WikiDer > * - автономды категория - Википедия

Жылы математика, а * -автономды («жұлдызды-автономды» категориясын оқыңыз) C Бұл симметриялы моноидты жабық категория дуализационды объектімен жабдықталған ${ displaystyle bot}$. Тұжырымдама сонымен бірге деп аталады Гротендиек - Вердиер санаты ұғымымен байланысын ескере отырып Вердиердің екіұштылығы.

Анықтама

Келіңіздер C симметриялы моноидты жабық санат бол. Кез-келген объект үшін A және ${ displaystyle bot}$, морфизм бар

${ displaystyle kısalt _ {A, bot}: A -дан (A Rightarrow bot) Rightarrow bot}$

моноидты жабуды анықтайтын биекциямен кескін ретінде анықталды

${ displaystyle mathrm {Hom} ((A Rightarrow bot) otimes A, bot) cong mathrm {Hom} (A, (A Rightarrow bot) Rightarrow bot)}$

морфизм туралы

${ displaystyle mathrm {eval} _ {A, A Rightarrow bot} circ gamma _ {A Rightarrow bot, A} :( A Rightarrow bot) otimes A to bot}$

қайда ${ displaystyle gamma}$ болып табылады симметрия тензор өнімі. Нысан ${ displaystyle bot}$ санаттағы C аталады дуализм байланысты морфизм ${ displaystyle kısalt _ {A, bot}}$ әрбір объект үшін изоморфизм болып табылады A санаттағы C.

Эквивалентті түрде, а * - автономды категория симметриялы моноидты категория болып табылады C функциямен бірге ${ displaystyle (-) ^ {*}: C ^ { mathrm {op}} - C}$ әрбір объект үшін A табиғи изоморфизм бар ${ displaystyle A cong {A ^ {**}}}$және әрбір үш объект үшін A, B және C табиғи биекция бар

${ displaystyle mathrm {Hom} (A otimes B, C ^ {*}) cong mathrm {Hom} (A, (B otimes C) ^ {*})}$.

Дуализации объектісі C содан кейін анықталады ${ displaystyle bot = I ^ {*}}$. Екі анықтаманың эквиваленттілігі анықтау арқылы көрсетіледі ${ displaystyle A ^ {*} = A Rightarrow bot}$.

Қасиеттері

Ықшам жабық санаттар * - автономды, дуализацияланатын объект ретінде моноидты бірлік. Керісінше, * * автономды санаттың бірлігі дуализациялайтын объект болса, онда карталардың канондық отбасы бар

${ displaystyle A ^ {*} otimes B ^ {*} to (B otimes A) ^ {*}}$ .

Мұның бәрі * -втономды категория ықшам жабық болған жағдайда ғана изоморфизмдер.

Мысалдар

Таныс мысал - кез-келген өрістегі ақырлы векторлық кеңістіктің категориясы к әдеттегідей моноидты болды тензор өнімі кеңістіктің кеңістігі. Дуальдау объектісі болып табылады к, бір өлшемді векторлық кеңістік, ал дуализм транспозицияға сәйкес келеді. Барлық векторлық кеңістіктің санаты аяқталғанымен к * емес, автономды, категорияларға сәйкес кеңейтулер топологиялық векторлық кеңістіктер жасалуы мүмкін * - автономды.

Екінші жағынан, топологиялық векторлық кеңістіктің санаты өте толық толық санаттағы категорияны қамтиды Ste туралы стереотип кеңістіктері, бұл * дуализаций объектісі бар автономды категория ${ displaystyle { mathbb {C}}}$ және тензор өнімі ${ displaystyle circledast}$.

Түрлі модельдер сызықтық логика форма * - автономды категориялар, олардың ең ертерегі болған Жан-Ив Джираркогеренттік кеңістік категориясы.

Санаты толық жарты сызықтар барлық қосылыстарды сақтайтын, бірақ міндетті түрде сәйкес келмейтін морфизмдермен * - екі элементтің тізбегі дуализатормен автономды. Мысалдың деградацияланған мысалын (ең бастысы, барлық негізгі сипаттамаларды) кез келген келтіреді Буль алгебрасы (сияқты жартылай тапсырыс берілген жиынтық) тензор көбейтіндісі үшін конъюнкцияны қолданып, дуальды объект ретінде 0 қабылдайтын моноидты жасады.

Формализмі Вердиердің екіұштылығы * -втономды категорияларға одан әрі мысалдар келтіреді. Мысалға, Боярченко және Дринфельд (2013) конструктивті шектелген туынды санаты туралы айту l-adic қабығы бойынша алгебралық әртүрлілік осы қасиетке ие. Бұдан басқа мысалдарға топологиялық кеңістіктің әр түрлі типтеріндегі конструкциялардың қабаттарының категориялары жатады.

* - автономды емес өзіндік қос категорияның мысалы - * бар, бірақ автономды емес ақырлы сызықтық бұйрықтар мен үздіксіз функциялар: оның қос объектісі - бұл екі элементті тізбек, бірақ тензор көбейтіндісі жоқ.

Жиынтықтардың санаты және олардың ішінара инъекциясы өзіндік қосарлы болып табылады, өйткені соңғысының керісінше қайтадан жартылай инъекция болып табылады.

* - автономды категория ұғымы енгізілді Майкл Барр 1979 жылы осындай атаумен монографияда. Барр жалпы жағдай туралы түсінікті анықтады V-симметриялы моноидты немесе автономды категориямен байытылған санаттар, категориялар V. Жоғарыдағы анықтама Баррдың іс бойынша анықтамасын мамандандырады V = Орнатыңыз кәдімгі санаттар, олардың гомобектілері жиынтықтар құрайды (морфизмдер). Баррдың монографиясында оның оқушысы По-Сянг Чудің қосымшасы бар, ол Баррға байланысты жеке емес * автономды екенін көрсететін құрылыстың бөлшектерін дамытады. V- барлық симметриялық моноидты категорияларға арналған санаттар V объектілері он жылдан кейін белгілі болған кері тартуымен Chu кеңістіктері.

Симметриялы емес жағдай

Ішінде екі қабатты моноидты категория C, міндетті түрде симметриялы емес, қосарланған нысанды анықтауға болады, содан кейін * -втономикалық категорияны дуализациялау объектісі бар қос қабатты моноидты категория ретінде анықтауға болады. Олар симметриялы жағдайдағыдай эквивалентті анықтамалар.

Әдебиеттер тізімі

• Майкл Барр (1979). * - автономды категориялар. Математикадан дәрістер. 752. Шпрингер-Верлаг. дои:10.1007 / BFb0064579. ISBN 978-3-540-09563-7.
• Майкл Барр (1995). «Симметриялы емес * автономды категориялар». Теориялық информатика. 139: 115–130. дои:10.1016/0304-3975(94)00089-2. S2CID 14721961.
• Майкл Барр (1999). «* - автономды санаттар: тағы бір рет жолдың айналасында» (PDF). Санаттар теориясы және қолданылуы. 6: 5–24.
• Боярченко, Митя; Дринфелд, Владимир (2013), «Гротендик пен Вердиердің рухындағы формализм», Кванттық топология, 4 (4): 447–489, arXiv:1108.6020, дои:10.4171 / QT / 45, МЫРЗА 3134025

• жұлдыз-автономия + санаты жылы nLab