс болып табылады,
• ол кішігірім шектеулерді сақтаған және қол жетімді болған жағдайда ғана оң жақ қосылыс.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Адамек, Джизи; Rosický, Jiří (1994), Жергілікті жерде қол жетімді және қол жетімді санаттар, LNM дәрістер, Кембридж университетінің баспасы, ISBN 0-521-42261-2